Sur la théorie classique du réarrangement et de la sommabilité des séries numériques

Si naturelle que soit la définition de la somme d’une série convergente, il ne faut pas perdre de vue qu’il s’agit avant tout d’une limite, ce qui transporte le problème du champ de l’algèbre (dont relèvent les sommations) à celui de l’analyse. L’objet de ce présent mémoire est de mettre en évidence que certaines propriétés algébriques, usuelles pour les sommes finies, ne « résistent » pas à ce passage à la limite. Nous allons exposer dans ce travail divers résultats sur la théorie du réarrangement et sommabilité des séries numériques. Nous rappellerons d’abord dans le premier chapitre des résultats généraux sur les séries. Par la suite, le deuxième chapitre sera consacré aux théorèmes généraux du réarrangement des séries numériques et particulièrement de la série harmonique alternée qui est un cas classique illustrant le changement de la somme lors du réarrangement et même de sa nature. Le troisième chapitre concerne les séries doubles pour lesquelles l’interversion des deux sommes infinies prend plus d’ampleur. Le quatrième chapitre est réservé au produit des séries : un exemple qui montre l’importance de l’invariance de la somme par réarrangement pour que ce produit puisse avoir un sens. Dans le dernier chapitre, nous introduisons une définition qui assure l’unicité de la somme d’une série quelque soit l’ordre choisi, et on est alors amené à la théorie des familles sommables. Nous terminons avec une remarque générale

Construction de la permutation :

On construit une permutation ¾ de N de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs ou nuls (sans en omettre) jusqu’à dépasser ®. Puis on somme tous les termes strictement négatifs jusqu’à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à ®. Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là où on s’était arrêté, puis les termes négatifs, etc… On a alors bien construit une permutation. Convergence : Notons (xn)n2N la suite des sommes partielles obtenue à chaque fin de sommation de termes positifs et (yn)n2N celle des sommes partielles à chaque fin de sommation de termes négatifs. La suite complète des sommes partielles croît jusqu’à x0, puis décroît jusqu’à y0, puis croît jusqu’à x1, etc… Pour montrer qu’elle converge vers ®, il suffit donc de montrer que les deux soussuites et (xn)n2N et (yn)n2N convergent vers ®. Or si ukn désigne le dernier terme de la somme partielle xn, on a par construction : xn ¡ukn · ® Ç xn, donc 0 Ç xn ¡® · ukn . Comme la suite des indices kn est strictement croissante, elle tend vers l’infini donc : lim n!1 ukn Æ lim k!1 uk Æ 0. Ceci prouve que la suite xn converge vers ®.

Lien avec le réarrangement de Riemann

Dans le théorème de Riemann, la permutation utilisée pour réarranger une série conditionnellement convergente 3 pour obtenir une valeur donnée dans R[{¡1,Å1} nous pouvons avoir des points arbitrairement non-fixes, à savoir que tous les indexés des termes de la série peuvent être réorganisés. On peut se demander s’il est possible de réorganiser uniquement les indexes dans un ensemble plus restreint de sorte qu’une série conditionnellement convergente, converge vers un nombre réel ou diverge à l’infini (positif ou négatif). La réponse à cette question est positive : Sierpinski a donné une condition suffisante pour réorganiser seulement certains termes strictement positifs ou seulement certains termes strictement négatifs. Théorème 17 (de Siepisnki). [8] Soit la série ( P i ui ) une série semi-convergente de réels, qui converge vers S. Pour tout V · S, il existe un réarrangement (vi ) de (ui ) tel que P i vi Æ V laissant fixes tout les termes négatifs. De même, pour tout W ¸ S, il existe un réarrangement (wj ) de (ui ) tel que P j w j ÆW et le réarrangement laisse fixe tous les termes positifs.

Convergence commutative et convergence absolue Théorème 18. [18] Soit I un ensemble dénombrable, (ui )i2I une série d’éléments de R indexée par I, la série ( P i2I ui ) est commutativement convergente si et seulement si elle est absolument convergente. Démonstration. 1-La convergence absolue entraine la convergence commutative : Puisque ( P i2I jui j) est automatiquement commutativement convergente, la série ( 1P nÆ0 ju¼(n)j) est convergente pour toute bijection ¼ de N sur I. On déduit que la série ( 1P nÆ0 u¼(n)) est convergente. Il reste à voir que la somme S est indépendante de la bijection ¼ choisie, ce qui est facile. 2-La convergence commutative entraine la convergence absolue : Choisissons une bijection avec laquelle nous identifions I à N, ce qui permet d’écrire la série considérée ( 1P nÆ0 un). Nous allons montrer que cette série ne peut être commutativement convergente que si la série partielle des termes positifs et la série partielle des termes négatifs sont convergentes, ce qui entraine la convergence absolue. En effet, supposons par exemple, que la série partielle des termes positifs soit divergente et réordonnons la série de la façon suivante : on commence par prendre dans l’ordre les premiers termes positifs jusqu’à ce que leur somme soit supérieur à 1 ; on prend alors les premiers termes négatifs, on prend ensuite les termes positifs suivants jusqu’à ce que la somme de la série partielle obtenue soit supérieur à 2, ce qui est rendu possible par l’hypothèse, etc.., on voit que la série obtenue est divergente.

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Table des matières

INTRODUCTION
MATERIEL ET METHODES D’ETUDE
I.MATERIEL D’ETUDE
Période et type de l’étude.
Recueil des données
Critères d’inclusion
Critères d’exclusion
II.METHODES D’ETUDE
Variables étudiées
Analyse des données
Difficultés rencontrées
RESULTATS
RESULTAS GLOBAUX
Recrutement global
Age global
sex-ratio
Résultats chez l’homme
4-1. Recrutement
4-2. Age
4-3. Répartition des différentes localisations
5.Résultats chez la femme
5-1. Recrutement
5-2. Age
5-3. Répartition des différentes localisations
RÉSULTATS PAR LOCALISATION
Appareil digestif
1-1. Recrutement
1-2. Age
1-3. Localisations
Estomac
Colon et Rectum
Oesophage
Vésicule biliaire
Autres
Appareil gynéco-mammaire
2-1. Recrutement
2-2. Age
2-3. Localisations
Sein
Col utérin
Corps de l’utérus
Ovaire
Vulve
Vagin
Trompe utérine
Appareil urinaire
1-1. Recrutement
1-2. Age
1-3. Localisations
Prostate
Vessie
Rein
Testicule
Autres
Sphère ORL
1-1. Recrutement
1-2. Age
1-3. Localisations
Cavité buccale
Thyroide
Larynx
Cavum ou rhinopharynx
Oropharynx et Hypopharynx
Sinus et fosses nasales
Glandes salivaires
Revêtement cutané
Sphère thoracique
Poumon et bronches
Autres
Squelette osseux
Ostéosarcome
Sarcome d’Ewing
Autres
Parties molles
Système nerveux central
Tissu hématopoiètique
OEil
Autres localisations rares
DISCUSSION
ETUDES DES RESULTATS GLOBAUX
Age et Sex-ratio
Localisations
ETUDE DES RESULTATS PAR LOCALISATION
Cancer de l’estomac
Cancer colorectal
Cancer du sein
Cancer du col utérin
Cancer de la prostate
Cancer de la vessie
Cancer du poumon
CONCLUSION
RESUMES
BIBLIOGRAPHIE