Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation pour les problèmes non linéaires d’évolution

Stratégies multiéchelles en espace

Méthodes d’homogénéisation

La plupart des méthodes multiéchelles sont basées sur le principe d’homogénéisation, dans lequel l’échelle macroscopique est associée à une moyenne sur un certain volume de l’échelle microscopique. La théorie de l’homogénéisation des milieux périodiques [Sanchez-Palencia, 1974, 1980], basée sur l’analyse asymptotique de la solution, propose une véritable approche multiéchelle mettant en jeu un problème macro posé sur des quantités homogénéisées et un problème micro permettant de remonter aux propriétés locales. Dans cette partie, nous décrivons les principaux résultats de cette théorie, ainsi que quelques méthodes qui lui sont associées.

Théorie de l’homogénéisation des milieux périodiques
Cette théorie s’applique dans le cas où le matériau est constitué de la répétition régulière d’un même motif, la cellule élémentaire. Cette cellule élémentaire est agrandie par une homothétie de rapport ǫ et notée Θ. ǫ est un petit paramètre qui caractérise le rapport des échelles micro et macro. La variable x ∈ Ω est associée aux variations lentes (échelle macro), tandis que y ∈ Θ est la variable locale de Θ associée aux variations rapides (échelle micro) (1.1).

Méthodes basées sur la théorie de l’homogénéisation

Dans le cadre non linéaire, des travaux inspirés de cette théorie [Devries et al., 1989; Lefik et Schrefler, 1992; Schrefler et al., 1997; Fish et al., 1997; Temizer et Wriggers, 2007] ont consisté à écrire le développement asymptotique de toutes les variables du problème (déformation anélastique, endommagement…). D’autres approches consistent à ne pas se donner a priori d’hypothèse sur le modèle macro non linéaire, mais plutôt à mener une analyse micro-macro itérative, dans laquelle un problème macro est résolu par une technique éléments finis avec un comportement issu de calculs sur la microstructure. Les calculs à l’échelle micro peuvent être par éléments finis également [Feyel et Chaboche, 2000; Feyel, 2003], ou par d’autres techniques telles que la « Voronoï cell finite element method » [Ghosh et al., 1995, 2001]. Dans la suite, nous étudions l’exemple de la méthode des éléments finis à deux niveaux.

Méthode FE2
La méthode des éléments finis à deux niveaux (FE2 ) consiste à discrétiser la structure par une méthode élément finis et associer à chaque point d’intégration de chaque élément un volume élémentaire représentatif Θ du matériau périodique, lui même muni d’un maillage éléments finis fin. Les variables s sont décomposées en une partie macro s M et une partie micro s m à qui on impose des conditions de périodicité sur les bords ∂Θ. Les quantités macro s M sont constantes sur la cellule Θ, et correspondent à la valeur de cette variable s au point de Gauss du maillage grossier.

La stratégie itérative de résolution est très simple. Le problème macroscopique est résolu par un algorithme de type Newton-Raphson. Une itération est composée de (cf. Figure 1.2) :

1. Localisation : La déformation εM est calculée aux points de Gauss du maillage grossier. Elle définit le chargement du problème micro.
2. Problèmes micro : Un nouvel algorithme de type Newton est utilisé pour résoudre chacun des problèmes micro non linéaires à déformation imposée et conditions de périodicité sur le bord.
3. Homogénéisation : Le problème micro donne accès àσ M = 〈σ〉, ainsi qu’à l’opérateur tangent micro. Une série de problèmes micro est résolue pour calculer l’opérateur tangent homogénéisé K M.
4. Problème grossier : l’opérateur tangent homogénéisé K M est assemblé et le problème macro peut-être résolu, ce qui démarre une nouvelle itération du schéma de Newton global.

Bilan
Cette stratégie originale est une façon assez générale d’étendre la théorie de l’homogénéisation aux problèmes non linéaires. Tous ces problèmes micro étant indépendants, la méthode se prête très bien au calcul parallèle. En revanche, ces approches possèdent les mêmes limitations que la théorie de l’homogénéisation périodique.

