Techniques expérimentales appliquées aux jets EM et applications

La thèse développée dans ce mémoire a été réalisée dans le cadre d’une collaboration entre le laboratoire LT2C (devenu aujourd’hui Laboratoire Hubert Curien) de l’Université Jean Monnet et le laboratoire ICube (Laboratoire de l’Ingénierie de l’informatique et de l’Imagerie) de l’université de Strasbourg. Elle s’inscrit dans le domaine optique, photonique et hyperfréquence.

Cette thèse est consacrée à l’étude et l’optimisation d’un cas particulier de la diffusion des ondes électromagnétiques par un objet diélectrique. Elle porte plus particulièrement sur un phénomène qui a été démontré depuis 2004, ce phénomène est appelé le « jet photonique ou nanojet photonique » [1]. Il s’agit d’un faisceau de lumière étroit et concentré qui peut être généré par un objet diélectrique (cylindre ou sphère) de quelques longueurs d’onde, illuminé par une onde plane incidente (figure 1). En effet, ces objets diélectriques peuvent, sous certaines conditions, générer un faisceau qui possède une très grande concentration de puissance localisée spatialement (plusieurs ordres de grandeurs de l’onde incidente) dans la zone d’ombre optique (en champ proche) avec une largeur à mi-hauteur sub longueur d’onde de sorte que la limite de diffraction est atteinte et peut même être légèrement dépassée [1-3]. Le jet photonique peut se propager avec une faible divergence sur plusieurs longueurs d’onde tandis qu’il maintient une largeur à mi-hauteur sub longueur d’onde. Toutefois, en fonction de l’indice de réfraction et la taille du cylindre/sphère, le point focal (défini ici comme le point de l’intensité maximale sur l’axe optique) peut être à l’intérieur ou à l’extérieur de l’objet diélectrique. Dans le cas où l’intensité maximale est générée à l’extérieur (en champ proche), nous avons le phénomène du jet photonique (figure 1).

Il existe dans la littérature de nombreuses études théoriques et expérimentales des caractéristiques de ces jets photoniques (dimension transverse, longueur et intensité, etc.) dans le domaine optique et hyperfréquence. Le concept de jet photonique a été identifié et montré pour la première fois dans le domaine visible, en utilisant un cylindre diélectrique de longueur infinie. Il a été appelé « jet photonique » par Chen et al [1], en faisant l’analogie entre le gradient à grande vitesse qui est caractéristique d’un jet en mécanique des fluides et le gradient du flux lumineux élevé. Il a été ensuite montré par Li et al [2] qu’une sphère diélectrique permet également de générer le jet photonique. Il est à noter que le jet photonique généré par une sphère a une intensité plus élevée que celle du jet généré par un cylindre. En effet, la sphère produit un jet photonique en trois dimensions ayant un degré encore plus grand qui celui d’un cylindre diélectrique.

Les auteurs ayant travaillé sur le sujet s’accordent à dire qu’il existe potentiellement un très grand nombre d’applications pour ces jets (biologie, médicale, ingénierie, chimie etc.). Dans la littérature, le concept de jet photonique a été montré et étudié uniquement en utilisant des sphères ou des cylindres. Dans notre travail, nous nous proposons d’utiliser une structure guidée pour générer le jet photonique. La structure retenue est constituée d’un guide d’onde terminé par un embout de forme particulière. L’utilisation d’un guide permet en effet de mieux maîtriser l’énergie électromagnétique et de contrôler le mouvement du jet. Cette approche a donc l’avantage de maîtriser l’excitation et la détection de ce qui se passe dans le jet.

Le phénomène du jet photonique est lié principalement à la taille de l’objet et la longueur de l’onde incidente. Il est donc possible de concevoir un jet photonique à d’autres gammes de fréquences (longueurs d’onde) comme les micro-ondes. Afin d’étudier expérimentalement les jets photoniques en sortie d’une structure guidée, nous nous sommes placés dans le domaine micro-ondes. Les dimensions théoriques des structures permettant de générer le jet photonique dans le domaine visible sont redimensionnées afin de le générer dans la gamme micro-onde. Cela permet évidemment d’utiliser des structures plus grandes et donc plus faciles à réaliser. L’étude expérimentale se fait dans la bande de fréquence Ka (26-40 GHz). Cette bande de fréquence a été choisie compte-tenu des éléments du dispositif expérimental  (antennes, guide d’onde, etc.) disponibles dans nos laboratoires. La caractérisation expérimentale a pour but de démontrer que les jets photoniques peuvent être réellement générés en utilisant une structure guidée.

