Surface de Riemann

Surface de Riemann

Fonctions holomorphes méromorphes sur des surface de Riemann
Dans cette partie on vas étudier les morphismes entre les surfaces de Riemann.

Fonction holomorphe , degré en un point

Déﬁnition 1.4.1 (Fonction holomorphe )Soient X et Y deux surfaces de Riemann. Une fonction f : X → Y est holomorphe si pour toutes cartes (U,φ) de X et (V,ψ) de Y l’application ψofoφ−1 est holomorphe sur φ(U ∩f−1(V )). Notation :Pour un ouvert U de X on notera O(U) l’ensemble des fonctions holomorphes de U dans C.
Théorème 1.4.1 (Application ouverte) Soient X et Y deux surfaces de Riemann, si f : X → Y est une fonction holomorphe non constante, alors f est une application ouverte .
Preuve : Soit f : X → Y une fonction holomorphe non constante, et soientφ : U1 → V1 et ψ : U2 → V2 deux cartes respectivement sur X et Y. Alors, g = ψofoφ−1 est une fonction 14 holomorphe dans le sens habituel sur φ(U1 ∩f−1(U2))(car f est holomorphe ), comme φ et ψ sont des bijections, f est non constante, alors g est non constante, et donc g est ouverte, cela implique que f|U1 = ψ−1ogoφ est ouverte comme composé de applications ouvertes. Ainsi f est ouverte sur le domaine de n’importe quelle carte de X. Cela implique que f est ouverte sur l’union de domaines des cartes sur X. Donc f est ouverte sur X.
Proposition 1.4.1 : Soit X une surface de Riemann compacte. Si f : X →C est holomorphe,
alors f est une constante.
Preuve : Soit f : X →C une fonction holomorphe, et supposons que f n’est pas constante, cela entraîne que f est ouverte, donc f(X) est un ouvert, or f est continue et que X est compact, alors f(X) est également compact, ainsi que f(X) est fermé, car C séparé. Par conséquent f(X) est à la fois ouvert et fermé. Comme C est connexe, alors f(X) = C, ainsi C est compact, ceci est contradictoire. Donc f est constante.
Proposition 1.4.2 : Si f : X → Y est une application holomorphe non constante entre sur faces de Riemann, alors on a : .
(i) Pour p ∈ X il existe un entier d ∈N∗ et des uniformisantes ϕ en p et ψ en f(p) telles que ψofoϕ−1(z) = zd, soit ψof = ϕd, l’entier d ne dépend que de f et de p, et s’appelle le degré de f en p on a : degp(f) = 1 si et seulement si Df(p) 6= 0 où Df(p) = (ψ◦f ◦ϕ−1)0(0). (ii)Pour tout q ∈ Y|{f(p)} assez proche de f(p) . on a card(f−1({q})∩U) = degp(f). 15
(iii)L’ensemble R(f) = {p ∈ X/degp(f) ≥ 2} = {p ∈ X/Df(p) = 0}estdiscrèteetfermé.De façon équivalente, il est localement ﬁni, c’est-à-dire rencontre tout compact en un ensemble ﬁni, sespointssontappeléspointsderamiﬁcationoupointcritiques.Sonimage C(f) = f(R(f)) ⊂ Y est appelé l’ensemble des valeurs critiques.
Preuve : (i)Soient ϕ et ψ0 des uniformisantes en p et en f(p) alors g = ψ0ofoϕ−1 est une fonction holomorphe déﬁnie au voisinage de 0 et telle que g(0) = 0, donc soit :
(1) g est identiquement nulle. Soit
(2) il existe d ∈N∗ tel que g(z) = zdh(z) avec h holomorphe et h(0) 6= 0.
Dans le cas (1) f est localement constante en p et dans le cas (2) f n’est pas constante dans
aucun ouvert contenue dans U.Soit E l’ensemble des points vériﬁant le cas (1) c’est un ouvert, et si y ∈ E. tout voisinage de y contient un ouvert où f est égale à f(p) donc y ne vériﬁe pas le cas (2) donc y ∈ E, donc E fermé . Par connexité, E = ∅ ou X et dans le second cas f est constante. Comme f n’est pas constante. E = ∅ est donc toujours dans le cas (2), la fonction holomorphe h, qui est non nulle en 0, a une racine d’ième holomorphe k au voisinage de 0, donc on a : g(z) = G(z)d, ou G(z) = zk(z) est holomorphe. De plus G0(o) = k(o) 6= 0, donc G est localement bilomorphisme, donc ψ = G−1oψo est une uniformisante en f(p) ﬁnalement, on a ψofoφ−1(z) = zd, donc d à la propriété annoncée. Pour montrer que d est unique, on observe que c’est le plus petit entier tel que (ψofoϕ−1)(d)(0) 6= 0, et que cette propriété est indépendante des choix des uniformisantes ϕ etψ. En particulier d = 1 si et seulement si (ψofoψ−1)0(0) 6= 0.
(ii) ces propriété sont évidentes Pour l’application z 7−→ zd au voisinage de 0, donc elles sont vraies pour f.
(iii) Si p ∈ R(f) et U voisinage sur lequel on aψof = ϕd, on a R(f)∩U = {p} puisque la dérivéede zd estnonnullehorsde0donc R(f) estdiscrète.Depluslacaractérisation Df(p) = 0 montre qu’il est fermé.
Corollaire 1.4.1 : une application holomorphe injective entre surface de Riemann, est un bi holomorphe sur son image.
Preuve : En eﬀet : la propriété (ii) implique que degré est 1 en tout point donc f est partout biholomorphiquemente à z 7−→ z