Méthodes d’enrichissement

Nous entendons par méthodes d’enrichissement une famille de méthodes dont le problème de référence est écrit à l’échelle macro. Constatant que le modèle macro peine à capter les phénomènes à l’échelle de la microstructure, ces méthodes consistent à aller chercher de l’information à l’échelle micro pour enrichir le modèle macro là ou il manque de pertinence. Cet enrichissement peut être analytique, numérique, ou expérimental. Nous distinguons trois classes de méthodes. La première rassemble des méthodes qui assurent l’égalité des quantités micro et macro sur le bord des cellules macro. La deuxième rassemble les méthodes de superposition de modèles, et la troisième, celles basées sur la partition de l’unité.

Méthodes dans lequel l’enrichissement est confiné dans les cellules macro

Méthode de Projection de Dirichlet Hiérarchique
La méthode de projection de Dirichlet hiérarchique (HDPM) a été initialement proposée [Zohdi et al., 1996; Oden et al., 1999] pour l’étude de structures fortement hétérogènes dans le cadre de l’élasticité linéaire. Cette méthode repose sur une vision à deux échelles de la structure. Une première échelle dite macroscopique liée à un modèle homogénéisé du matériau et à un maillage éléments finis relativement grossier. La second échelle, dite microscopique, est obtenue en décomposant le domaine Ω en sous-domaine Ωi suivant une grille régulière (cf. Figure 1.3). Chaque cellule peut, au besoin, être elle-même maillée par éléments finis suffisamment finement pour pouvoir décrire la microstructure du matériau.

Pour coupler les deux échelles, la méthode propose de corriger le champ de déplacement issu d’un calcul à l’échelle grossière u0 , par des calculs locaux indépendants par cellule, menés à l’échelle fine. Comme son nom l’indique, la méthode consiste à imposer, comme conditions aux limites, le déplacement macro u0 sur la frontière de Ωi . Si, éventuellement, la frontière de Ωi correspond à celle de Ω, les conditions aux limites du problème initial, lui sont appliquées. Il en résulte un champ de déplacement u1 i satisfaisant l’équilibre local. En combinant l’ensemble des solutions calculées, on peut définir un champ de déplacement u a priori plus précis et cinématiquement admissible. Afin d’assurer à la méthode un caractère plus systématique et d’avantage de robustesse, une stratégie adaptative basée sur un estimateur a posteriori [Oden et al., 2006] lui est associé. Elle est constituée de trois niveaux d’amélioration successifs :

1. Le premier niveau correspond à la procédure décrite précédemment. La qualité de la solution u est mesurée par un estimateur d’erreur a posteriori. Si sa qualité n’est pas suffisante, on passe au niveau 2.
2. Le deuxième niveau consiste à recaler l’opérateur homogénéisé (par exemple le module d’Young et le coefficient de poisson) au sens d’un potentiel fonction de u et u0 . Une fois l’opérateur amélioré, l’étape 1 peut être reconduite. Si après plusieurs itérations des deux précédentes étapes, la nouvelle solution n’est toujours pas d’une qualité suffisante, alors on passe au niveau 3.
3. L’idée du troisième niveau consiste à déraffiner la grille de décomposition du domaine. Les précédentes étapes sont alors réitérées. De cette façon, la taille des problèmes micro est agrandie, et la précision de la solution u s’améliore. Dans le cas extrême, s’il ne reste plus qu’une seule sous-structure, alors le problème complet est résolu sur la micro structure, ce qui assure la convergence de la méthode.

Bilan
Il s’agit là d’une stratégie multiéchelle impliquant des résolutions à l’échelle macro homogénéisée, et à l’échelle micro associée à la microstructure. L’originalité de cette méthode est que, contrairement aux méthodes d’adaptativité qui consistent le plus généralement à raffiner le maillage dans les zones erronées, c’est le modèle, voire même l’échelle de modélisation, qui est adaptée au problème à résoudre. Cependant, cette approche est limitée au cas linéaire.

