Soutenance mémoire
Une grande partie des études des propriétés statistiques des systèmes dynamiques (SD) est basée sur l’existence d’un trou spectral pour l’opérateur de transfert du système dynamique, sur un espace fonctionnel bien choisi. Pour une étude élégante de cet opérateur nous nous réfèrons aux livres de : Boyarsky et Gora [17], Baladi [12]. Ces ouvrages s’appuient sur l’existence d’une mesure de probabilité invariante et absolument continue (PIAC) et pour plus d’informations nous citons par exemple [17, 39]. Les théorèmes limites centrales (TLC) [1, 3, 8, 10, 15, 21, 36], la décroissance des corrélations (DC) [9, 12, 18, 40], les lois stables (LS), les lois du logarithme itérées (LLI), le principe des grandes déviations (PGD) [5], le principe d’invariance presque sûr (PIPS) [22, 25, 27, 29, 42, 46], les lemmes dynamiques de Borel Cantelli (LDBC) et les inégalités de concentration (IK)[4, 16, 19, 28] sont les propriétés statistiques les plus connues.
Poincaré est le fondateur de la théorie des systèmes dynamiques. Dès la fin du XIX ième siècle, il a introduit une étude qualitative des solutions d’équations différentielles qu’il ne pouvait pas résoudre explicitement, en particulier celles des équations régissant le mouvement des planètes. Cette théorie fournit une description qualitative des phénomènes naturels tels que l’étude des systèmes de particules sur un réseau ou sur un seul site. La particule est assujettie à une dynamique déterministe locale, mais elle peut sauter d’un site à un autre aléatoirement, voir [39]. L’évolution de ces phénomènes est modélisée par une transformation de l’espace des états possibles du système.
Un système dynamique aléatoire peut être vu comme une composition aléatoire d’applications agissant sur un même espace de probabilités (X, A, µ), où les applications sont choisies selon un processus stationnaire. On obtient une chaîne de Markov d’espaces d’états X lorsque ce processus consiste en une suite indépendante et identiquement distribuée d’applications.
L’existence d’une mesure stationnaire absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue a d’abord été examinée par Pelikan [45] et Morita [44] pour des systèmes unidimensionnels, et dans la thèse de Hsieh [32] pour le cas mulidimensionnel. Ces systèmes possèdent plusieurs propriétés statistiques.
Théorèmes limites centrales
Les théorèmes limites pour les systèmes dynamiques aléatoires se divisent en deux catégories : d’une part, les résultats de type annealed, où l’aléa porte à la fois sur le choix de la condition initiale et le choix des applications itérées, et les résultats de type quenched, où l’aléa porte seulement sur le choix de la condition initiale, et qui sont valides pour presque tout choix des applications itérées.
L’étude de théorèmes limites annealed est basé sur l’analyse spectrale de l’opérateur de transfert en moyenne, généralisant ainsi l’approche utilisée pour les systèmes déterministes. Dans ce sens, on peut citer les articles de Baladi [11], Baladi et Young [14] et Ishitani [33]. Par contre, l’étude de théorème limite quenched est très difficile. La décroissance quenched des corrélations a été étudiée grâce aux cônes de Birkhoff dans [13, 18, 38], tandis qu’un théorème de la limite centrale et une loi du logarithme itéré quenched sont démontrés par Kifer [36] en utilisant une approximation par des martingales. Ces résultats concernent des processus quelconques, non nécessairement i.i.d., où l’existence d’une mesure stationnaire absolument continue n’est plus assurée. Dans le cadre i.i.d., on peut citer les articles [9, 8] sur les automorphismes aléatoires du tore.
Nous examinerons les résultats de [3] sur les versions annealed et quenched du théorème de la limite centrale pour les systèmes dynamiques aléatoires (SDA) qui présentent une dilatation uniforme sous un cadre fonctionnel abstrait. En important une technique issue du domaine des marches aléatoires en environnement aléatoire, Ayer, Liverani et Stenlund [8] ont démontré un théorème de la limite centrale quenched pour les automorphismes aléatoires du tore .
Principe d’invariance presque sûr
Nous considérons la dynamique aléatoire engendrée par une mesure inversible qui préserve la transformation σ de (Ω, T , P) dans lui même appelée transformation de base. Les trajectoires dans l’espace de phase X sont formées par des concaténations Tn ω:= Tσn−1ω ◦ · · · ◦ Tσω ◦ Tω d’une famille d’applications Tω : X → X, ω ∈ Ω. Pour un traitement systématique de ces systèmes, nous nous référons à [7]. Pour des observables bornés suffisamment réguliers ψω : X → R, un principe d’invariance presque sûr garantit que les variables aléatoires ψσnω ◦ Tn ω peuvent être associées à des trajectoires d’un mouvement brownien, l’erreur étant négligeable par rapport à la longueur de la trajectoire. Dans le troisième chapitre, nous considérons que les observables sont définies sur un certain espace de mesure (X, m) qui est muni d’une notion de variation. En particulier, nous considérons des exemples où les observables sont des fonctions à variation bornée. Nous soulignerons que notre approche est assez similaire à celui de [18], où les applications Tω s’appellent les applications aléatoires Lasota-Yorke.
