Soutenance mémoire
En 1923, le mathématicien français J. Hadamard a écrit son livre célèbre sur les équations aux dérivées partielles et leur signification physique [72]. Cet ouvrage fût le point de départ au développement du concept de problème bien posé en physique mathématique. Il s’agit d’un problème dont la solution existe, est unique et dépend continûment des données (stabilité). Bien entendu, ces notions doivent être précisées par le choix des espaces (et des topologies) dans lesquels les données et la solution sont considérées. Dans ce même livre Hadamard laissait entendre (et c’était aussi une opinion partagée avec I.G. Petrovsky) que seul un problème bien posé pouvait modéliser correctement un phénomène physique. La physique mathématique a longtemps ignoré les problèmes mal posés, les considérant soit dénués de sens physique, soit reflétant une modélisation inadéquate. La réalité actuelle est toute autre : le caractère fondamentalement mal posé de certains problèmes pratiques est reconnu et motive de nombreuses recherches en mathématiques .
L’étude des phénomènes dans la nature nous permet de calculer des quantités ou des propriétés physiques d’un modèle donné. On distingue alors deux types de problèmes : les problèmes directs et les problèmes inverses. De manière schématique, un problème inverse peut être formulé comme étant une relation fonctionnelle (Input, Système, Output), où l’objectif d’étude est d’identifier des causes connaissant des effets. D’après J.B. Keller [89], deux problèmes sont dits inverses l’un de l’autre si la formulation de l’un met l’autre en cause. La causalité et l’irréversibilité donnent une dichotomie entre les phénomènes physiques, qui peuvent être quantifiés mathématiquement en deux classes de problèmes : les problèmes bien posés et les problèmes mal posés. En se référant à cette dichotomie, le mot problèmes inverses désigne tous les problèmes qui partagent le caractère mal posé par opposition aux problèmes dits directs. Les problèmes inverses sont un domaine trop vaste pour que nous puissions en donner un exposé exhaustif. Cette thématique a connu un essor considérable ces dernières décennies, parallèlement au développement de techniques numériques et des moyens de calcul permettant leur résolution. On peut les classer en deux catégories : les problèmes qui visent à déterminer des conditions aux limites ou des sources inconnues,et les problèmes liés à l’estimation de paramètres intrinsèques du système. Le premier type de problèmes apparaît dès que la mesure directe de la grandeur physique étudiée n’est pas accessible en pratique. Dans la deuxième catégorie de problèmes inverses, l’objectif est de déterminer à partir d’une connaissance partielle de l’état du système, les paramètres décrivant le modèle physique.
Lorsqu’il s’agit d’identifier ou de calculer une grandeur physique à partir d’observations (mesures), on est amené souvent à inverser un opérateur (la résolvante qui donne la solution du problème direct). Cette inversion, qui est souvent mal posée, nécessite un traitement particulier des instabilités, par des techniques dites de régularisation qui consistent à perturber légèrement le problème, en éliminant les hautes fréquences responsables de cette instabilité, de manière à rendre le problème en question bien posé et numériquement résoluble.
Résultats préliminaires et notations
Éléments de théorie spectrale
Références
❖H. Brezis ; Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson (1993).
❖R. Dautray, J.-L. Lions ; Analyse mathématique et calcul numérique. Tome 5 (spectre des opérateurs), Edt. Masson, (1988). [§3. page 136-180].
❖E.B. Davies ; Linear Operator and their Spectra, Cambridge University Press (2007).
❖I. Gohberg, S. Goldberg and M.A. Kaashoek ; Basic Classes of Linear Operators, Birkhäuser (2003).
❖D. Huet ; Décomposition Spectrale et Opérateurs, PUF (1976).
❖P. Lévy-Bruhl ; Introduction à la Théorie Spectrale : Cours et Exercices Corrigés, Dunod (2003).
Opérateurs linéaires
De manière générale, un opérateur linéaire est une application A : D(A) ⊆ H1 → H2 linéaire, où D(A) est le domaine de définition de l’application linéaire A, qui est un sous-espace vectoriel de H1, que l’on suppose en général dense dans H1. L’opérateur A : D(A) = H1 → H2 est dit borné si la quantité .