Approches existantes

Les méthodes de résolution pour modéliser le jet photonique de façon rigoureuse peuvent être réparties en deux catégories : analytiques et numériques. Toutefois, chaque méthode présente des avantages et limites qui nécessitent une analyse critique. Dans cette section, nous allons exposer brièvement un aperçu des méthodes les plus couramment utilisées, ainsi que leurs caractéristiques principales avant de choisir et détailler l’approche la plus adaptée à notre problématique. Nous rappelons que le choix d’une méthode par rapport à une autre sera porté essentiellement sur une méthode flexible qui garantirait une résolution la plus précise possible du problème mais qui ne nécessiterait pas un temps du calcul élevé.

Méthode analytique

Les méthodes analytiques sont des méthodes de résolution dites exactes, fournissent une solution rigoureusement exacte des équations de Maxwell. Toutefois, l’utilisation de ces méthodes est limitée à des structures de géométries simples. Les approches analytiques doivent être privilégiées. Dès que le problème implique des structures qui ont des géométries plus complexes, on procèdera à une approche numérique. En revanche, dans notre contexte, l’approche analytique sera utilisée pour des formes canoniques simples (guide d’onde) et pour vérifier l’approche numérique destinée à des configurations plus complexes. Nous présentons deux méthodes analytiques pour calculer les champs autour d’un cylindre de longueur infinie et les champs dans un guide d’onde bi-plaques (méthode modale).

Théorie de Mie 

La théorie de Mie est une méthode analytique qui fournit une solution exacte des équations de Maxwell [6]. Elle est utilisée pour trouver une solution analytique de la diffusion du champ électromagnétique autour d’une sphère diélectrique en termes de série infinie [7, 8]. Le champ total à l’extérieur de la sphère est considéré comme la somme du champ incident et du champ diffusé. Tous les champs sont décomposés en modes propres d’une sphère dont les coefficients de développement d’une onde plane monochromatique sont connus analytiquement. En appliquant la condition de continuité des composantes tangentielles, les formules analytiques des coefficients d’expansion du champ diffusé et du champ à l’intérieur de la sphère peuvent être obtenues. La solution peut être représentée par des sommes infinies contenant des harmoniques sphériques.

La théorie de Mie a été utilisée pour modéliser le jet photonique généré par une sphère diélectrique [9-11]. Une autre approche basée sur la théorie de Mie qui permet le calcul du champ généré en champ proche par un certain nombre de sphères, est la méthode de Mie Généralisée pour Multi-Particules (GMM, Generalized Multiparticle Mie) [12, 13]. Il existe d’autres méthodes analytiques comme la méthode de séparation de variable (SVM) qui a été employée pour modéliser les jets photoniques par des particules sphéroïdales en trois dimensions (3D) [14, 15]. Pour notre cas d’étude, nous nous intéressons à la méthode analytique pour modéliser un cylindre de longueur infinie.

Méthodes numériques 

Les méthodes numériques sont classées souvent comme des méthodes dites «rigoureuses ». On peut généralement distinguer deux formalismes : les formulations différentielles et les formulations intégrales. Chacune de ces formulations correspond à une technique de résolution particulière. Tout d’abord, nous allons résumer le principe général et les caractéristiques principales des méthodes différentielles les plus utilisées pour la modélisation du jet photonique : méthode des différences finies dans le domaine temporel et la méthode des éléments finis.

Méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) 

La méthode des différences finies dans le domaine temporel (ou en anglais FDTD pour Finite Difference Time Domain) utilise le calcul des différences finies pour résoudre les équations de Maxwell dans le domaine temporel [18, 19]. Elle consiste en une implémentation directe des dérivées spatiales et temporelles des équations de Maxwell pour résoudre la variation temporelle des ondes électromagnétiques dans un espace fini qui contient l’objet à modéliser. Les dérivées spatiales et temporelles des champs électriques et magnétiques sont approximées à l’aide d’un schéma de différences finies régulières avec une discrétisation spatiale et temporelle privilégiée afin de limiter la dispersion des erreurs numériques et d’assurer la stabilité numérique de l’algorithme [20]. L’algorithme FDTD est conceptuellement simple et facile à mettre en œuvre. Un de ses avantages est qu’il peut traiter des problèmes non linéaires et/ou non stationnaires. Cependant, la discrétisation des objets par des grilles régulières pose la difficulté de modélisation d’un objet de grande courbure. A savoir que la FDTD est utilisée pour résoudre un problème dans un espace fini. Cependant, ladiffusion des ondes électromagnétiques est problématique dans un espace non borné. Il faut donc réduire la région spatiale illimitée en introduisant des frontières artificielles comme des conditions aux limites absorbantes (ABC) ou PML (Perfect Matched Layer) dans l’application de la technique FDTD [18]. Toutefois, elle nécessite un temps de calcul grand. De plus, une convergence très lente a été observée en polarisation TM dans le cas du guide terminé par un embout [21]. Ceci est dû aux instabilités aux coins de la structure qui sont des jonctions de trois milieux différents : conducteur parfait, diélectrique et espace libre (figure I.2).

