Soutenance mémoire
MODULES SUR LES ANNEAUX D’OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS
Le but de ce chapitre introductif est de rappeler, tantôt au niveau des germes tantôt au niveau de l’algèbre de Weyl, les notions d’holonomie, de localisation, de connexion méromorphe, de régularité / irrégularité, de transformation de Fourier, d’inversion, de dualité et la notion de irréductibilité, (laquelle va jouer un rôle important dans la préservation de l’indice de rigidité par transformation de Fourier notion qui sera présentée dans le chapitre 3). Le résultat important de ce chapitre est le Théorème 1.9.5 (décomposition de Turrittin à l’infini du transformé de Fourier d’un A1-module holonome régulier, y compris l’infini), lequel est un cas particulier d’un résultat déjà connu — le Théorème 1.9.1, mais ici on donne une démonstration directe, sans avoir besoin de ramifier, car la pente à l’infini du polygone de Newton est égale à 1. Dans ce chapitre on s’intéresse aux anneaux d’opérateurs différentiels à coefficients sur un des trois anneaux suivants : C[x1, . . . , xn] (polynômes à n variables), C{x} (séries convergentes), C[[x]] (séries formelles) et aux modules sur ces anneaux.
L’algèbre de Weyl
On va définir l’algèbre de Weyl comme un anneau d’opérateurs dans un C-espace vectoriel de dimension infinie. Pour cela, on commence par fixer quelques notations. Dans ce mémoire C[X] désigne l’anneau des polynômes C[x1, . . . , xn]. Son algèbre d’opérateurs linéaires est notée EndC(C[X]) et ses opérations sont l’addition et la composition des opérateurs. L’algèbre de Weyl sera définie comme une sous-algèbre de EndC(C[X]).
Localisation et connexions méromorphes
Dans cette section on introduit les notions de localisation et de connexion méromorphe et on montre l’équivalence de ces deux notions dans le cadre des D (resp. Db)-modules holonomes. On montre aussi que les A1 (resp. D ou Db)-modules holonomes localisés sont isomorphes à A1/I (resp. D/I ou Db/I), où I est un idéal principal non nul de A1 (resp. D ou Db).
Localisation sur C[x][∗Σ] Notation 1.4.1. Soit Σ = {α1, . . . , αn} ⊂ C un sous-ensemble fini de C. On note C[x][∗Σ] l’anneau C[x,(x − α1)−1, . . . ,(x − αn)−1].
Définition 1.4.2 (Localisation). Soit Σ ⊂ C un sous-ensemble fini et soit M un A1- module holonome. On appelle localisé de M le long Σ le A1-module M ⊗C[x] C[x][∗Σ] et on le note M[∗Σ].
Définition 1.4.3. Soit M = A1/I un A1-module holonome et soit Pp = ad(x)∂dx +· · · + a0(x) ∈ I obtenu selon la Définition 1.2.1. On appelle points singuliers de M les racines de ad(x).
Proposition 1.4.4. Si M un A1-module holonome, il existe un opérateur P ∈ A1 \{0} et un morphisme surjectifA1/A1 · Pϕ−→ M −→ 0 tel que son noyau, ker ϕ, est à support sur l’ensemble Σ = {α1 · · · , αn} des points singuliers de M (i.e. il est une somme directe de modules de torsion sur C[x − αi ]).
Démonstration. Cf. [13] Corollaire 1.1.4 page 68.
Corollaire 1.4.5. Si Σ est l’ensemble des points singuliers d’un A1 module holonome M, son localisé sur Σ est un A1-module holonome isomorphe à A1/(P), pour un certain P ∈ A1 \ {0}.
Démonstration. Immédiate car ker ϕ, cf. Proposition 1.4.4, est à support dans Σ.
Localisation sur C{x}[x −1] ou C[[x]][x−1]
Définition 1.4.6 (Localisation). Soit M un D (resp. Db)-module. On appelle localisé de M le D (resp. Db)-module M ⊗C{x} C{x}[x−1] (resp. M ⊗C[[x]] C[[x]][x−1]) et on le note M[x−1].
Proposition 1.4.7. Le localisé d’un D (resp. Db)-module holonome est isomorphe à D/(P) (resp. Db/(P)) pour un certain P ∈ D \ {0} (resp. P ∈ D \ { b 0}) et donc holonome.
Démonstration. Cf. [13] Corollaire 4.2.8 page 21.
Connexions méromorphes
Définition 1.4.8. Une connexion méromorphe MK, où K = C{x}[x−1] ouC[[x]][x−1], est un K-espace vectoriel de dimension finie munie d’une dérivation ∂x vérifiant les propriétés :
(1) ∂x : MK → MK est C-linéaire.
(2) Pour chaque f ∈ K et m ∈ MK ∂x(fm) = ∂f ∂xm + f ∂xm.
