Super résolution modale à partir d’une antenne linéaire horizontale

Vitesse du son

   L’océan est un guide d’onde particulier délimité par la surface de la mer et un socle sur lequel repose le fond sédimentaire. Si l’on considère que la vitesse du son est constante dans tout le guide d’onde, alors la propagation du son se fait de façon rectiligne avec des changements significatifs de trajectoire quand celle-ci rencontre une interface. En pratique, si la vitesse du son varie effectivement assez peu dans la colonne d’eau – entre 1450 m/s et 1540 m/s – ses petites variations impactent largement la propagation du son. On cherche donc à connaître le plus précisément possible la vitesse du son dans le milieu étudié. On recourt classiquement à deux moyens de mesure :
— par une sonde perdable comme XBT (Expendable Bathytermograph pour des mesures de température), ou XCTD (Expendable Conductivity-Temperature-Depth pour des mesures de température et de conductivité),
— par une sonde CTD (Conductivity-Temperature-Depth) qui mesure simultanément la conductivité (donc la salinité), la température et la profondeur. Ces grandeurs permettent ensuite d’inférer la vitesse moyennant l’exploitation de formules empiriques.
La plus couramment utilisée est celle proposée dans [Clay and Medwin, 1977] liant la vitesse du son c à la température (T, exprimée en degrés centigrades), la salinité (S, exprimée en pour-mille, et la profondeur (z, exprimée en mètres) par la relation
c(T, S, z) = 1449.2+ 4.6T −0.055T2 + 0.00029T3 + (1.34−0.01T)(S −35)+ 0.016z.(1.3)
L’ensemble des mesures de vitesse du son permet de tracer ce que l’on nomme un profil de célérité dépendant de la profondeur. On en présente une illustration générique (issue de [Jensen et al., 2011]) dans la figure 1.1. Sous nos latitudes, les premiers mètres sous la surface de l’océan constituent une couche de mélange, agitée par les vagues et le vent.

Théorie modale

   Pour résoudre l’équation d’onde (1.1), on peut recourir à différentes méthodes. Elles se distinguent principalement par les hypothèses faites sur les sources en présence (haute/basse fréquence), sur l’environnement (plateau continental/bassin océanique) :
— la théorie des rayons : il s’agit d’une approche valable uniquement pour les hautes fréquences. Cette méthode se base sur la résolution de l’équation iconale et de l’équation de transport qui découlent de Helmoltz (1.1) et de l’hypothèse de fréquence infinie [Keller, 1978],
— l’intégration du nombre d’onde : cette approche suppose des milieux stratifiés invariant horizontalement. Elle consiste en l’application de différentes transformées intégrales à l’équation d’Helmholtz (résultant de l’application d’une transformée de Fourier temporelle l’équation (1.1)) permettant d’obtenir un système d’équations différentielles dépendant uniquement de la profondeur et reliées par des conditions de continuité aux interfaces. On peut résoudre ces équations analytiquement ou numériquement, et les transformées intégrales inverses permettent d’accéder au champ acoustique [Jensen et al., 2011], [Ewing et al., 1957],
— les méthodes par différences ou éléments finis : il s’agit de méthodes de calcul numérique. Elles permettent de traiter tout type de configurations mais au prix d’un coup de calcul conséquent [Kuperman and Schmidt, 1989],
— les équations paraboliques : cette approche est adaptée aux moyennes fréquences et/ou aux environnements peu profonds. Elle permet notamment de traiter les problèmes de transmission acoustique (émetteur vers récepteur) pour une ouverture angulaire limitée avec un c oût de calcul moindre qu’avec les méthodes par différencesfinies [Leontovich and Fock, 1946], [Hardin, 1973], [Lee et al., 2000],
— les modes normaux, cette théorie est adaptée aux basses fréquences (inférieures à 500 Hz) et aux environnements petit-fond (la colonne d’eau est d’une hauteur inférieure à 200 m), stratifiés et invariant en distance. Cette méthode repose sur la technique de séparation des variables pour résoudre l’équation d’Helmholtz [Jensen et al., 2011], [Ide et al., 1943], [Ewing et al., 1957].

