Valorisation des savoirs individuels et apprentissage collectif

Mon désir d’enseigner est d’une part lié à mon expérience qui est que l’école peut faire qu’un élève se sente accepté, ait le sentiment d’être reconnu et qu’il puisse connaître sa valeur, d’autre part à ma volonté de partager l’amour des mathématiques en tant que possibilité d’évasion et d’espace où éprouver la puissance de son intelligence.

Stagiaire dans le lycée Camille Sée à Paris, j’enseigne à des élèves de seconde dont une proportion importante est en situation de décrochage par rapport aux mathématiques, voire à l’école en général. Le faible niveau de ces classes s’explique en partie par le fait que ce lycée est classé dernier de l’académie de Paris , a fortiori du district auquel il appartient et qu’à l’entrée en seconde, les établissements sélectionnent les élèves sur la base de leurs dossiers et de leurs choix, ces derniers reflétant en général le classement. Ces classes sont donc caractérisées par une forte proportion d’élèves en retard ou en difficulté, notamment en mathématiques. A cela s’ajoute une posture de dédain vis-à-vis de cette discipline qui, sans être particulière au contexte du lycée, est renforcée par une attitude rétive vis-à-vis de l’institution scolaire.

J’ai ainsi été confrontée d’emblée à la question du sens de l’enseignement pour des élèves inscrits dans un établissement qui était un de leurs derniers choix, et qui sont pour partie en  décrochage scolaire. Nous verrons que cette réalité est particulièrement aiguë s’agissant des mathématiques. Enfin, le sens même des objets mathématiques que les élèves sont amenés à manipuler s’est posé. Une première partie sera consacrée à cette question.

En raison de leur importance dans le programme de seconde et de la nouveauté que cela présente pour les élèves, ma réflexion a porté sur l’enseignement des fonctions. La manipulation des lettres en algèbre et, en continuité, celles des fonctions, qui sont une part importante du programme de seconde, provoque souvent des résistances. La deuxième partie du mémoire portera sur les approches didactiques et pédagogiques qui pourraient être des formes de réponse adaptées à ces écueils. Dans la dernière partie, je partagerai mes observations sur l’année écoulée et les expérimentations effectuées qui visaient à donner du sens aux objets manipulés par les élèves tout en leur inculquant une solide maîtrise des notions de variable et d’inconnue, en portant une attention particulière à la nécessité de sentir et d’évaluer leurs compétences afin qu’ils soient en position d’apprendre.

La question du sens 

Sens de l’enseignement 

Erwan, un élève arrivé un mois après la rentrée, me demanda en cours de mathématiques alors qu’il était en difficulté face à un exercice « Madame, est-ce qu’il y aura des maths en STMG ? ». Cette question était révélatrice de son état d’esprit : cela valait-il la peine d’essayer ?

A partir des savoirs individuels des élèves, le rôle de l’enseignant est de développer des connaissances qui se structurent pendant les cours, pour être ensuite converties en savoirs institutionnalisés et en savoir de la classe . Toutefois, pour mobiliser ces savoirs des élèves, il faut qu’ils soient motivés et qu’ils trouvent un sens à l’effort que l’on sollicite, d’autant que la notion de savoir de la classe suppose une certaine  homogénéité dont nous parlerons dans la 3ème partie.

Selon BAUTIER, CHARLOT (1993), la logique des élèves de famille populaire serait que la seule motivation pour apprendre consiste à passer dans la classe supérieure et que : «c’est bien ainsi que les enseignants eux-mêmes voient les choses. Il est excessivement rare que l’on tienne aux élèves un discours qui prendrait leur logique à contre-pied : c’est dommage que tu n’aies pas travaillé ce trimestre, tu as raté plein de choses intéressantes. Pourtant un tel discours correspondrait au rapport des enseignants à leur propre savoir. ». page 10.

Il est assez fréquent d’essayer de motiver à travailler les élèves en soulignant que leurs résultats conditionnent leur orientation dans la filière de leur choix. Et toute motivation est bonne à prendre pour initier un processus d’apprentissage car c’est en travaillant et en progressant que certains élèves prennent du plaisir à travailler et finissent parfois par vraiment aimer une matière. Pour autant, je suis convaincue que la notion de partage du plaisir et des satisfactions qu’ils ont eus à étudier une matière est présente chez la plupart des enseignants. J’ai plus d’une fois évoqué mon plaisir à faire des mathématiques devant mes élèves ainsi que mon souhait qu’eux-mêmes soient intéressés et j’espère que par mon discours, même de façon implicite, l’importance que j’accorde au savoir transmis est perceptible. Cependant, je  pense maintenant que cette posture par rapport au savoir enseigné devrait être plus souvent explicitée aux élèves.