Fonctions méromorphes

Déﬁnition 1.4.2 (Pôle) Si f est une fonction holomorphe sur U\{p}, où U est un ouvert d’une surface de Riemann, et s’il existe une uniformisante ϕ en p telle que f(z) = P n≥kp anzn, pour un entier kp < 0 avec akp 6= 0 on dit que p est un pôle d’ordre kp de f.
Déﬁnition 1.4.3 (fonction méromorphe) : Soit X une surface de Riemann, une fonction méromorphe sur X est une fonction holomorphe f déﬁnie sur X\P où P est un sous ensemble localement ﬁni, et qui a un pôle au voisinage de chaque point de P.
Proposition 1.4.3 : Il existe une bijection naturelle entre l’ensemble des fonctions méro
mophes, et l’ensemble des fonctions holomorphes de X dans C.
Preuve : Soit l’ensemble P comme dans la déﬁnition précédente et Soit f : X\P →C une application méromorphe, on considère, e f : X → C un prolongement de f par ∞ sur P. Pour prouverquee f estholomorphe,ilsuﬃtdelefaireprèsdep ∈ P.soitϕ : U →Cuneuniformisante en p, avec U assez petit pour que U ∩P = {p}. Par hypothèse on a foϕ−1(z) = z−dh(z) avec d ∈ N∗. h holomorphe sur ϕ(U)\{0}, et h(0) 6= 0, quitte à diminuer U on peut supposé que h ne s’annule pas. Utilisant la carte ϕ∞ déﬁni sur U1, il vient ϕ∞oe f(z) = zd h(z) sur ϕ(U) donc e f est holomorphe près de p.
Réciproquement, si h : X −→P1(C) est une application holomorphe qui n’est pas constamment égale à ∞, P = h−1({∞}) est discrète et fermé et f|X\P est holomorphe, sa restriction à valeurs dans P1(C)\{∞} donc est une fonction holomorphe. De plus si h(p) = ∞ et w = 1 z est la carte standard centrée en ∞, il existe une carte ϕ centrée en p telle que w◦h = ϕd, soit h◦ϕ−1(z) = z−d si z 6= 0 donc f est holomorphe.

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Table des matières

Dédicace
Remerciements
Résumé
Introduction
1 Surface de Riemann
1.1 Surface de Riemann
1.2 Exemples de surfaces de Riemann
1.2.1 Shpère de Riemann
1.2.2 Tore complexe
1.2.3 Bouteille de Klein
1.2.4 Bande de Möbius
1.3 Transformation de Möbius et Genre
1.3.1 Transformation de Möbius
1.3.2 Genre
1.4 Fonctions holomorphes méromorphes sur des surface de Riemann
1.4.1 Fonction holomorphe , degré en un point
1.4.2 Fonctions méromorphes
2 Revêtements
2.1 Déﬁnition et propriétés des revêtements
3 1-Formes holomorphes méromorphes, Diviseurs sur des surfaces de Riemann
3.1 1-Formes holomorphes, méromorphes, Résidu
3.1.1 1-Formes holomorphes, méromorphes
3.1.2 Résidu en un point
3.2 Diviseurs
3.2.1 Diviseurs, Diviseurs canoniques et Diviseurs principaux
4 Théorème de Riemann-Roch
4.1 Théorème de Riemann-Roch
4.2 Applications