Proposition 1.4.9. Une connexion méromorphe sur C{x}[x−1] (resp. C[[x]][x−1]) détermine un D (resp. Db)-module holonome localisé et vice versa.
Démonstration. Cf. [13] Corollaire 4.3.2 page 22.
Décomposition de Turrittin
Le but de cette section est de présenter les propriétés vérifiées par la décomposition de Turrittin centrée à l’infini du formalisé du transformé de Fourier d’un A1-module holonome régulier y compris l’infini. On commence par rappeler le théorème de structure des connexions formelles ; tout d’abord, une connexion L de rang un s’écrit, dans une base e sous la forme ∂e = −αe¯ , α¯ ∈ C[[x]][x−1]; et on a un isomorphisme L 0 ‘ L ⊗ M, M est régulier si et seulement si α¯ 0 − α¯ a un pôle simple. Pour chaque classe α de C[[x]][x−1 modulo pôles simples, on choisit un représentant α¯ = ¯αdx, et on appelle Lω la connexion correspondant à α¯ (le passage aux formes est destiné à rendre les formules invariants par changement de coordonnées et ramification). On note encore IC[[t]] l’ensemble des C[[x]][x−1]dx (mod pôle simple).
La V -filtration
Il existe encore une autre façon de calculer le couple d’espaces vectoriels associé à un germe de D-module holonome (et aussi de donner une équivalence de catégories dans le cas régulier). L’outil à utiliser c’est la V -filtration. Dans cette section on se place sur une variété analytique complexe X, mais ces résultats sont aussi valables pour une variété algébrique non singulière sur le corps C, en remplaçant les polycylindres par des ouverts affines.
Notion d’indice de rigidité
En 1857, en traduisant dans une langage moderne, Riemann a montré que l’équation hypergéométrique peut être reconstruite, à isomorphisme près, à partir de la connaissance de ses monodromies aux points 0, 1 et ∞. Dans une langage moderne, on dit que l’équation hypergéométrique est rigide et que son système local est physiquement rigide. Katz, dans son livre Rigid Local Systems donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un système local L sur P1 soit physiquement rigide :
Théorème 3.1.1. Soit Σ un sous ensemble fini de P1,U.=P1\Σ,j:Uan,→(P1) an l’inclusion ouverte et L un systèmes local irréductible sur U an de rang n ≥ 1. L est physiquement rigide si et seulement si : χ((P1) an, j∗End(L)) =(2 − k)n2 +Pi dim Z(Ai) = 2, cf. Notation 2.4.8, où k + 1 = #Σ et Ai est la monodromie de L autour du point si ∈ Σ.
Démonstration. Cf. [11] Théorème 1.1.2 page 14.
Notation 3.1.2. Soit M un DP1 -module holonome et Σ l’ensemble des points singuliers de M.
• LΣ désigne le foncteur (localisé) qui à M associe OP1 [∗Σ] ⊗OP1 M.
• MΣ désigne l’équivalence de catégories, qui à un DP1 [∗Σ]-module holonome M associe une connexion méromorphe (E, ∇), à singularités sur Σ, déterminée par M.
• E nd désigne le foncteur qui à une connexion méromorphe (E, ∇) associe (E nd(E), ∇), la connexion méromorphe des endomorphismes de E.
• OΣ désigne le foncteur d’oubli de la catégorie des DP1 [∗Σ]-modules dans la catégorie des DP1 -modules. On présente maintenant une motivation pour la définition de l’indice de rigidité pour les DP1 -modules holonomes.
i D’une part un système local irréductible L sur U = P1 \ Σ, Σ finie, est rigide si et seulement si(22) χP1, j∗End (L)= 2, où j : U ,→ P1 est l’inclusion, cf. Théorème 3.1.1.
ii D’autre part si on prend un DP1 -module holonome régulier M, ayant L comme système locale, on a (23) DR OΣ ◦ M−1Σ◦ E end ◦MΣ◦LΣ(M)min= j∗End (L
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Table des matières
Introduction
1. Modules sur les anneaux d’opérateurs différentiels
1.1. Anneaux d’opérateurs différentiels
1.2. Idéaux à gauche d’opérateurs différentiels
1.3. Modules holonomes
1.4. Localisation et connexions méromorphes
1.5. Irréductibilité
1.6. Modules tordus
1.7. Dualité
1.8. Régularité et irrégularité
1.9. Décomposition de Turrittin
2. Le faisceau DX et ses modules
2.1. Le faisceau DX
2.2. Transformation droite-gauche
2.3. DX-modules sur une surface de Riemann
2.4. Couples d’espaces vectoriels
2.5. La V -filtration
2.6. Opérations sur les An(DX)-modules
2.7. Extension minimale
3. Rigidité
3.1. Notion d’indice de rigidité
3.2. Préservation de l’indice de rigidité
Bibliographie
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