Sur les sous-groupes profinis des groupes algébriques linéaires

 Groupes pseudo-réductifs en caractéristique positive

Un groupe algébrique linéaire (lisse) est une variété algébrique affine (lisse) munie de morphismes, réguliers pour la structure algébrique en question, satisfaisant aux axiomes donnant une structure de groupe. On peut également considérer les groupes algébriques linéaires comme des schémas en groupes affines définis sur un anneau k. Sauf mention explicite du contraire, on supposera toujours que k est un corps. Au sein des groupes algébriques linéaires, on distingue deux classes, à savoir les groupes semi-simples et réductifs , qui ont des propriétés remarquables en théorie des représentations. La situation devient plus compliquée lorsque le corps de base k n’est pas parfait comme le mentionne Tits dans un cours au Collège de France [Tit13]. Par exemple, si l’on travaille sur un corps de base k imparfait, avec un groupe algébrique linéaire G connexe, alors la densité des points rationnels G(k) dans la variété algébrique G peut être mise en défaut. Certains groupes ne sont pas unirationnels, comme on peut le voir sur plusieurs exemples dans [CGP15, 11.3]. De même, il se peut que G n’admette aucun sous-groupe algébrique non trivial qui soit unipotent, connexe, distingué et défini sur k, bien que G ne soit pas réductif. On parle alors de groupes pseudo-réductifs . Une des raisons de ce défaut provient de l’impossibilité de pouvoir définir convenablement une décomposition de Jordan sur un corps imparfait. En quelque sorte, il faut des extensions purement inséparables pour déployer la partie unipotente alors qu’il suffit d’extensions séparables pour déployer la partie semi-simple (ce qui permet d’appliquer des descentes galoisiennes).

Plus récemment, la situation sur un corps imparfait a connu un essor, grâce aux travaux de Conrad, Gabber et Prasad [CGP15] sur la structure des groupes pseudo réductifs. Ces travaux font valoir des présentations standard de ces groupes, qui permettent de se rapprocher de la situation déjà connue des groupes réductifs. Un élément important est la restriction de Weil, dont les propriétés sont étudiées dans [BLR90] par exemple. Une présentation standard consiste en une certaine «chirurgie» sur un sous-groupe de Cartan de la restriction de Weil d’un groupe réductif. Les présentations standard permettent de décrire tous les groupes pseudo réductifs (sauf en caractéristique 2 et 3), donnant alors une classification, modulo celle des groupes commutatifs, qui s’appuie sur les classifications déjà existantes des groupes réductifs. La classification des groupes pseudo-réductifs a été achevée tout récemment, modulo celle des groupes commutatifs, dans [CP16].

La théorie de structure des groupes pseudo-réductifs possède de nombreuses applications. L’étude des systèmes de racines des groupes quasi-réductifs  permet d’établir l’existence d’une décomposition de Bruhat et d’un système de Tits sphérique  des points rationnels d’un groupe algébrique connexe défini sur un corps quelconque en toute généralité [CGP15, C.2.20]. Conrad obtient de nombreux résultats tels que la finitude du nombre de classes [Con12, 1.3.1], le critère de compacité de Godement [Con12, A.5.5] ou encore la finitude des nombres de Tamagawa [Con12, 1.3.6], pour lesquels les références classiques se limitent au cas des groupes réductifs [PR94], [Mar91], ou unipotents [Oes84], quand la caractéristique du corps de base est non nulle. Il reste néanmoins de nombreuses difficultés, en caractéristique positive, à passer du cas des groupes pseudo-réductifs au cas des groupes algébriques en général. Tout d’abord, on peut remarquer la complexité de la classification des groupes unipotents. Russell classifie, dans [Rus70], les formes de Ga au moyen des p-polynômes. On peut observer que les ensembles de cohomologie de ces groupes peuvent être infinis (pour les formes non déployées) bien que H1 (k, Ga) = 0. On pourra trouver une étude approfondie des groupes unipotents et de leurs points rationnels dans [Tit68], [BoT71] ou encore [KMT74], reprise dans l’annexe [CGP15, B]. Une autre difficulté est la non-existence de facteurs de Levi en toute généralité. On trouvera un exemple dans [CGP15, A.6]. Pour résoudre le problème de l’extension, on pourrait également s’intéresser au groupe de Picard dont la question de la représentabilité est traitée dans [BLR90]. Ce groupe de Picard est calculé pour les formes de Ga dans [Ach16].