Le même article défend l’idée que la majorité des élèves de famille populaire veulent faire des études les plus longues possibles, non pour apprendre davantage, mais parce qu’ils pensent que plus loin ils seront allés dans le cursus scolaire, plus ils pourront prétendre, de droit, à un emploi, et ce, indépendamment de ce qu’ils auront appris à l’école. Cette attitude, si elle me semble bien être partagée par beaucoup de mes élèves subissant l’école plus qu’autre chose, ne me semble pas spécifique aux milieux populaires. Beaucoup de familles pensent qu’avoir un baccalauréat d’une filière générale est un minimum et peu sont disposées à envisager une filière technologique ou professionnelle, même quand leur enfant en exprime le souhait. Cette observation m’a amenée à me demander comment motiver les élèves qui ne l’étaient pas, soit parce qu’ils étaient en échec depuis trop longtemps, comme Karim qui me l’a indiqué  sur sa fiche en début d’année « En 6ème, je n’ai pas fait le programme de mathématiques. Du coup, à partir de cette année j’ai eu énormément de difficultés », soit parce qu’ils n’envisageaient pas une filière scientifique et ne voyaient donc pas l’intérêt de faire des efforts (qui de surcroît risquaient de ne pas être couronnés du succès escompté).

Sens des mathématiques

Qu’un ancien Ministre de l’Education Nationale déclare que les mathématiques dans la vie courante ne servent à rien et qu’elles ne sont qu’un instrument de sélection dans le système éducatif ne rend pas service aux enseignants de mathématiques, ni aux élèves. En effet, ce discours, révélateur de croyances enracinées et du culte du diplôme, fait oublier que les mathématiques, comme toutes les autres compétences, sont affaire de travail et de méthode appropriée. En outre, la diffusion de ce type d’affirmations peut conduire à un cynisme généralisé sur le contenu des enseignements.

Plutôt que de défendre l’idée que les mathématiques enseignées au lycée leur serviront à se débrouiller dans la vie, je crois qu’il faut défendre l’idée que l’enseignement des mathématiques permet d’acquérir des savoirs qui tirent leur sens d’eux-mêmes et ouvrent à d’autres univers de pensée. En classe de seconde et au lycée, il faut donner du sens au savoir en tant que tel sans faire référence à une situation concrète de la vie de tous les jours. Ce qui n’est pas opposable au fait qu’en classe de seconde, « faire des mathématiques » c’est « résoudre des problèmes» .

En voulant trop justifier l’enseignement des mathématiques par leur utilité concrète, on risque d’enfermer les élèves dans un rapport utilitaire au savoir qui n’a plus sa place en classe de seconde générale et qui risque de démotiver les éléments les plus en difficulté qui pourront chercher en vain le pragmatisme de tel ou tel chapitre. Aussi l’enseignement des mathématiques au lycée doit être envisagé comme une propédeutique à d’éventuelles études supérieures en sciences. Toutefois, l’accent mis sur la résolution des problèmes en seconde peut donner du sens à l’apprentissage et raviver le désir de faire des mathématiques. Les élèves apprennent des concepts et la maîtrise d’outils pour développer leur capacité de recherche et de résolution.

J’ai pu constater que des élèves ayant décroché (par manque de bases et par absence de maîtrise du cours) pouvaient manifester un réel intérêt et se mettre à chercher avec succès la solution de problèmes ouverts. Il faut ensuite montrer aux élèves que l’enseignement proposé va développer chez eux des capacités leur permettant de trouver des solutions plus rapidement et plus simplement. En effet, « Pour autant, un élève ne peut pas résoudre de problème s’il ne maîtrise pas un minimum de technique. Sans ce minimum en effet toute réalisation technique d’une stratégie de résolution risque de se révéler particulièrement laborieuse, voire impossible à finaliser, ce qui est particulièrement démotivant. » (MUNCK, PERCOT, 2013), page 3. Mon objectif a été d’enclencher un cercle vertueux pour mes élèves où, malgré une phase d’amorçage ingrate impliquant de la persévérance, leur effort paye, ils prennent du plaisir à progresser et où ils développent leurs compétences.

La lettre en algèbre 

Bien que dans l’histoire des mathématiques l’usage de la lettre ait été introduit très progressivement, au fil des siècles, et la lettre et ses différents usages sont proposés de façon relativement abrupte aux élèves d’aujourd’hui. C’est dans ce contexte que la question de la lettre illustre bien la problématique du sens des mathématiques.

