TORSION APPLIQUEE A UN CYLINDRE DE SECTION CIRCULAIRE

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LA CONTRAINTE DE TRACTION ET DE COMPRESSION

On dit qu’une poutre (E) travaille en extension simple (ou en compression simple) quand elle est soumise à deux forces axiales directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes qui tendent à l’allonger (ou à la raccourcir).

LA CONTRAINTE DE FLEXION

Une poutre est sollicitée en flexion simple lorsque toutes les forces appliquées à la poutre que ce soient les forces à distance ou les forces élémentaires de liaison sont Perpendiculaires à la ligne moyenne, et soit situées dans le plan de symétrie, soit réparties symétriquement par rapport à celui-ci, ou concentrées en un point ou réparties suivant une loi.

LA CONTRANTE DE TORSION

La torsion est un mode de charge telle que dans les sections droites de la barre, seul apparaît un moment de torsion. Les autres facteurs de forces (Moment fléchissant, force normale et effort tranchant) sont nuls.

LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT

Une pièce est soumise à un cisaillement si elle est sollicitée par deux forces égales, de même droite d’action mais de sens contraires qui tendent à faire glisser l’une sur l’autre les deux parties de la pièce.

Déformation :

Définition :

La déformation c’est l’effet d’une ou plusieurs sollicitations mécaniques (forces ou moments) appliquée(s) à un objet. C’est-à-dire les déplacements d’un point ou d’une partie de l’objet, face à une ou plusieurs contraintes, par rapport à ses autres points.

Courbe de déformation 1:

C’est une courbe qui montre les différentes phases de déformation d’un matériau face à une sollicitation ou un essai de fatigue. Elle comporte trois (3) phases différentes :
 Déformation élastique
 Déformation plastique
 Rupture

Paramètre de dimensionnement d’un arbre :

détermination des sollicitations :

Généralement, on connaît la disposition des éléments technologiques de liaison et les efforts appliqués aux divers organes liés à l’arbre. Afin de déterminer les actions mécaniques exercées sur l’arbre au niveau des liaisons, on isole l’arbre et on applique le principe fondamental de la statique ou de la dynamique suivant l’importance des forces d’inertie.
L’exploitation des actions mécaniques de liaison et des efforts appliqués aux organes permet de déterminer le torseur des efforts intérieurs. L’évolution du torseur des efforts intérieurs permet d’évaluer la section de l’arbre la plus sollicitée. C’est dans cette section que sera effectué le dimensionnement.
Pour un arbre de section droite circulaire, tout axe passant par le centre de la section est un axe principal d’inertie. Dans une section donnée, on fera en sorte de choisir la base locale qui minimise le nombre de composants du torseur des efforts intérieurs. Voici la forme générale de ce torseur en G (centre d’inertie) :
• Résultante : N x + T z
• Moments : Mt x + Mf y
Les composantes du torseur des efforts intérieurs peuvent être représentées sous formes de diagrammes qui permettent de mettre en évidence la section à priori dangereuse.
Un critère de résistance est ensuite utilisé soit pour vérifier la tenue du point le plus sollicité de la section et donc de la section en entier (calcul du coefficient de sécurité) soit pour dimensionner la section (calcul du diamètre de l’arbre) en respectant un coefficient de sécurité fixé.
Il faut noter que la contrainte de cisaillement est maximale au centre de la section et nulle sur les bords tandis que les contraintes de flexion et de torsion sont maximales sur les bords et nulles au centre. Ainsi, d’une manière générale dans le calcul des arbres, on se place sur la périphérie de la section ce qui revient à négliger l’effort tranchant. On obtient donc pour un arbre de section circulaire de diamètre d :
• Contrainte normale de traction / compression : σt = 4 N / ( π d 2 ) (tension stress)
• Contrainte normale de flexion : σf = 32 Mf / ( π d 3 ) (bending stress)
• Contrainte tangentielle de torsion : τ = 16 Mt / ( π d 3 ) (shear stress)
• Contrainte tangentielle de cisaillement : τc = 0 (transverse shear stress)

