Sur une approche pragmatique de l’endommagement anisotrope par fatigue basée sur un critère de fatigue et ses gradients

Revisiter un vieux sujet plein d’énigmes, “la fatigue des matériaux sous des chargements multiaxiaux”, après divers travaux prestigieux effectués, peut paraitre prétentieux, mais une modélisation pertinente peut être valeureuse si on :
— Maitrise les paramètres (à travers un critère, un concept, un modèle,. . . ) résumant l’effet de fatigue d’un chargement multiaxial,
— Prédit l’initiation et la propagation de l’endommagement,
— explique les énigmes relatives à cette thématique,
— évite l’utilisation abusive de la notion de “modèle” et trouver plutôt une explication physique à ce phénomène,
— généralise l’explication du phénomène à des situations plus complexes.

Ce travail vise à proposer un modèle, une approche, pragmatique qui tente d’expliquer le phénomène physique, de généraliser la problématique à un chargement multi-axial variable dans sa direction et dans sa répartition, de bien maitriser le phénomène d’initiation et de propagation des fissures, et de bien déterminer la durée de vie du matériau. Rappelons que l’endommagement des matériaux sollicités en fatigue est un phénomène très complexe et fondamentalement non linéaire. Pour en rendre compte, il existe aujourd’hui des modèles, certes très sophistiqués mais, sommes toutes assez peu utilisés. Une méthode simple et utile à l’ingénieur est ici proposée pour prédire le nombre de cycles d’amorçage d’endommagement, définir sa propagation et approximer la durée de vie d’une pièce à moindre coût. Cette approche numérique s’appuie, d’une part, sur les méthodes de calcul de structures et d’autre part, sur les données expérimentales du matériau (à titre d’exemple la courbe de Wöhler, le critère de fatigue multiaxial, …) Pour bien situer le cadre de notre modélisation, commençons par rappeler que la fatigue  exhibe, à travers les courbes de Wöhler par exemple  , trois zones de comportements distincts. Traditionnellement, le dimensionnement pour une tenue en fatigue des structures métalliques travaillant à grand nombre de cycles se faisait dans le domaine de l’endurance illimitée où le constructeur se contentait d’assurer la tenue de sa pièce à un “très” grand nombre de cycles fixé. De nos jours, avec le développement des moyens de calculs et l’optimisation croissante par les industriels des structures, cette démarche trouve ses limites. En effet pour optimiser les structures au plus juste, l’ingénieur souhaite avoir une idée plus fine du comportement de la structure au cours du chargement y compris en zone d’endurance limitée. Ce domaine qui intéressait peu de chercheurs, constitue actuellement un axe important de leurs recherches en raison de la forte demande industrielle. Notre travail va donc s’intéresser exclusivement à cette zone. Le but de cette thèse est d’établir un modèle qui permet de schématiser à la fois l’initiation de l’endommagement, sa propagation, et la rupture finale de la structure analysée et cela sous un chargement multiaxial. Il s’agit d’un modèle itératif et cumulatif de l’endommagement qui se base sur un critère de fatigue et développe une loi d’évolution d’endommagement discrétisée, basée sur les gradients du critère de fatigue choisi. Il suppose que l’endommagement de la matière se crée par une dégradation (isotropiques et anisotropiques) des caractéristiques mécaniques des matériaux. La matière a donc une répartition non homogène en fonction de l’évolution du critère. Ici un critère de type approche global (se base sur les invariants du tenseur de contraintes) est adopté.

Contrainte effective

L’endommagement est lié à la création et à la propagation des microdécohésions (microfissures, microvides) qui engendrent une diminution de la résistance du matériau donnant l’amorçage d’une fissure macroscopique. Kachanov [22] et Rabotnov [43] ont introduit une approche qui permet de mesurer indirectement l’endommagement et son influence sur la résistance à la déformation. Cela se fait à travers la définition d’une contrainte effective : c’est la contrainte qu’il faut appliquer à l’élément de volume vierge pour obtenir la même déformation que celle provoquée par la contrainte appliquée à l’élément de volume endommagé.

Effet de la contrainte moyenne
La courbe de Wöhler est généralement tracée pour une contrainte moyenne nulle, alors qu’en réalité les chargements appliqués ont des contraintes moyennes non nulles. Plusieurs travaux ont été développés (référence à ajouter)pour mettre en œuvre l’effet de ce facteur dans la prédiction de la tenue en fatigue.

Durée de vie en fatigue sous un chargement à amplitude constant

Méthode de Papadopoulos

Une partie des travaux de Papadopoulos a été consacrée à l’étude de la fatigue dans la zone d’endurance illimitée ([27], [28], [29]). Après il a étudié la durée de vie en fatigue dans la zone d’endurance limitée [30]. Il a étendu ces travaux pour proposer un modèle qui prédit la durée de vie en fatigue sous chargement multiaxial d’amplitude constante dans la zone d’endurance limitée en se limitant par une certaine hypothèse. L’idée de son modèle est de définir une courbe de Wöhler multiaxial en exprimant la durée de vie en fonction d’une contrainte équivalente définie par l’auteur qui relie l’amplitude de la scission généralisée Ta, la valeur moyenne σH,m et l’amplitude σH,a de la pression hydrostatique .

