UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN ELECTRICITE

INTRODUCTION

                   La physique est une science expérimentale qui vise à expliquer, par des théories basées sur l’observation et l’expérience, des phénomènes naturels. Ces théories font appel à des mesures et des calculs pour établir des lois et d’en tirer des conséquences utilisables. Les mathématiques deviennent un outil incontournable pour cela, y compris les nombres complexes. A Madagascar, l’usage des nombres complexes n’est pas conseillé dans la partie ‘‘électromagnétisme’’ du programme officiel de la physique destinée à la classe terminale scientifique. Il se peut que des professeurs de physique ne maîtrisent pas cette électricité étudiée au moyen des nombres complexes. Des entretiens avec quelques professeurs de physique dans quelques lycées l’ont confirmé. Pourtant, on remarque que l’utilisation des nombres complexes permet de rendre certains calculs plus élégants et plus simples en électricité notamment sur l’étude du courant alternatif. Pour mettre en œuvre cette importance des nombres complexes en électricité, nous avons axé notre travail de mémoire sur le : ‘‘ MECANISME D’UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN ELECTRICITE’’. Cette recherche s’intéresse à l’usage des nombres complexes en courant alternatif, en particulier pour l’étude des circuits électriques à courant alternatif. Notre travail a pour but de (d’) :
faire le lien entre les notions des nombres complexes et les cours d’électricité,
utiliser les nombres complexes pour décrire, analyser et résoudre des problèmes d’électricité.
Ce travail se divisera en deux grandes parties. La première, Utilisation des nombres complexes en courant alternatif, introduit et développe le mode d’utilisation des nombres complexes dans l’étude du courant alternatif. La deuxième, Exploitation pédagogique, consiste à l’élaboration de nouvelles fiches pédagogiques et à la proposition d’exercices d’évaluation sur le chapitre ‘‘Circuit en régime sinusoïdal forcé’’ étudié dans la classe terminale scientifique.

Bref historique

                 Les nombres complexes ont été introduits au XVIème siècle par les algébristes italiens Nicolo Fontana, dit Tartaglia et Jérôme Cardan au cours de la résolution d’équations de la forme . C’est à partir du XVIème siècle que les mathématiciens Jérôme Cardan et Raphael Bombelli ont introduit des nombres ‘‘imaginaires’’ qui ont un carré négatif pour résoudre les équations du type x ! « 1 et les équations du troisièmes degré. [Ingrao, B. (2003)] Leonhard Euler et Jean Le Rond d’Alembert ont achevé la création des nombres complexes en fixant les notations actuelles, particulièrement celle du nombre ‘‘i’’. [Ingrao, B. (2003)]

Différentes formes d’écritures des nombres complexes

                  Soit un nombre complexe # $ %, de module |#| . et dont l’argument est 345# 6. Le nombre complexe z peut s’écrire sous quatre formes différentes.
a) Forme algébrique : L’écriture d’un nombre complexe sous la forme # $ % est la forme algébrique d’un nombre complexe.
b) Forme trigonométrique : L’écriture d’un nombre complexe sous la forme # .cos 6 sin 6est la forme trigonométrique d’un nombre complexe.
c) Forme exponentielle : L’écriture d’un nombre complexe sous la forme # .AB est la forme exponentielle d’un nombre complexe.
d) Forme polaire : L’écriture d’un nombre complexe sous la forme # C., 6Dest la forme polaire d’un nombre complexe.

Les pré requis

                  L’étude du chapitre ‘‘circuit en régime sinusoïdal forcé’’ au moyen des nombres complexes nécessite quelques connaissances sur les nombres complexes, un chapitre dans la partie ‘‘géométrie’’ de la classe terminale scientifique, et surtout quelques notions sur l’électricité dans les chapitres qui précédent le chapitre ‘‘circuit en régime sinusoïdal forcé’’ ou l’électricité dans les classes antérieures. Par conséquent des pré requis devront être établis avant d’entamer le chapitre pour poursuivre le cours. Les pré requis sont :
– Définir un nombre complexe
– Calculer le module et l’argument d’un nombre complexe
– Ecrire le conjugué d’un nombre complexe
– Représenter un nombre complexe sous ses différentes formes : forme algébrique, forme trigonométrique, forme exponentielle, forme polaire.
– Représenter un nombre complexe dans un plan complexe
– Appliquer les règles de calcul dans l’ensemble des nombres complexes ℂ : addition, multiplication et division.
– Appliquer la loi d’Ohm pour un conducteur ohmique, pour une bobine parfaite et pour un condensateur
– Appliquer la loi sur les dipôles en série : loi d’additivité des tensions et unicité de l’intensité.
Les pré requis sur les nombres complexes seront intégrés dans le contenu du cours comme des rappels mathématiques et pour les notions d’électricité nécessaires au chapitre comme une évaluation prédictive.
Test des pré requis :
a) Que peut-on dire de l’intensité de n dipôles montés en série ?
b) Que peut-on dire sur la tension de n dipôles montés en série aux bornes d’un générateur G ?
c) Donner la relation qui relie la tension aux bornes du dipôle et l’intensité du courant qui le traverse pour chacun des dipôles suivants :
– Conducteur ohmique de résistance R
– Bobine d’inductance L
– Condensateur de capacité C