Algorithmes de poursuite

   Les approches de poursuite (ou “gloutonnes”) s’attachent à la résolution des problèmes d’optimisation (2.7) ou (2.8). Leurs procédures reposent sur une succession d’itérations consistant à sélectionner un ou plusieurs atomes pour reconstruire le support de la décomposition parcimonieuse. Les itérations se poursuivent jusqu’à ce que la reconstruction satisfasse un critère d’arrêt. Ce critère peut porter soit sur la valeur de l’erreur d’approximation soit sur le nombre d’atomes utilisés dans la reconstruction. La sous-optimalité de ces approches vient de l’approche itérative, basée sur une succession d’optimisations locales qui ne garantit pas d’obtenir l’optimum global pour un dictionnaire D fixé. Néanmoins ces algorithmes gloutons sont en général intuitifs et rapides. Ils sont donc souvent utilisés. Des nombreux algorithmes de poursuite existants nous présenterons en détails les deux plus connus : Matching Pursuit (MP) [Mallat and Zhang, 1993] et Orthogonal Matching Pursuit (OMP) [Pati et al., 1993]. Dans ces algorithmes le support et les coefficients de la décompositions parcimonieuses sont estimés successivement. Dans MP, on sélectionne à chaque itération l’atome de D le plus corrélé avec le signal. On indique avec le pseudo-code suivant le fonctionnement global de cet algorithme. A chaque itération, on définit le “résidu courant” comme le vecteur d’observation y auquel on a retranché les contributions des atomes sélectionnés jusqu’à l’itération courante.

Estimation “off-grid”

   Comme nous l’avons mentionné dans le chapitre précédent, une façon intuitive et simple d’affiner les résultats obtenus par l’application d’OMP sur une grille discrète de nombres d’onde est d’ajouter une étape de descente de gradient après celle de la recherche du maximum de corrélation entre le résidu courant et les éléments du dictionnaire, classiquement implémentée dans OMP. Cette approche a notamment été considérée dans les travaux de Knudson [Knudson et al., 2014]. Cette approche vise à lever les restrictions de l’approche discrète d’OMP lorsqu’un même point de la grille de recherche est éloigné du modèle que l’on souhaite reconstruire. Nous illustrons ce phénomène sur la figure 4.2. Sur cette figure, le modèle est issu du guide de Pekeris auquel on a appliqué un recalage de vitesse. On présentera les caractéristiques de ce guide en section 4.2. Ce phénomène entraîne donc une erreur lors de l’estimation des amplitudes modales associées. Le pseudo-code 4 décrit l’algorithme résultant de l’intégration de l’étape de descente de gradient dans la procédure OMP avec les notations du problème d’estimation modale. Nous baptiserons par la suite cette approche COMP pour “Continuous Orthogonal Matching Pursuit”. En tant que tel, il peut être appliqué pour estimer les nombres d’ondes de chaque ligne de fréquence du diagramme (f-k) indépendamment les unes des autres. Comme OMP, deux critères d’arrêt sont considérés : COMP peut être stoppé dès lors qu’un nombre donné de nombres d’ondes est atteint, ou lorsque l’énergie du résidu est inférieure à un certain seuil. L’ajout de la descente de gradient suppose l’absence d’optimum local entre deux points de grille. La présence d’optimum local apparaît dans le cas où la grille de recherche initiale est grossière et sur laquelle il est difficile de lancer un algorithme.

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Table des matières

Introduction
1 Propagation acoustique sous-marine 
1.1 Propriétés acoustiques de l’océan
1.1.1 Equation d’onde
1.1.2 Vitesse du son
1.1.3 Amortissement des ondes
1.2 Théorie modale
1.2.1 Résolution de l’équation d’onde
1.2.2 Guide parfait
1.2.3 Guide de Pekeris
1.2.4 Cas général
Conclusion
2 Acquisition compressée 
2.1 Représentations parcimonieuses
2.1.1 Mesure de parcimonie
2.1.2 Intégration de l’a priori parcimonieux dans les problèmes d’inversion
2.2 Estimation parcimonieuse
2.2.1 Cas (sur-)déterminé
2.2.2 Cas sous-déterminé
2.2.3 Dictionnaires continus
2.3 Conditions de reconstruction exacte
2.3.1 Cohérence
2.3.2 Constante d’isométrie restreinte
2.4 Acquisition compressée
2.4.1 Incohérence
2.4.2 Echantillonnage aléatoire de matrices incohérentes
2.4.3 Matrices aléatoires
Conclusion
3 Reconstruction modale 
3.1 Cas d’une source mono-fréquentielle
3.1.1 Formalisation du problème
3.1.2 Etat de l’art
3.2 Cas d’une source large bande
3.2.1 Formalisation du problème
3.2.2 Un a priori supplémentaire : la relation de dispersion
3.2.3 Etat de l’art
3.2.4 Limitations
3.3 Métriques de performance
3.3.1 Métriques de performances en détection
3.3.2 Métriques adaptées au cas continu
Conclusion
4 Approche continue intégrant la relation de dispersion 
4.1 Description de la méthode
4.1.1 Estimation “off-grid”
4.1.2 Intégration de la relation de dispersion
4.1.3 Seuils de détection
4.2 Etude de performances
4.2.1 Sensibilité aux paramètres
4.2.2 Guide de Pekeris
4.2.3 Guide plus complexe et réaliste
4.3 Application sur données réelles
4.3.1 Données “Mer du Nord”
4.3.2 Données SBCEX
Conclusion
Conclusion et perspectives

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