Critère de résistance

En pratique, le seul essai de caractérisation des matériaux isotropes est l’essai de traction simple. σ R m R e σ t ΔL L.
Cet essai permet principalement de déterminer la résistance à la rupture Rm (ultimate tensile strength) et la résistance élastique Re (yeld strength). Ce sont ces informations qui sont exploitées pour le dimensionnement des arbres. Les tableaux suivants fournissent les valeurs de Rm et Re pour des matériaux de construction usuels.
Lorsqu’une pièce est soumise à de la traction simple, il est facile de comparer la contrainte à la limite élastique Re pour avoir une idée de la sécurité donnée par le calcul.
En pratique, en un point donné d’une section, on a souvent un état complexe de contrainte. La méthode de calcul consiste alors à déterminer une contrainte normale équivalente σe. Cette contrainte est alors la contrainte qu’il faut créer dans une éprouvette de traction pour que son état de contrainte comporte le même degré de danger que l’état complexe caractérisé par les trois contraintes principales. σ 2 σ e σ3 σ1 ≡ σ e αS = Re / σe.
Le coefficient de sécurité est toujours supérieur à 1. Il traduit l’incertitude sur le calcul. Un ‘bon’ calcul a donc un coefficient de sécurité proche de 1. Dans certains cas, le coefficient de sécurité intègre d’autre notions comme l’importance de la dégradation partielle ou totale du mécanisme ou le danger pour la vie humaine. Sa valeur est alors bien plus importante.
Lors d’un calcul de dimensionnement, la connaissance du coefficient de sécurité souhaité permet de déterminer la dimension minimale requise de la section étudiée. Pour un calcul de vérification, on détermine la valeur réelle du coefficient de sécurité et on la compare au coefficient de sécurité souhaité.
Il existe un grand nombre de critère pour calculer la contrainte équivalente, aucun ne convient à tous les matériaux et à tous les états de contraintes. On en retient généralement deux qui donnent des résultats convenables pour les matériaux usuels de construction mécanique. Pour ces deux critères, on suppose que les matériaux ont la même résistance élastique en traction et en compression.
• Le critère de Tresca ou du cisaillement maximum
Ce critère convient pour les aciers doux et les alliages légers. Il peut s’énoncer ainsi : deux états de contrainte sont également dangereux s’il y a égalité des contraintes tangentielles maximales.
On obtient la formulation suivante :
• Le critère de Von Mises
Ce critère est très utilisé pour l’ensemble des matériaux métalliques. Il est basé sur l’hypothèse que la défaillance du matériau se produit lorsque l’énergie de variation de forme atteint une valeur limite fixée.

Effets de concentration des contraintes

Si la pièce présente des discontinuités de forme (entailles, épaulements, rainures, trous…), autour de ces zones les contraintes réelles sont beaucoup plus importantes que les contraintes nominales obtenue à partir des calculs classiques de RDM. Ce phénomène local est appelé phénomène de concentration de contraintes.
Dans la section considérée, le coefficient de concentration de contrainte Kt (stress concentration factor) est défini comme le rapport entre la contrainte maximale réelle et la contrainte maximale nominale.
Kt est toujours supérieur à 1. Il est déterminé par la théorie de l’élasticité. Lorsque la géométrie des discontinuités est complexe, on utilise la photoélasticimétrie ou les logiciels exploitant les éléments finis.
La section considérée est la section nette qui tient compte de la section de matière enlevée par la discontinuité si celle-ci est importante.
Le tableau ci-dessous illustre ce problème pour un arbre entaillé par une gorge.
• σ représente les contraintes nominales, dues à différentes sollicitations dans une section sans discontinuités.
• σr, représente les contraintes réelles dues à l’effet d’entaille.
Le coefficient Kt 2ne dépend que du mode de sollicitation et de la géométrie de la discontinuité.
On note Ktt, Ktf, Kto les coefficients d’entailles relatifs aux sollicitations de traction, flexion et torsion.
Pour le calcul de la contrainte équivalente, les contraintes nominales sont affectées individuellement du Kt qui leur correspond.