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Table des matières

Introduction générale
Chapitre I. Modélisation des jets photoniques
I.1 Position du problème EM
I.1.1 Equations de Maxwell
I.1.2 Equation de propagation
I.1.3 Polarisation
I.1.4 Conditions aux limites
I.2 Approches existantes
I.2.1 Méthode analytique
I.2.2 Méthodes numériques
I.3 Méthode intégrale
I.3.1 Fonction de Green
I.3.2 Fonction de Green associée à l’équation de Helmholtz
I.3.3 Equation intégrale pour le domaine intérieur et extérieur
I.3.4 Equation intégrale aux frontières
I.4 Discrétisation des intégrales
I.4.1 Méthode de Galerkin
I.4.2 Méthode de collocation
I.4.3 Méthode de Nyström
I.4.4 Traitement des singularités des noyaux
I.4.5 Problème posé par les points anguleux (double singularité)
I.5 Opérateur d’impédance
I.5.1 Motivation
I.5.2 Définition et analogie de l’opérateur d’impédance
I.5.3 Expression en TE et TM
I.5.4 Stabilité de l’opérateur d’impédance
I.5.5 Calcul de l’opérateur d’impédance
I.5.6 Extraction des coefficients
I.6 Convergence et validation
I.6.1 Etude de la convergence de la MEIF pour un objet diélectrique convexe
I.6.2 Validation de la MEIF pour un objet diélectrique
I.6.3 Etude de la convergence de la MEIF pour un guide à embout
I.6.4 Temps de calcul
I.7 Application aux jets photoniques
I.7.1 Simple jet photonique
I.7.2 Double jet photonique
Conclusion
Chapitre II. Techniques expérimentales appliquées aux jets EM et applications
III.1 Etat de l’art sur la caractérisation expérimentale des jets photoniques
III.2 Réalisation du montage
III.2.1 Guide d’onde en téflon à deux plaques parallèles
III.2.2 Les différentes géométries des embouts
III.3 Banc expérimental
III.3.1 Description du dispositif expérimental
III.3.2 Principe de fonctionnement général
III.3.3 Automatisation
III.3.4 Caractéristiques des éléments du banc
III.4 Erreurs des mesures
III.4.1 Erreurs de positionnement
III.4.2 Erreurs aléatoires
III.4.3 Erreurs systématiques
III.5 Méthodes de calibrage
III.5.1 Procédure de calibrage
III.5.2 Onde d’excitation
III.5.3 Excitation du guide
III.6 Mise en évidence du jet photonique
III.6.1 Réponse en sortie du guide d’onde plan
III.6.2 Mesure du jet EM
III.7 Applications
III.7.1 Détection des particules sub-longueurs d’onde
III.7.2 Imagerie microonde en champ proche
III.7.3 Usinage laser
Chapitre III. Optimisation de jets photoniques par algorithme génétique
III.1 Définition mathématique de l’optimisation
III.1.1 Définition formelle et type d’optimisation
III.1.2 Minima locaux
III.2 Classification des méthodes d’optimisation
III.2.1 Méthodes locales
III.2.2 Les métaheuristiques : des méthodes globales
III.3 Algorithme génétique
III.3.1 Introduction sur les AGs
III.3.2 Terminologie employée
III.3.3 Particularités et différences avec les méthodes classiques
III.3.4 Principe général de l’AG
III.3.5 Codage des paramètres
III.3.6 Population initiale
III.3.7 Evaluation des individus
III.3.8 Opérateurs stochastiques
III.3.9 La recombinaison génétique
III.3.10 Formation de la nouvelle génération
III.3.11 Arrêt de l’AG
III.4 Problèmes inverses considérés
III.5 Mise en œuvre de couplage AG\ MEIF
III.5.1 Principe de couplage
III.5.2 Critères et fonction coût
III.6 Optimisation d’un jet photonique à une distance donnée
III.6.1 Usinage laser avec objet diélectrique posé sur l’échantillon à graver
III.6.2 Gravure laser avec bille diélectrique éloignée du matériau
III.7 Optimisation de jets photoniques en sortie de guides d’onde
III.7.1 Optimisation du jet éloigné de la surface de l’embout (gravure-laser)
III.7.2 Optimisation de 3 paramètres pour un jet photonique en sortie du guide
III.7.3 Optimisation près de la surface de l’embout (imagerie HF)
Conclusion générale

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