Durée de vie de fatigue sous chargement à amplitude variable : technique sans comptage de cycles

Papadopoulos

Papadopoulos [28] a développé une loi d’endommagement qui permet de déterminer le nombre de cycles à l’amorçage de microfissure par fatigue sous chargement d’amplitude variable. L’auteur se base sur l’approche mésoscopique de Dang-Van([1], [2]) pour déterminer la déformation plastique mésoscopique cumulée qui présente l’indicateur de l’endommagement dans son modèle. L’auteur a pris les hypothèses suivantes pour définir son modèle :
— H1 : Le comportement de cristal a trois phases : durcissement, saturation et adoucissement.
— H2 : On adopte le critère de von Mises comme critère de plasticité
— H3 : Valable que pour des chargements proportionnels
— H4 : A l’échelle macroscopique l’éprouvette est globalement homogène, isotrope et reste élastique dans son ensemble au cours d’un essai de fatigue à grand nombre de cycles.
— H5 : L’amorçage de fissure se traduit par une contrainte équivalente qui s’exprime en fonction du second invariant de tenseur de contrainte J2 et de la pression hydrostatique macroscopique PH .

Modèle de Morel

Morel ([24], [25]) a proposé une approche qui utilise les travaux de Papadopoulos. Il s’agit d’une approche mésoscopique du type plan critique qui étudie la durée de vie dans la zone d’endurance limitée. L’auteur étudie l’évolution de l’endommagement dans les 3 phases de matériau : durcissement, saturation et adoucissement. L’indicateur d’endommagement adopté par l’auteur est la déformation plastique mésoscopique. C’est le cumul de la déformation plastique qui juge l’endommagement. Tant que la déformation plastique cumulée est inférieure à une déformation plastique seuil alors on n’a pas d’amorçage de fissures. Le critère de plasticité utilisé par l’auteur est du type Schmid avec un écrouissage isotrope et cinématique .

La méthode de Morel décrit le phénomène de fatigue dans la zone d’endurance limitée en choisissant la déformation plastique mésoscopique cumulée comme indicateur d’endommagement. Dans sa formulation pour la détermination de la durée de vie, il prend en compte les principaux facteurs influant : pression hydrostatique et le déphasage. Cette méthode relativement compliquée : recherche de plan critique Pc et de cumul de dommage sur chaque direction dans ce plan. L’application de ce cette méthode pour des chargements d’amplitude variable nécessite la détermination de plusieurs paramètres.

Méthode de Zarka-Karaouni

L’approche développée par ZARKA et KARAOUNI ([44], [15]) est une approche mésoscopique à l’échelle du volume élémentaire (VER). Cette approche est valable pour des chargements d’amplitude variables. L’idée de base de la détermination de l’endommagement est fondée sur une mesure discriminatoire du chargement réel(amplitude variable). Selon les auteurs, on traduit le chargement réel d’amplitude variable en se basant sur une règle d’équivalence entre deux chargements locaux, après on définit un chargement cyclique affine et simple, équivalent en terme de dommage aux chargements réels d’amplitude variable. L’indicateur des chargements variables est la déformation plastique cumulée local εpc. Les auteurs supposent qu’à l’amorçage de fissure la déformation plastique cumulée atteint une certaine valeur critique caractéristique du matériau.

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Table des matières

Introduction
1 Étude bibliographique
1.1 Introduction
1.2 Notions utilisées
1.2.1 Classification des chargements
1.2.2 Courbe de Wöhler
1.2.3 Contrainte effective
1.2.4 Effet de la contrainte moyenne
1.3 Durée de vie en fatigue
1.3.1 Durée de vie en fatigue sous un chargement à amplitude constante
1.3.2 Durée de vie de fatigue sous chargement à amplitude variable : technique basée sur le comptage de cycles
1.3.3 Durée de vie de fatigue sous chargement à amplitude variable : technique sans comptage de cycles
1.4 Les modèles d’endommagement
1.4.1 Loi de Miner : un modèle d’endommagement linéaire
1.4.2 Les modèles d’endommagement non linéaire
1.5 Principe d’équivalence de déformation
1.6 Principe d’équivalence de contrainte
1.7 Principe d’équivalence d’énergie
1.8 Quelques résultats expérimentaux de la littérature
1.8.1 Données de l’exemple
1.8.2 Conditions générales sur les essais
1.8.3 Méthode de détection de l’amorçage de fissure
1.8.4 Résultats expérimentaux
2 Modélisation de l’endommagement par dégradation isotrope de la rigidité
2.1 Introduction
2.2 Construction du modèle
2.2.1 Les grandes étapes du modèle
2.2.2 Modélisation de l’endommagement et de son évolution
2.3 Mise en œuvre numérique du modèle
2.4 Validation du modèle
2.4.1 Exemple 1 : fatigue en traction simple
2.4.2 Exemple 2 : fatigue en traction Bi-axiale
2.5 Conclusion
3 Extension : Modélisation de l’endommagement par dégradation anisotrope de la rigidité basée sur un critère de fatigue et ses gradients
3.1 Introduction
3.2 Principe d’équivalence et choix de la matrice indicateur d’endommagement (I-D)
3.3 Détermination de la matrice (I-D)
3.4 Détermination du coefficient de poisson ν
3.5 Validation sur des exemples académiques
3.5.1 Exemple 1 : plaque rectangulaire
3.5.2 Exemple 2 : pièce uni-axial
3.6 Conclusion
4 Version simplifiée du modèle
4.1 Introduction
4.2 Présentation du modèle
4.2.1 Cadre de validité du modèle
4.2.2 Phase d’initiation (d’amorçage) de l’endommagement
4.2.3 Phase de propagation de l’endommagement
4.2.4 Phase finale : rupture structurale
4.2.5 Tableau récapitulatif du modèle
4.3 Mise en œuvre numérique
4.3.1 Exemple académique : Plaque cruciforme
4.3.2 Exemple industriel : pâle de roulement EDF
4.4 Conclusion
Conclusion

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