Théorie de Bruhat-Tits 

Lorsqu’on part d’un corps de base qui est un corps de nombres k/Q, on peut naturellement le compléter par rapport à chacune de ses places v ∈ V. Étant donnée une k-variété X, le principe local-global vise à relier la question de l’existence de points rationnels sur k de X à l’existence de points rationnels de X sur le complété kv de k par rapport à toute place v ∈ V. Partant d’un groupe algébrique G défini sur k, l’existence de points rationnels est automatiquement donnée par celle de l’élément neutre. La question suivante est alors de savoir s’il y a suffisamment de points rationnels. On dit que X vérifie l’approximation faible en dehors d’un ensemble fini de places S si le plongement diagonal X(k) → Q v∈V\S X(kv) est dense (on peut aussi définir l’approximation forte en utilisant les adèles de k). Si X = G est un groupe algébrique connexe, alors il vérifie l’approximation faible en dehors d’un ensemble fini S, d’après [PR94, Thm. 7.7], et on peut même supposer S = ∅ lorsque G est simplement connexe ou adjoint. On peut également se poser ce type de questions lorsque k est le corps de fonctions d’une courbe algébrique sur un corps fini. Ceci nous motive alors à étudier les groupes algébriques définis sur un corps local, c’est à-dire le complété d’un corps de nombres ou d’un corps de fonctions d’une courbe algébrique sur un corps fini. On suppose désormais que le corps de base est un corps local ou, de manière équivalente, une extension finie de Qp ou Fp((t)). On le note K pour distinguer cette hypothèse du cas d’un corps quelconque k et le nombre premier p est appelé la caractéristique résiduelle de K.

Pour les groupes réductifs déployés sur un corps quelconque k, on dispose d’une classification dont l’invariant classifiant est appelé une donnée radicielle [Spr98] et s’appuie principalement sur la classification des systèmes de racines [Bou81]. Sans l’hypothèse de déploiement, on dispose encore de certaines classifications (à isogénie près) lorsqu’on précise le corps de base : on définit des indices de Tits portant sur le noyau anisotrope, donnés dans [Tit66] ou [Spr98, 17]. Sur un corps local, cette classification devient celle énoncée dans [Tit79] et est reprise dans un cours donné par Tits au Collège de France [Tit13]. Ces dernières classifications reposent sur la construction, d’une part, d’un espace doté d’une structure polysimpliciale X(G, K) ayant des propriétés de symétrie remarquables et, d’autre part, d’une action ayant de bonnes propriétés de G(K) sur cet espace. On appelle cet espace l’immeuble de Bruhat-Tits de G sur K. L’espace X(G, K) est muni d’une structure d’espace métrique complet et contractile ayant une propriété de courbure négative ou nulle. D’une certaine manière, les immeubles de Bruhat-Tits sont l’équivalent sur un corps local des espaces symétriques riemanniens des groupes algébriques définis sur R ou C. On peut alors, oubliant les objets algébriques à l’origine de ces définitions, étudier les propriétés combinatoires et topologiques des immeubles. On peut trouver une étude des immeubles et de leurs propriétés combinatoires et topologiques dans [Rou09], [AB08] et [Ron89]. On dispose également, grâce aux travaux de Weiss [Wei09], d’une classification des immeubles indépendante de la théorie des groupes algébriques. L’intérêt principal d’introduire ces immeubles est qu’ils permettent souvent d’établir des énoncés — ou des démonstrations — uniformes, c’est-à-dire qui ne consistent pas en une étude, au cas par cas, s’appuyant sur les classifications précédentes.

Groupes profinis et sous-groupes de congruence

Un groupe profini est un groupe compact totalement discontinu. Ainsi, les sous groupes compacts des groupes G(K) précédemment évoqués fournissent de nombreux exemples de groupes profinis. De manière équivalente, il s’agit des limites projectives de groupes finis. D’autres exemples importants sont les groupes de Galois absolus. De nombreux résultats classiques des groupes finis se généralisent, sous de bonnes hypothèses, aux groupes profinis (théorèmes de Sylow, inégalité de Golod-Shafarevich, . . .). Dans une considération plus proche de la théorie des groupes, on s’intéresse naturellement aux groupes pro-p. Pour un groupe semi simple G défini sur un corps local K, les sous-groupes pro-p maximaux de G(K) sont deux à deux conjugués, d’après un théorème dû à Matsumoto [Mat66], et jouent un rôle analogue, par de nombreux aspects, à celui des p-groupes de Sylow d’un groupe fini. On observe également que le normalisateur d’un pro-p-Sylow (qui se trouve être un sous-groupe d’Iwahori) se comporte comme le normalisateur d’un sous-groupe de Sylow d’un groupe fini. L’étude des groupes pro-p et de leur possible linéarité tient une place centrale dans l’étude des groupes profinis, comme on peut le trouver dans [DdSMS99] ou [LGM00].