CONSIDERATIONS DE BASE, ESSAI DE FATIGUE UNIDIRECTIONNEL

L’essai de fatigue est un essai normalisé qui consiste à appliquer à une éprouvette lisse ou entaillée de forme cylindrique ou prismatique un nombre très élevé de cycles identiques de contraintes. Le but est de déterminer pour un cycle de contrainte donné, le nombre de cycles à rupture de l’éprouvette testée. Compte tenu de la dispersion obtenue dans les résultats, dans la pratique, on ne réalise par un seul essai mais des campagnes d’essais et les valeurs exploitées dans les calculs sont indiquées pour une probabilité de survie donnée.
La figure suivante montre les résultats obtenus pour une éprouvette en XC 38 soumise à de la traction purement alternée.

LA COURBE DE WOHLER

La figure suivante représente pour une contrainte moyenne nulle, l’évolution de la contrainte alternée en fonction du nombre de cycles pour un pourcentage de survie p. Ce type de courbe issu des très nombreux résultats expérimentaux obtenus en flexion rotative ou traction alternée est appelé courbe caractéristique des aciers. On observe 3 zones :
1. La zone plastique : nombre de cycles inférieur à 103. La rupture intervient après un tout petit nombre de cycles, on est proche du comportement statique du matériau.
2. La zone de fatigue limitée : la rupture intervient après une nombre de cycles d’autant plus important que la contrainte est faible
3. La zone de fatigue illimitée : nombre de cycles supérieur à 107. Lorsque la contrainte est en dessous d’un certain seuil, le rupture ne se produit plus quel que soit le nombre de cycles.
σD est appelé limite de fatigue. C’est la contrainte alternée la plus grande possible pour laquelle la rupture ne se produit pas pour un nombre illimité de cycles.
Dans la majorité des cas, les arbres sont calculés pour un nombre de cycles supérieur à 107 et σD est utilisé dans le calcul de fatigue. Lorsque le nombre de cycles requis est inférieur, on utilise σD(N) qui représente la contrainte alternée maximale admissible pour un nombre de cycles N.

