Soutenance mémoire
Les élastomères thermoplastiques et thermodurcissables sont très largement utilisés dans l’automobile, la chimie, le bâtiment, la câblerie et les adhésifs. L’origine de ce succès provient des caractéristiques mécaniques des polymères qui leur permettent d’avoir une tenue correcte en température, une bonne tenue au frottement et aux chocs et de bonnes propriétés acoustiques (absorption de bruits et isolation phonique). Du point de vue mécanique, le comportement des polymères varie entre le comportement solide vitreux et le comportement fluide visqueux en fonction des conditions de chargement (température, temps, fréquence de chargement). C’est pour cette raison que les polymères sont considérés comme des matériaux viscoéîastiques, terme qui exprime la variation du comportement entre l’état solide élastique et l’état fluide visqueux.
La température qui caractérise le comportement des polymères est appelée température de transition vitreuse. Aux basses températures (ou aux hautes fréquences), le comportement est de type élastique fragile (ou vitreux) avec un module d’Young de quelques GPa et une elongation à rupture de quelques pour-cent. Aux hautes températures (ou basses fréquences), le comportement des polymères est de type caoutchoutique avec un module d’Young de quelques MPa et une elongation à rupture de quelques centaines de pour-cent. Pour des températures encore plus élevées, une déformation permanente apparaît sous le chargement et le polymère se comporte comme un fluide visqueux. Autour de la température de transition vitreuse, le comportement du matériau est très instable (ni vitreux, ni caoutchoutique) et aucun équilibre thermodynamique ne peut être écrit. Le matériau a alors un module intermédiaire et peut dissiper une énergie considérable.
La dépendance vis-à-vis du temps provient du fait que les polymères s’oxydent au contact de la lumière. C’est pour cette raison qu’ils sont dits vieillissants et, dans ce cas, leur comportement est très différent. Toutefois, pour remédier à cet inconvénient, on ajoute, lors de la fabrication des élastomères, par exemple, des dérivés phénoîiques ou des dérivés aminés.
Si l’on s’intéresse à ces matériaux à l’état solide et en les supposant non vieillissants, comme c’est le cas dans ce travail, les polymères sont sujets à de grandes déformations (puisque l’éîongation à rupture est de quelques centaines de pourcent) et ont un comportement non linéaire. De plus, ils se caractérisent par une forte dissipation visqueuse et une faible conductivité thermique qui engendre une importante variation de température qui modifie fortement les caractéristiques mécaniques.
La difficulté de l’étude de ces matéraux réside dans l’interaction entre la dépendance en temps et la non linéarité. La plupart des études faites dans ce domaine, telles que [Coleman & Noll, 1961a], [Coleman &¿ Noll, 1961b], [Bernstein et ai, 1963], ne prennent pas en compte cette interaction. D’autres considèrent le comportement viscoélastique comme un comportement hyperélastique modifié. Ainsi, Johnson [Johnson et ai, 1991a], [Johnson et ai, 1991&], [Johnson et al., 1991c] a modélisé la viscoélasticité par la superposition de l’hyperélasticité et de la viscohyperélasticité ainsi que par un modèle de Maxwell linéaire où tous les éléments sont hyperélastiques. L’inconvénient de ce type d’approche est qu’elle ne permet pas de tenir compte de l’énergie dissipée.
Définition [Salençon, 1989] On appelle configuration actuelle d’un système S, la configuration Kt correspondant à l’instant courant t. Les variables indépendantes sont donc la position actuelle x de la particule X et le temps t. On appelle configuration de référence du système S, la configuration particulière Kio du système à un instant ta fixé. En général, on pose to = 0 et la configuration de référence est alors appelée configuration initiale et notée KQ. Les variables indépendantes sont donc la position de référence. X de la particule X et le temps t. Il convient de préciser que le choix de la configuration de référence est arbitraire. On appelle configuration naturelle du système S, la configuration où les variables indépendantes sont la particule X elle même et le temps t. Néanmoins, cette configuration est rarement utilisée en mécanique des milieux continus. En revanche, elle s’avère très utile dans certaines applications de la méthode des éléments finis.
Les lois de comportement peuvent s’écrire sous différentes formes conduisant à des approches qui diffèrent par leur principe.
A ce propos, deux grandes écoles se distinguent dans le développement des lois de comportement en viscoélasticité: l’école anglo-saxonne ([Coleman & Noll, 1961a], [Noll, 1958], [Pipkin, 1964], [Bernstein et ai, 1963], [Scfiapery, 1969]) qui privilégie une approche de type fonctionnelle et l’école française ([Mandel, 1977], [Weber, 1968], [Sidoroff, 1975a]) qui est davantage axée sur une approche par variables d’état .
