Rapport Gratuit
Le but de cette présente étude est la mise en relief de la particularité de la base de Gröbner des idéaux toriques. Cette base est très intéressante pour les idéaux polynômiaux grâce à ses propriétés particulières. Pour cela, on peut signaler entre autres que la base de Gröbner d’un idéal I engendre cet idéal et de plus, elle a un reste unique dans l’algorithme de division dans un anneau de polynôme K[X1, . . . , Xn] sans tenir compte l’ordre qu’on procède à ladite division. Outre, elle donne une esquisse simple de l’existence des solutions d’un système d’équation polynomiale en utilisant le Nullstellensatz de Hilbert. Quant à l’importance de la base de Gröbner des idéaux toriques, les principales contributions de cette étude se concentrent sur le fait qu’elle contient les minimaux successifs de Minkowski, et qu’on peut déterminer la borne de son degré en choisissant un ordre polynomial.
Ordre et module
Ordre
Soient E et F deux ensembles.
Définition 1.1.1.
Une relation binaire définie sur E est une propriété définie par xRy ⇒ (x, y) ∈ E × E.
Définition 1.1.2.
Une relation binaire ≤ définie sur E est dite un préordre si elle est :
– reflexive : x ≤ x, ∀x ∈ E
– transitive : (x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z.
Une relation d’ordre ou ordre partiel est un préordre antisymétrique, c’est-à-dire si on a de plus
(x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y
Exemple 1.1.3.
– La relation de la divisibilité “|” est un ordre partiel sur N∗ . Dans ce cas (E, |) est dit partiellement ordonné
– La relation < définie par ∀(x, y) ∈ Z2 , x < y ⇔ y − x ∈ N∗ n’est pas une relation d’ordre, car la relation n’est pas reflexive.
Dans toute la suite, 6 désignera un ordre partiel.
Notations.
Soit A ⊆ E, pour tout x ∈ E, on note :
U(x, ≤) := {y ∈ E/ x ≤ y} (1.1)
D(x, ≤) := {y ∈ E/ y ≤ x} (1.2)
UA(x, ≤) := {y ∈ A/x ≤ y} (1.3)
DA(x, ≤) := {y ∈ A/ y ≤ x} (1.4)
On les notera respectivement U(x) et D(x) s’il n’y aura pas d’ambiguité.
Définition 1.1.4.
(E, ≤) est dit un ensemble totalement ordonné si pour tout x ∈ E, pour tout y ∈ E ;
y ∈ U(x) ou y ∈ D(x) (1.5)
Une telle relation est dite ordre total sur E.
Exemple 1.1.5.
(R, ≤) est totalement ordonné.
Définitions 1.1.6.
On dit que deux éléments x, y de E sont ≤-comparables ou tout simplement comparables s’ils vérifient (1.5). Ils sont ≤-incomparables (ou incomparables) s’ils ne sont pas comparables.
Soit A ⊆ E. A est dit chaîne (resp. antichaîne) si tout x, y ∈ A, x, y sont ≤- comparables (resp. ≤-incomparables).
Définitions 1.1.7.
Un ordre partiel ≤ est dit fondé si l’ensemble
Min≤(A) := {x ∈ A/ DA(x; ≤)\{x} = ∅} ≠ ∅ (1.6)
pour tout sous ensemble non vide de E ; Autrement dit, ≤ est fondé si tout sous ensemble non vide de E admet au moins un élément minimal. Cette relation d’ordre est dite :
– non fondée, si elle n’est pas fondée
– étroite si Min≤(A) est fini pour tout A ⊆ E, avec A ≠ ∅
– bel ordre si ≤ est à la fois étroit et fondé
– bon ordre si ≤ est à la fois total et fondé. Dans ce cas, (E, ≤) est dit bien ordonné.
– linéaire si (E, ≤) est une chaîne.
Théorème 1.1.8.
≤ est fondé sur E si et seulement si toute suite strictement décroissante (xi)i∈N d’elements de E est finie.
Preuve.
(⇒) : Supposons qu’il existe une suite strictement décroissante (xi)i∈N d’éléments de E qui n’est pas finie. Posons X = {xi/ i ∈ N} ⊆ E. Alors Min≤(X) = ∅ et ≤ est ainsi non fondé sur E.
(⇐) : Supposons qu’il existe A ⊆ E tel que A ≠ ∅ et Min≤(A) = ∅. Donc
∀x ∈ A, DA(x, ≤) ≠ ∅
Soit x0 ∈ A, donc il existe x1 ∈ A tel que x1 ≤ x0, et de la même façon il existe x2 ∈ A tel que x2 ≤ x1 ≤ x0. En continuant cette procédure, on peut avoir une suite strictement décroissante d’éléments de E :
x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ … ≥ xn ≥ …pour tout n ∈ N.
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Table des matières
Introduction
1 Ordre et module
1.1 Ordre
1.2 Monoïdes et modules
1.3 Les modules de type fini
1.4 Completion d’une famille libre en une base
2 Variété torique
2.1 Cônes
2.2 Variétés affines
2.3 Idéaux
2.4 Variété torique associée à un cône polyhedral convexe
2.5 Action d’un tore, orbites et diviseurs
3 Base de Gröbner
3.1 Ordres lexicographiques sur Nn
3.2 Ordre monômial
3.3 Base de Hilbert
3.4 Base de Gröbner
3.5 Une autre conception de base de Gröbner
3.6 Application
4 Base de Gröbner et idéal torique
4.1 Idéal torique
4.2 Minimum successif d’un réseau
4.3 Le degré d’une base de Gröbner minimale
Conclusion
Bibliographie