Une rupture 

Si l’utilisation de lettres en algèbre date du XVIIème siècle, l’enseignant ne doit pas oublier que la manipulation de lettres ne va pas de soi. Lors de la première introduction d’une variable x dans une fonction, Karima s’est exclamée « Ce n’est pas un nombre normal ! ». Elle soulignait par là que, dans le contexte, aucune valeur n’allait être attribuée à la variable. Si l’introduction de la lettre constitue une rupture dans l’histoire des mathématiques, il en est de même pour les élèves… : « l’entrée dans l’algèbre a constitué traditionnellement, pour beaucoup d’élèves, un moment de rupture, un moment où l’activité mathématique cessait de faire sens, tendait à se réduire à un jeu formel basé sur des règles dont ils ne comprenaient pas les raisons d’être. Le sens de l’algèbre disparaissait derrière l’apprentissage d’un nouveau calcul: le calcul littéral, souvent conçu comme un préalable à l’activité algébrique, ses tâches spécifiques (développer, simplifier, factoriser) et ses techniques. »

« Les lettres existent déjà en arithmétique [au collège], utilisées pour désigner des objets ou coder des unités, mais elles n’y représentent pas des nombres et ne sont pas engagées à ce titre dans des calculs. » (ARTIGUE, 2012), page 1.

Les erreurs de calcul faites avec des lettres, que les élèves ne feraient pas sans doute pas avec des nombres, montrent cette difficulté. J’ai ainsi souvent relevé les erreurs suivantes :

x.x devient 2x
x²+3x=0 donne x²=0 ou 3x=0
3x = 9 donne x = 9 – 3
5x=0 donne x=5 ou encore – (x+5)=5(1-2x) donne –5x=5 – 10x

En classe de seconde, une part importante du programme est dédiée aux fonctions, dans ce cadre, il est nécessaire que les élèves acquièrent une bonne maîtrise de l’utilisation des lettres et des concepts d’inconnue et de variable. En effet, autant que l’utilisation des lettres, c’est la réalisation d’opérations sur un nombre dont on ne connaît pas la valeur et dont on ne sait même pas s’il existe (cas d’une équation qui n’aurait pas de solution par exemple) qui peut présenter des difficultés aux élèves. C’est par la pratique qu’ils se familiariseront avec ses différents usages. Pour certains, expliciter l’usage comme nous l’avons fait dans l’activité sur la lettre (cf. III 4. c.) peut ancrer des notions et éviter des erreurs.

Ainsi, à l’issue de l’activité visant à expliciter les différents statuts de la lettre en mathématiques, Pauline a noté « Certaines conventions nous habituent à comprendre la signification de certaines lettres. » .

Histoire

Les extraits qui vont suivre rappellent l’histoire de l’introduction et de l’utilisation des lettres ainsi que le potentiel d’abstraction et de modélisation qu’elles ont permis de développer :

En partenariat avec les professeurs de français et/ou d’histoire et géographie, faire lire ces pages d’histoire aux élèves peut les sensibiliser à l’intérêt de l’usage des lettres, au fait qu’ils entrent dans un nouvel univers, qui a donné des difficultés à leurs prédécesseurs et qu’il est indispensable d’explorer pour étudier les fonctions, résoudre des équations et modéliser des problèmes. Au-delà du rappel que jusqu’au XIXème siècle l’enseignement des mathématiques faisait partie de l’enseignement des humanités où les érudits étaient formés sans hiérarchie aux disciplines : l’histoire, la géographie, l’astronomique, la poésie, la philosophie, le droit et les mathématiques, l’apport du monde arabo-musulman au développement des mathématiques a captivé ma classe de part ses origines multiculturelles. La vidéo «Voyage en Mathématique – Ahmed Djebbar – Al-Khwârizmî, père de l’algèbre arabe» diffusée en classe a ainsi suscité un réel intérêt. Aussi, j’ai dû répondre à des questions telles que : « Est-ce que les égyptiens étaient arabes ? » ou encore « Est ce que ce sont les arabes qui ont découvert les nombres ? ». Précédant la révolution algébrique, la modélisation utilisée par les grecs pour résoudre des problèmes concrets a été la base du développement des mathématiques.