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Table des matières

Introduction
I Groupes pseudo-réductifs en caractéristique positive
II Théorie de Bruhat-Tits
III Groupes profinis et sous-groupes de congruence
IV Principaux résultats de la thèse
V Guide de lecture
1 Préliminaires
1.1 Groupes algébriques sur un corps quelconque
1.1.1 Groupes algébriques affines
1.1.2 Systèmes de racines et groupes radiciels d’un groupe réductif
1.1.3 Déploiement, quasi-déploiement, (an)isotropie et ploiement
1.1.4 Donnée de groupes radicielle
1.1.5 Action-∗ sur un diagramme de Dynkin
1.1.6 Paramétrage des sous-groupes de rang 1 via les systèmes de Chevalley-Steinberg
1.1.7 Simplicité
1.1.8 Relations de commutation dans un groupe quasi-déployé
1.2 Immeubles
1.2.1 Systèmes de Coxeter et systèmes de Tits
1.2.2 Immeubles et propriétés métriques
1.3 Éléments de théorie de Bruhat-Tits
1.3.1 Corps local
1.3.2 Valuations d’une donnée de groupes radicielle
1.3.3 Ensembles de valeurs
1.3.4 L’immeuble de Bruhat-Tits attaché aux points rationnels
1.3.5 Modèles entiers
1.3.6 Système de Tits affine et bornologie
1.4 Groupes profinis
1.4.1 Définitions et exemples naturels
1.4.2 Questions de présentation
1.4.3 Sous-groupes profinis d’un corps local
2 Sous-groupes compacts maximaux
2.1 Introduction
2.1.1 Existence de sous-groupes compacts maximaux
2.1.2 Groupes algébriques sur des corps imparfaits
2.1.3 L’apport de la topologie du corps de base
2.2 Quelques extensions de groupes topologiques
2.2.1 Groupes topologiques noethériens
2.2.2 Une suite exacte déduite de morphismes de K-schémas
2.2.3 Existence d’un sous-groupe pro-p ouvert
2.3 Sous-groupes compact et ouverts
2.4 Groupes quasi-réductifs
2.4.1 Le cas d’un groupe commutatif quasi-réductif
2.4.2 Le cas d’un groupe pseudo-réductif
2.4.3 Cas général
2.5 Démonstration de l’équivalence du théorème
3 Sous-groupes pro-p maximaux
3.1 Introduction
3.1.1 Conjugaison et description des sous-groupes pro-p maximaux
3.1.2 Utilisation des immeubles et des modèles entiers
3.2 Démonstration du théorème de conjugaison
3.3 Modèles entiers
3.3.1 Noyau du morphisme de réduction
3.3.2 Sous l’hypothèse de simple connexité
3.3.3 Donnée de groupes radicielle valuée dans le cas d’un groupe simplement connexe quasi-déployé
3.4 Description utilisant l’action sur l’immeuble
3.5 Sous-groupes d’Iwahori
4 Générateurs d’un pro-p Sylow
4.1 Introduction
4.1.1 Nombre minimal de générateurs
4.1.2 Pro-p-Sylows et leurs sous-groupes de Frattini
4.1.3 Structure de ce chapitre
4.2 Sous-groupes de rang 1
4.2.1 Le cas réduit
4.2.2 Le cas non réduit
4.3 Théorie de Bruhat-Tits : cas quasi-déployé
4.3.1 Description d’une alcôve fondamentale par ses cloisons
4.3.2 Nombre d’alcôves dans un résidu de cloison
4.3.3 Action sur une boule combinatoire unité
4.4 Calculs en rang supérieur
4.4.1 Relations de commutation des groupes radiciels d’un groupe quasidéployé
4.4.2 Génération d’éléments unipotents grâce aux relations de commutation entre sous-groupes valués des groupes radiciels
4.5 Ensemble minimal de générateurs
4.5.1 Le sous-groupe de Frattini
4.5.2 Nombre minimal de générateurs
Index
Index des notations
Bibliographie

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