Théorème du point fixe sur un cône

Théorème du point fixe sur un cône

Espaces de Sobolev à poids

L’équation (1.1) a été largement étudiée ans le cas de domaines bornés. Quand le domaine est non-borné, il est nécessaire d’ajouter des contraintes supplémentaires afin de contrôler le comportement des solutions à l’infini. Une façon d’aborder le problème consiste a chercher des 10 1.4. Espaces de Sobolev à poids solutions dans des espaces de Sobolev avec poids. En effet, cela permet, d’une part, de décrire de manière explicite le comportement des solutions a l’infini, et d’autre part, si les poids sont bien choisis, d’étendre certaines propriétés essentielles des espaces de Sobolev classiques dans des domaines bornés a des domaines non bornés. L’exemple de l’inégalité de Poincaré, qui s’étend via les inégalités de Hardy, est l’un des apports les plus significatifs de l’utilisation des poids[5]. Rappelons qu’à tout exposant 1 < p < +∞ nous associons le conjugué de Sobolev p ∗ donné par 1 p ∗ = 1 p − 1 n Définition 1.4.1. On dit qu’un espace de Banach X s’injecte de façon continue dans un espace de Banach Y , et on note X Y , si d’une part u ∈ X implique que u ∈ Y , et d’autre part s’il existe une constante C ne dépendant pas de u telle que pour tout u ∈ X k u kY≤ C k u kX Définition 1.4.2. On dit qu’un espace de Banach X s’injecte de façon compact dans un espace de Banach Y , et on note X Y , si d’une part X Y , et d’autre part si toute suite faiblement convergente dans X converge fortement dans Y . Définition 1.4.3. On appelle poids toute fonction a : R n −→ R non identiquement nulle, non négative mesurable. Définition 1.4.4. L p a (R n ) désigne l’espace Lp muni du poids a, i.e. (1.6) L p a (R n ) = n u ∈ D 0 (R n ) : a 1 p u ∈ L p (R n ) o Nous définissons, alors, l’espace de Sobolev à poids suivant : (1.7) W1,p a (R n ) = n u ∈ D 0 (R n ) : a 1 p u ∈ L p (R n ),|∇u| ∈ L p (R n ) o muni de la norme (1.8) k u kW 1,p a = Z Rn (|∇u| p +aup )dx! 1 p 11 1.4. Espaces de Sobolev à poids Théorème 1.4.1 (Théorème d’injection de Sobolev). Soit n > 2. Alors pour tout 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 ∗ = 2n n−2 , W1,p a L q (R n ). Nous désignons par W1,p 0,a (R n ) la complétion de D(R n ) dans la norme précedente Afin d’alléger les écritures nous poserons, le long de cette section, X =W 1,p 0,a (R n ) et Y = L p a (R n ). Notons par X(Ω), Y(Ω) les espaces de fonctions u ∈ X,Y restreints à Ω.

Opérateurs de Nemytskii

Définition 1.5.1. Une fonction f : R n ×R −→ R est dite de Carathéodory si, et seulement si (a) f(.,s) est mesurable sur R n pour tout s ∈ R (b) f(x,.) est continue sur R pour presque tout x ∈ R. Définition 1.5.2. Nous disons que F est un opérateur de Nemytskii, associé à une fonction de Carathéodory f(x,u)de R n ×R dans R, s’il est défini par (1.21) F(u)(x) = f(x,u(x)). L’introduction des fonctions de Carathéodory est motivé par le souci de rendre l’opérateur de composition F mesurable dés que u l’est. En effet, supposons qu’il existe une suite de fonctions (un)n, telle que un → u p.p., f(x,un(x)) est mesurable grâce à (a). En vertu de (b) on a f(x,un(x)) → f(x,u(x)) p.p., donc f(x,u(x)) est mesurable.[7] Proposition 1.5.1 (Théorème de Continuité). Soient Ω ⊆ R n , 1 ≤ p,q < ∞ des réels et f : Ω×R −→ R une fonction de Carathéodory. On suppose qu’il existe σ ∈ L q (Ω) et ρ ≥ 0 tels que la condition de croissance suivante : (1.22) | f(.,u)| ≤ σ(.) +ρ|u| p q pour tout u ∈ R et p.p. sur Ω est satisfaite. Alors, F tel que défini par (1.21) est continu de Lp (Ω) dans Lq (Ω). Démonstration. Soit (un) une suite de L p (Ω) convergeant vers u. En vertu du Lemme1.3.1, il existe g ∈ L p (Ω) et une sous-suite (uni )i telles que uni → u, |uni | ≤ g p.p. dans Ω. On en déduit que p.p. sur Ω on a f(x,uni (x)) → f(x,u(x)) et | f(x,uni (x))| ≤ σ(x) +ρ|g(x)| p q . 16 1.5. Opérateurs de Nemytskii En vertu du théorème de la convergence dominée de Lebesgue on conclut que F(uni ) → F(u) dans L q (Ω). En vertu de l’unicité de la limite, toute la suite (F(un))n converge vers Fu dans L q (Ω). D’où le résultat.

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Table des matières

Remerciements
Introduction
1 Outils de base
1.1 Résultats préliminaires
1.2 Différentiabilité au sens de Gâteaux et de Fréchet .
1.3 Théorèmes de convergence
1.4 Espaces de Sobolev à poids
1.5 Opérateurs de Nemytskii
1.6 Régularité des solutions
1.7 Inégalité de Hardy
2 Résultats d’existence des valeurs propres
2.1 Théorie de Ljusternick–Schnirelmann
2.1.1 Introduction .
2.1.2 Condition de Palais-Smale
2.1.3 Lemme de déformation
2.1.4 Notion du Genre
2.1.5 Principe du Min–Max
2.2 Hypothèses
2.3 Résultats d’existence
3 Théorème du point fixe sur un cône
3.1 Introduction
3.2 Hypothèses .
3.3 Le cas Linéaire
3.3.1 Existence d’une valeur propre principale positive
3.3.2 Principe du maximum
3.4 Le cas non linéaire – Solutions sur un cône
3.4.1 Théorème du point fixe sur un cône
3.4.2 Existence de points fixes
Conclusion
Bibliographie