L’approche fonctionnelle consiste à écrire la contrainte sous la forme d’une fonctionnelle de l’histoire passée de la déformation. Fréchet [Fréchet, 1910] a montré que de telles fonctionnelles (sous l’hypothèse qu’elles soient continues) pouvaient être développées en séries d’intégrales multiples. Selon l’ordre du développement, on obtient des expressions de plus en plus complexes et donc des modèles plus ou moins fidèles au comportement réel. Chaque fonctionnelle du développement peut être interprétée comme une fonction de relaxation qui peut être déterminée expérimentalement. Le nombre d’expériences à réaliser devient rapidement élevé lorsque l’on augmente l’ordre du développement ce qui est une limite importante à ce type d’approche qui, malgré tout, reste utile pour des études théoriques.
L’approche par variables d’état suppose que les grandeurs constitutives ne dépendent pas de l’histoire comme le suppose l’approche fonctionnelle, mais qu’elles dépendent uniquement de la valeur actuelle de certaines variables, dites variables d’état supposées être les mêmes que celles qui décrivent l’équilibre. Elle est plus maniable que l’approche précédente puisqu’elle ne fait intervenir qu’un nombre limité de variables d’état et s’inscrit, par sa construction même, dans un cadre thermodynamique. Le problème posé consiste à choisir de façon adéquate les variables d’état et les fonctions d’énergie libre et de dissipation pour décrire un type de comportement donné.
Une application des théories de Green et Rivlin et de Coleman et Noll est le modèle de Bernstein, Kearsley et Zapas (communément appelé BKZ) qui pose le problème de l’identification (expérimentale) des fonctionnelles. Dans lesdites théories, l’histoire de contrainte est une fonctionnelle de l’histoire du gradient de transformation. L’inconvénient d’une telle écriture est que, à partir des résultats d’une histoire du gradient de transformation, on ne peut pas prédire les résultats d’une autre histoire du gradient de transformation. Ainsi, le premier point faible des deux théories est d’avoir admis (et donc contourné) la question de savoir dans quel sens une histoire de déformation peut en approcher une autre. D’autre part, les modèles de Green & Rivlin et de Coleman & Noll génèrent un nombre élevé de caractéristiques matérielles à identifier. L’expérimentateur ne peut pas effectuer un nombre indéfini ou infini (même dénombrable) d’essais. Par conséquent, il faudrait limiter le nombre de paramètres du matériau à un nombre fini et petit en ajoutant à la théorie des hypothèses empiriques raisonnables.
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Table des matières
Introduction
0 Rappels et notations
0.1 Description d’un système en mouvement
0.1.1 Description lagrangienne
0.1.2 Description eulérienne
0.1.3 Déformations
0.1.4 Contraintes
0.1.5 Grandeurs objectives
0.1.6 Loi de comportement isotherme
0.2 Inégalité de Clausius-Duhem
1 Approche fonctionnelle
1.1 Viscoélasticité linéaire finie
1.2 Le modèle de Bernstein, Kearsley et Zapas (BKZ)
1.2.1 Solide incompressible
1.2.2 Fluides incompressibles
1.2.3 Identification expérimentale
1.2.4 Limitations
1.3 Viscoélasticité d’ordre supérieur
1.3.1 Viscoélasticité d’ordre 2
1.3.2 Viscoélasticité d’ordre 3
1.4 Extension du principe de Boltzmann
1.4.1 Le modèle de Leaderman
1.4.2 Le temps réduit de Schapery
1.5 Le modèle de Christensen
1.5.1 Hypothèses du modèle
1.5.2 Loi de comportement
1.6 Conclusion
2 Approche par variables d’état
2.1 Les modèles rhéologiques
2.1.1 Le modèle de Maxwell
2.1.2 Le modèle de Burger généralisé
2.1.3 Conclusion
2.2 Le modèle de Weber
2.3 Le modèle de Sidoroff
2.4 Viscoélasticité tridimensionnelle
2.4.1 Théorie linéaire
2.4.2 Extension au cas non linéaire
2.5 Le modèle viscohyperélastique
2.5.1 Le modèle linéaire de Maxwell généralisé pour les solides
2.5.2 Le modèle viscohyperélastique
2.6 Le modèle à cinq paramètres
2.6.1 Le modèle à trois paramètres
2.6.2 Identification expérimentale
2.6.3 Le modèle à cinq paramètres
2.6.4 Limitations
2.7 Conclusion
Conclusion
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