DIAGRAMME DE HAIGH ET COEFFICIENT DE SECURITE EN FATIGUE

Dans le cas général de la fatigue, les contraintes se décomposent en contraintes moyennes (indice : m) et en contraintes alternées (indice : a).
Nous avons vu jusqu’ici le comportement d’un matériau en statique (σa = 0) et en dynamique pure (σm = 0). Pour étudier le comportement d’un matériau soumis à une sollicitation mixte (σa et σm), on utilise un diagramme d’endurance construit à partir des valeurs caractéristiques de statique (Rm) et de dynamique pure (σD)
Tout point situé à l’intérieur du domaine correspond à un état de contrainte qui convient. Pour un état de contrainte donné (σa et σm), il est possible de calculer un coefficient de sécurité en fatigue αF qui correspond au rapport des distances OM’/OM. Sur le diagramme, on distingue deux lieux possibles pour M’, le segment AB et le segment BC, on obtient donc deux formulation possibles pour αF.
Sur le segment AB : Sur le segment BC :
La valeur finale retenue est la valeur la plus petite : αF = Min(αFAB ; αFBC)
 LES FACTEURS D’INFLUENCES
• Influence de Rm
Pour les aciers, le CETIM a montré que l’on peut lier la valeur de σD en flexion rotative avec la limite statique de rupture Rm.
• Influence de l’état de surface
L’état de surface a une influence importante sur la tenue en fatigue. Plus la rugosité est faible plus la limite de fatigue est grande. De même, la perte d’endurance due à un mauvais état de surface est d’autant plus importante que la résistance mécanique du matériau est grande.
La figure suivante montre l’abaque permettant de définir le facteur correctif KS en fonction de Rm et de la rugosité totale Rt.
• Influence du type de sollicitation et des dimensions
Lorsqu’on mesure la limite de fatigue, on n’obtient pas la même valeur suivant que l’on se place en flexion, en traction/compression ou en torsion. De la même manière, on constate expérimentalement que la limite de fatigue est d’autant plus basse que l’éprouvette utilisée est de grande dimensions. Nous verrons par la suite comment tenir compte de ces phénomènes dans les calculs.
• Influence d’un défaut de forme
Nous avons vu pour le calcul en statique qu’un défaut de forme engendre une augmentation de contrainte dans la section déterminée à partir de Kt. Lorsqu’on examine la rupture d’un matériau (donc avec dépassement de la limite élastique), on s’aperçoit que la limite de rupture augmente avec Kt, c’est le phénomène d’adaptation. La limite de fatigue évolue aussi en fonction des défauts de forme.
• Le gradient de contrainte χ
Le gradient de contrainte est le facteur que le CETIM préconise d’utiliser pour caractériser l’influence du type de sollicitation, des dimensions et du défaut de forme.
Le gradient de contrainte χ (Figure 18) exprimé en mm-1 est la valeur de la pente de la tangente à fond d’entaille du champ de contrainte rapportée à la valeur maximale de la contrainte au même point.

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Table des matières

INTRODUCTION
PARTIE 1 : SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE
1. Contrainte
1.1 Définition
1.2 Différents types
1.2.1 LA CONTRAINTE DE TRACTION ET DE COMPRESSION
1.2.2 LA CONTRAINTE DE FLEXION
1.2.3 LA CONTRANTE DE TORSION
1.2.4 LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT
1.3 Déformation
1.3.1 Définition
1.3.2 Courbe de déformation
1.3.3 Différents types de déformation
2. Arbre
2.1 Définition
2.2 Différentes types d’arbre
PARTIE II : DIMENSIONNEMENT D’UN ARBRE
1. Introduction
2. Matériel et méthode
2. 1 Paramètre de dimensionnement d’un arbre
2.1.1 détermination des sollicitations
2.1.2 Critère de résistance
 Le critère de Tresca ou du cisaillement maximum
 Le critère de Von Mises
2.1.3 Effets de concentration des contraintes
2.1.4 Notion sur la fatigue des pièces mécaniques
2.1.4.1 DEFINITION DU PHENOMENE DE FATIGUE
2.1.4.2 CONSIDERATIONS DE BASE, ESSAI DE FATIGUE UNIDIRECTIONNEL
2.1.4.3 LA COURBE DE WOHLER
2.1.4.4 DIAGRAMME DE HAIGH ET COEFFICIENT DE SECURITE EN FATIGUE
 LES FACTEURS D’INFLUENCES
2.2 Modélisation sur MATLAB
2.2.1 Présentation du problème
2.2.2 Equation de résolution
2.2.3 Simulation
2.2.3.1 Code du programme
2.2.3.2 Aspect de l’interface utilisateur
3. Résultat et discussion
PARTIE III : TORSION APPLIQUEE A UN CYLINDRE DE SECTION CIRCULAIRE
1. Introduction
2. Méthode et matériel
2.1 Paramètres
2.1.1 Moment de torsion
2.1.2 Angles de torsion
2.1.3 Contrainte dans une section droite
2.1.3.1 Equilibre d’un tronçon de la poutre
2.1.4 Relation entre le moment de torsion et la déformation angulaire
2.2 Modélisation sur MATLAB
2.2.1 Présentation du problème
2.2.2 Equation de résolution
2.2.3 Simulation
2.2.3.1 Code du programme
2.2.3.2 Aspect de l’interface utilisateur
3. Résultat et discussion
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE

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