Méthode aux échelles fortement couplées
La méthode aux échelles fortement couplées (Strong Coupling Method), est une méthode initialement introduite par [Ibrahimbegovi´c et Markoviˇc, 2003; Markoviˇc et Ibrahimbegovi´c, 2004], pour traiter des problèmes non linéaires fortement hétérogènes. Cette stratégie met en œuvre une discrétisation éléments finis à la fois pour l’échelle macro et l’échelle micro. Elle présente l’avantage de ne pas nécessiter de rapport d’échelles infini. L’idée de base est de considérer un maillage éléments finis grossier, dans lequel chaque élément fini macro représente une fenêtre à l’échelle micro contenant une description fine de la micro-structure, à son tour discrétisée par éléments finis. Le couplage s’effectue grâce à une technique de multiplicateurs de Lagrange localisés. La continuité entre les inconnues de chaque nœud de bord du maillage fin et celles des nœuds de l’élément macro associé est assurée par l’introduction d’un multiplicateur de Lagrange (cf. Figure 1.4). Une stratégie itérative transforme le problème couplé en la résolution, à chaque itération, d’un problème global sur la grille grossière, ainsi qu’un ensemble de problèmes micro indépendants par éléments macro, fait d’un problème élément fini standard.

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Table des matières

Introduction
I Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation pour les problèmes non linéaires d’évolution
1 État de l’art sur le multiéchelle
1 Stratégies multiéchelles en espace
1.1 Méthodes d’homogénéisation
1.2 Méthodes d’enrichissement
1.3 Méthodes microscopiques directes
2 Stratégies multiéchelles en temps
2.1 Méthodes multi-pas en temps
2.2 Méthodes d’enrichissement micro
2.3 Méthodes dédiées aux chargements cycliques
2.4 Méthodes de décomposition de domaine en temps
2 Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation
1 Problème de référence à l’échelle micro
2 Problème de référence sous-structuré en temps et en espace
2.1 Conditions d’admissibilité sur ΩE ×I Gi
2.2 Comportement d’interface
2.3 Reformulation du problème de référence
3 Description multiéchelle sur l’espace-temps
3.1 Une description des inconnues à deux échelles
3.2 Admissibilité des quantités macro
4 La stratégie de calcul multiéchelle
4.1 La méthode LATIN
4.2 Étape locale à l’itération n +1
4.3 Étape linéaire à l’itération n +1
5 Précisions sur l’algorithme
3 Mise en œuvre de la stratégie
1 Choix des espaces d’approximation
1.1 Discrétisation spatiale
1.2 Discrétisation temporelle
2 Étape linéaire pour un matériau viscoélastique
3 Étape locale pour quelques types d’interfaces
4 Choix des directions de recherche
4.1 Directions de recherche dans les sous-structures
4.2 Directions de recherche dans les interfaces
5 Un code éléments finis
4 Maîtrise de la convergence
1 Contrôle de la convergence
1.1 Indicateur d’erreur classique
1.2 Définition d’un nouvel indicateur d’erreur
1.3 Comparaison sur un exemple de contact
1.4 Limitations
2 Base macro et extensibilité
2.1 Base macro spatiale
2.2 Base macro temporelle
2.3 Techniques de raffinement classiques
2.4 Une technique d’enrichissement automatique
II Approximation radiale et stratégie de calcul adaptative
5 L’approximation radiale sur l’espace-temps
1 La POD
1.1 Le principe
1.2 Constructions classiques de la POD
1.3 Exemple
2 L’approximation radiale sur l’espace-temps
2.1 Définition classique
2.2 Définition sous forme d’un problème de minimisation
2.3 Approximation d’une fonction connue
3 Application à la résolution d’un problème micro
3.1 Réécriture de la direction de recherche
3.2 Reformulation des problèmes micro
3.3 Nouvelle approche pour l’approximation d’un problème micro
6 Mise en œuvre de la nouvelle technique d’approximation radiale
1 Exemple de référence
2 Approximation d’ordre 1
2.1 Problème spatial
2.2 Problème temporel
2.3 Exemple
3 Approximation d’ordre m
4 Mise à jour des fonctions temporelles
4.1 Problème temporel sur toutes les fonctions
4.2 Une technique alternative de résolution des problèmes temporels
4.3 Résolution d’équations différentielles avec conditions finales
4.4 Application à la réutilisation des fonctions spatiales
7 Une stratégie de calcul adaptative
1 Les méthodes de multirésolution
1.1 Méthode LATIN pour la multirésolution
1.2 Méthodes d’accélérations Krylov
1.3 Réduction de modèle basée sur la POD
2 Une méthode de calcul adaptative
2.1 Quelques remarques
2.2 Adaptativité et gestion de la base réduite
3 Exemples 3D
Conclusion
Bibliographie