« Dans sa Vie, doctrine et sentence des philosophes illustres, Diogène Laërce écrit : «Hiéronyme dit que Thalès mesura les pyramides d’après leur ombre, ayant observé le temps où notre propre ombre est égale à notre hauteur ». Michel Serres, citant ce passage, le commente ainsi : « La géométrie est une ruse, elle fait un détour, elle prend une route indirecte pour accéder à ce qui dépasse la pratique immédiate. La ruse, ici, c’est le modèle : construire en réduction, à module constant, un résumé, un squelette de pyramide. De fait, Thalès n’a rien découvert d’autre que la possibilité de la réduction, que l’idée de module, que la notion de modèle. La pyramide est inaccessible ; il invente l’échelle».

Miracle grec, indéfiniment recommencé ! Comte, dans la troisième leçon de son Cours de philosophie positive, note justement : « Nous devons regarder comme suffisamment constatée l’impossibilité de déterminer, en les mesurant directement, la plupart des grandeurs que nous désirons connaître. C’est ce fait général qui nécessite la formation de la science mathématique (…) Car, renonçant, dans presque tous les cas, à la mesure immédiate des grandeurs, l’esprit humain a dû chercher à les déterminer indirectement, et c’est ainsi qu’il a été conduit à la création des mathématiques ». » (CHEVALLARD, 1989), page 58.

L’idée de travailler avec une inconnue (de nature géométrique ou numérique) en la manipulant comme un objet connu est la base de la méthode d’analyse opposée à la synthèse dans la mathématique grecque. L’algèbre proprement dite a été inventée au IXème siècle par al-Khwarizmi mais jusqu’au XVIème siècle, on utilisait encore des mots différents pour les inconnues, leur produit par un nombre ou leur puissance.

« L’idée de travailler avec une inconnue (de nature géométrique ou numérique) en la manipulant comme un objet connu est la base de la méthode d’analyse opposée à la synthèse dans la mathématique grecque (cf. préface du livre VII de Pappus). Diophante d’Alexandrie (IIIème siècle ?), dans ses Arithmétiques, désigne l’inconnue du problème par le mot « nombre (inconnu) » et ses puissances reçoivent des désignations particulières pour carré et cube, etc. Dans les manuscrits, ces mots sont généralement abrégés par des signes conventionnels, mais il ne faut pas y voir un véritable symbolisme algébrique.

L’algèbre proprement dite a été inventée au IXème siècle par al-Khwarizmi. Son traité introduit le concept fondamental d’équation et développe une théorie des équations de degré 1 ou 2 ; le terme connu y est compté en dirham, l’inconnue s’appelle la chose et son carré le bien (la richesse). Les termes sont répartis de part et d’autre du mot « égale » de manière que tous les coefficients soient positifs, le tout s’exprimant sous forme d’un discours. Exemple : « un bien et trois choses sont égales à cinq » pour l’équation x^2 +3x =5. La théorie s’applique aussi bien à des problèmes arithmétiques (où la chose est un nombre) qu’à des problèmes géométriques (où la chose est, par exemple, la longueur d’un segment ou encore une aire). Les générations suivantes ont enrichi l’algèbre avec les puissances supérieures de l’inconnue et en particulier l’étude des équations du troisième degré. (…) .

Le Moyen Âge européen est l’héritier de l’algèbre arabe ; elle faisait partie des pratiques enseignées et développées par les maestri d’abaco du nord de l’Italie (XIVème-XVIème siècles). Ce développement a conduit, au début du XVIème siècle, à la découverte de la résolution algébrique des équations de degré 3 et 4 (Scipione del Ferro, Ferrari). L’inconnue s’appelle encore la « chose » (italien cosa, d’où en allemand Coss, en latin res ; Cardan dira aussi positio), son carré le « cens » (italien censo, latin census, allemand Zensus ; chez Cardan quadratum) et son cube le « cube ». Chaque auteur choisissait un système d’abréviations pour ces termes et pour les opérations auxquelles ils sont soumis. (…) » (REISZ, 2003), pages 15-16.

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Table des matières

Introduction
I. La question du sens
1. Sens de l’enseignement
2. Sens des mathématiques
3. La lettre en algèbre
a. Une rupture
b. Histoire
II. L’enseignement des fonctions en classe de 2nde
1. Des difficultés identifiées
2. Des approches pour les dépasser
III. Ma classe, mes observations et expérimentations
1. La classe de 2nde 4
2. Se sentir apte et sachant
3. Combler le retard d’une forte proportion d’élèves
4. L’importance des activités de recherche
a) Activité sur les nombres
b) Activité sur le statut de la lettre
c) Aire de baignade – TICE
IV. Conclusion
V. Bibliographie
VI. Annexes

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