Dans un contexte plus général et sous des hypothèses appropriées, Kifer a prouvé des théorèmes de la limite centrale (TLC) et des lois du logarithme itéré dans [[36] en référence aux techniques de Philip et Stout [46]. Nous présenterons ici une preuve du (PIPS) pour notre classe de transformations aléatoires, selon une méthode récemment proposée par Cuny et Merlèvede [22]. Cette méthode est particulièrement puissante lorsqu’elle est appliquée aux systèmes dynamiques non stationnaires. Les auteurs de l’article [29] ont prouvé le (TLC) pour une grande classe des systèmes séquentiels par cette méthode. Nous soulignerons que les systèmes dynamiques aléatoires ω-fibrés décrits ci-dessus sont également non stationnaires puisque nous utilisons des mesures fibrées ω-dépendantes (voir ci dessous) sur l’espace de probabilité sous-jacent.
La technique de Cuny et Merlèvede est basée sur l’approximation des martingales ; c’était montré dans [29] comment satisfaire une des hypothèses principales [22] en utilisant un résultat de Sprindzuk [50], qui consiste essentiellement à obtenir une limite presque sûre lorsque ce dernier est connu en norme L1 . Pour prouver un tel résultat, nous avons également besoin de deux autres conditions : (i) l’erreur dans l’approximation avec les martingales doit être bornée dans un espace de Banach approprié ; (ii) La décroissance quenched des corrélations par rapport aux mesures fibrées doit être estimée par un taux sommable.
Nous comparons maintenant nos hypothèses et nos résultats avec ceux de l’article de Kifer [36]. Kifer a utilisé une approximation avec les martingales, mais l’erreur d’approximation martingale dans [36] est donnée en termes de séries infinies (voir l’erreur dans l’équation (4.18) dans [36]), ce qui semble difficile à estimer sous des hypothèses générales. Au lieu de cela, notre terme d’erreur est explicitement donné en terme de somme finie (voir l’égalité(3.25)), et comme mentionné ci-dessus, nous pouvons l’estimer facilement. En outre, Kifer a invoqué un taux de mélange, mais pour y faire face, il a supposé des conditions fortes (φ-mélange et α-mélange), qui sont très difficiles à vérifier sur des exemples concrets. Nous utilisons une décroissance quenched des corrélations sur un espace d’observables réguliers, par exemple, des fonctions à variation bornée (la décroissance exponentielle a été démontrée par Buzzi [18]), avec une addition : la constante qui mesure la norme de l’observable dans le taux de décroissance est indépendante du bruit ω ; Nous pouvons alors satisfaire les hypothèses du résultat de Sprindzuk.
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Table des matières
Introduction
1 Systèmes dynamiques (SDA) et théorie ergodique
1.1 Systèmes dynamiques métriques
1.2 Théorie ergodique
1.3 Opérateur de Perron-Frobenius et analyse spectrale
1.4 Systèmes dynamiques aléatoires
1.5 Relation entre chaîne de Markov et SDA généré par des applications aléatoires mesurables i.i.d
2 Version quenched du théorème de la limite centrale
2.1 Cadre du travail : Définitions, hypothèses et exemples
2.2 Version annealed du théorème de la limite centrale
2.3 Version quenched du théorème de la limite centrale
2.4 Conclusions
3 Principe d’invariance presque sûr pour les applications aléatoires dilatantes par morceaux
3.1 Préliminaires
3.2 Existence d’une unique mesure de probabilité invariante absolument continue
3.3 Construction de martingale au sens inverse
3.4 Théorème de Sprindzuk et conséquences
3.5 Principe d’invariance presque sûr
3.6 Conclusion
4 Décroissance des correlations pour les applications uniformément dilatantes par morceaux
4.1 Préliminaires
4.2 Argument de couplage
4.3 Décroissance des corrélations pour les observables BV
5 Concepts de base de la théorie des mesures et probabilités
5.1 Tribu et mesurabilité
5.2 Indépendance
5.3 Convergence de variables aléatoires et théorèmes limites
5.4 Espérances conditionnelles et Martingales
5.5 Espace des fonctions à variation bornée
Conclusion