CONCLUSION

              ‘‘Ecrire correctement un résultat numérique’’, ‘‘Appliquer les lois mathématiques sur les phénomènes physiques’’ font parmi des objectifs de l’enseignement des sciences physiques au lycée. Afin d’atteindre ces objectifs, il faut bien choisir la méthode mathématique qu’on devrait utiliser pour résoudre un problème de physique. Dans ce travail nous avons étudié le mécanisme d’utilisation des nombres complexes en électricité dans le but d’illustrer le lien entre les notions des nombres complexes et les cours d’électricité, et d’appliquer les nombres complexes pour décrire, analyser et résoudre des problèmes d’électricité. Au début, nous avons mis en évidence l’utilisation des nombres complexes dans les circuits à courant alternatif sinusoïdal. Cette mise en évidence nous a permis de relever l’importance et les avantages de l’utilisation des nombres complexes par rapport à d’autre méthode, comme l’utilisation des fonctions sinusoïdales de temps, dans la résolution des problèmes d’électricité. C’est la facilité apportée par les nombres complexes qui nous a orienté notre attention à intégrer l’étude des circuits à courant alternatif à l’aide des nombres complexes dans le programme de la classe terminale scientifique. Après avoir apporté quelques modifications sur le programme du chapitre concerné, nous avons élaboré un cours sur le chapitre et suggéré des exercices d’évaluation pour l’application. L’utilisation des nombres complexes en physique a été déjà remarquée par des mathématiciens et des physiciens depuis plusieurs années. A part l’électricité, il y a plusieurs parties de la physique qu’on peut étudier avec les nombres complexes. Nous encourageons nos cadets de poursuivre ce travail en vue de savoir comment les nombres complexes interviennent d’une manière fondamentale en physique.

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Table des matières

INTRODUCTION
PREMIERE PARTIE : UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN COURANT ALTERNATIF 
I LES NOMBRES COMPLEXES
I- A Bref historique
I- B Operations sur les nombres complexes
1- Définitions
a) Nombres complexes
b) Affixe d’un point
c) Module d’un nombre complexe
d) Argument d’un nombre complexe
e) Conjugué d’un nombre complexe
2- Différentes formes d’écritures des nombres complexes
a) Forme algébrique
b) Forme trigonométrique
c) Forme exponentielle
d) Forme polaire
3- Calcul dans ℂ
a) Egalité de deux nombres complexes
b) Addition et soustraction des nombres complexes
c) Multiplication des deux nombres complexes
d) Divisions de deux nombres complexes
II ETUDE DES CIRCUITS A COURANTS ALTERNATIFS A L’AIDE DES NOMBRES COMPLEXES 
II- A Notation complexe des grandeurs électriques
1- Représentation complexe des fonctions sinusoïdales du temps
2- Avantage de l’utilisation des notations complexes
a) Addition de deux vibrations isochrones
b) Dérivée et primitive d’une grandeur sinusoïdale
3- Notations complexes des grandeurs intensité et tension en régime alternatif
a) Intensité complexe
b) Tension complexe
II- B Lois fondamentales d’électricité en notation complexe
1- Lois de KIRCHHOFF
a) Première loi : loi des nœuds
b) Deuxième loi : loi des mailles
2- Loi d’OHM complexe
3- Impédance complexe
a) Définition de l’impédance
b) Représentation de l’impédance complexe dans un plan complexe
c) Impédances complexes des dipôles élémentaires
i Conducteur ohmique (Résistor)
ii Bobine
iii Condensateur
4- Réactances
5- Admittances complexes
a) Définition de l’admittance
b) Admittances complexes des dipôles élémentaires
i Résistor
ii Bobine
iii Condensateur
6- Groupement d’impédances
a) Association d’impédances complexes en série
b) Association d’impédances complexes en parallèle
7- Relation complémentaire entre l’impédance et l’admittance
a) Calcul de Z lorsque Y est connue
b) Calcul de Y lorsque Z est connue
II- C Etude d’un circuit RLC en série avec les notations complexes
1- Impédance complexe du circuit RLC en série
2- Résonance série
a) Résonance d’intensité
i Etude de la résonance d’intensité
ii Courbe de la résonance d’intensité
iii Conséquence de la résonance
iv Bande passante
b) Résonance de la tension aux bornes du condensateur
i Etude de la résonance de la tension uC
ii Valeur critique de Q0 et de R
iii Tracée des courbes uC=f(ω)
iv Cas où Q0 est très grand
c) Courbes universelles de résonance
II- D Etude d’un circuit RLC en parallèle avec les notations complexes
1- Impédance complexe du circuit RLC en parallèle
2- Dualité entre circuit RLC série et circuit RLC parallèle
3- Résonance parallèle
II- E PUISSANCE
1- Puissance instantanée
2- Puissance moyenne
3- Puissance active et puissance réactive
a) Puissance active
b) Puissance réactive
4- Puissance complexe
DEUXIEME PARTIE : EXPLOITATION PEDAGOGIQUE
I- FICHE PEDAGOGIQUE SUR LE CHAPITRE ‘‘CIRCUIT EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE’
I- A Proposition de programme
I- B Les pré requis
I- C Contenu du cours
II- SUGGESTION D’EVALUATION FORMATIVE
Enoncé de l’exercice 1
Solution de l’exercice 1
Enoncé de l’exercice 2
Solution de l’exercice 2
CONCLUSION

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