Opérateurs non-bornés
Définition 1.1.6 On dit qu’un opérateur A est fermé si son graphe G(A) est fermé dans H1 × H2, i.e., pour toute suite (un) ⊂ D(A) telle que un → u dans H1 et Aun → v dans H2, alors u ∈ D(A) et v = Au.
L’opérateur fermé A peut être considéré comme un opérateur borné de son domaine de définition D(A) muni de la norme du graphe (|u|G := |u|H1 +|Au|H2) dans H1.
Théorème 1.1.7 [Théorème du graphe fermé] Si l’opérateur fermé A est défini sur tout l’espace H1, alors A est borné
(A fermé et D(A) = H1 ⇒ A borné).
Théorie de Riesz-Fredholm
Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts
Définition 1.2.1 On dit qu’un opérateur K ∈ L (H1, H2) est compact si K(BH1 (0, 1)) est relativement compacte pour la topologie forte. On désigne par K (H1, H2) l’ensemble des opérateurs compacts de H1 dans H2 et on pose K (H1, H1) = K (H1).
➤ La compacité d’un opérateur T ∈ L (H1, H2) est caractérisée comme suit :
T ∈ K (H1, H2) ⇐⇒ ∀(xn) ⊂ H1, xn + 0 (faiblement) =⇒ T xn → 0 (fortement).
➤ Soient E, F et G trois espaces de Banach. Si S1 ∈ L (E, F) et S2 ∈ K (F, G) (resp. S1 ∈ K (E, F) et S2 ∈ L (F, G)), alors S2S1 ∈ K (E, G).
➤ [Théorème de Shauder] Si K est compact, alors K∗ est compact. Et réciproquement.
Théorème 1.2.2 Soit K ∈ K (H) avec dim(H) = ∞. Alors on a :
(a) 0 ∈ σ(K),
(b) σ(K)\{0} = σp(K)\{0},
(c) l’une des situations suivantes :
❖ ou bien σ(K) = {0},
❖ ou bien σ(K)\{0} est fini,
❖ ou bien σ(K)\{0} est une suite qui tend vers 0.
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Table des matières
Introduction
1 Résultats préliminaires et notations
1.1 Éléments de théorie spectrale
1.1.1 Opérateurs linéaires
1.1.2 Opérateurs bornés
1.1.3 Opérateurs non-bornés
1.1.4 Spectre et résolvante d’un opérateur non borné
1.2 Théorie de Riesz-Fredholm
1.2.1 Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts
1.2.2 Famille spectrale et résolution de l’identité
1.3 Problèmes mal posés et problèmes inverses
1.3.1 Outils d’analyse des problèmes mal posés : cas linéaire
1.4 Méthodes de régularisation
1.4.1 La méthode de Tikhonov
1.5 Méthodes de projection sur des sous-espace Krylov
2 Problème inverse elliptique : identification de conditions aux limites
2.1 Formulation du problème
2.2 Résultats préparatoires
2.2.1 Opérateurs quasi-contractants
2.3 Position incorrecte et stabilisation du problème
2.3.1 Problème de Cauchy avec conditions de Dirichlet
2.3.2 Problème inverse de Cauchy
2.4 Régularisation
2.4.1 Méthode de troncature spectrale
2.4.2 Méthode itérative de Kozlov-Maz’ya
3 Problème inverse elliptique : identification de sources
3.1 Position du problème
3.2 Stabilisation et approximation
3.2.1 Régularisation par troncature spectrale
3.3 Approximation numérique du problème par La méthode de Krylov
3.3.1 Discrétisation et projection de la solution
3.4 Exemple
3.4.1 Régularisation de la Solution
3.4.2 Méthode de Troncature spectrale
4 Implémentations numériques
4.1 Applications
4.1.1 Méthode itérative de Kozlov-Maz’ya
4.1.2 Méthode de Troncature spectrale
4.2 Résultats numériques
4.2.1 Cas exact
4.2.2 Cas inexact
Conclusion
