Soutenance mémoire
Introduction aux problématiques des marchés des énergies
La gestion des risques financiers pour GDF-SUEZ (et plus généralement pour tous les énergéticiens) est devenue une activité incontournable depuis l’ouverture à la concurrence des marchés énergétiques. Contrairement aux marchés financiers traditionnels, les marchés énergétiques se distinguent par plusieurs aspects mis en avant dans cette thèse.
1. La couverture d’un contrat financier sur l’énergie est plus complexe de par la nature des marchés des commodités : fréquence de réajustement hebdomadaire qui induit une erreur de couverture plus grande que sur les marchés monétaires, où la fréquence est beaucoup plus élevée. Ainsi, décider d’une date optimale d’intervention sur le marché revêt une importance toute particulière. La couverture se faisant en général à l’aide de futures avec différentes périodes de livraison et les modèles rendant compte de plusieurs facteurs de risque, le problème apparait nécessairement multidimensionnel.
2. Si l’on prend l’actif physique comme objet de couverture, alors des coûts de transport et d’injection/soutirage (cas d’un stockage gazier) apparaissent. De plus, la fourchette bid/ask parfois de l’ordre de 1% est « titanesque » comparé au 0.2% rencontré en moyenne sur les autres marchés. Toutes ces frictions rendent imparfaite la couverture et incitent à ne pas négliger leurs effets.
3. Les options dites « spread » sont très courantes sur les marchés des commodités, ce sont des options portant sur la partie positive d’une différence d’indices. Elles servent entre autres à modéliser le fonctionnement d’une centrale à gaz par exemple. Traditionnellement, les méthodes de Monte Carlo sont utilisées, mais mènent à de long temps de calcul. Des formules analytiques approchées sont donc d’un grand intérêt.
Résultat de convergence presque sûre d’intégrales stochastiques.
Dans les livres classiques sur le calcul stochastique (par exemple, [Karatzas 1988],[Protter 2004]), l’un des premiers résultats que l’on nous apprend est que l’on ne peut pas définir l’intégrale stochastique de manière trajectorielle. Si l’on considère le cas simple de l’intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien, l’approche d’Itô est justement de regarder des convergences en moyenne quadratique d’intégrales stochastiques discrètes pour des intégrandes progressivement mesurables (qui est une classe assez large). L’idée naturelle pour définir l’intégrale stochastique trajectoire par trajectoire est de restreindre cette classe d’intégrande à celle des processus continus à droite avec une limite à gauche (càdlàg).
Couverture à pas discret en marché complet
Soit S le prix des actifs donné par
St = S0 +Z t0b(s, Ss)ds +Z t0 σ(s, Ss)dBs, où B est un d-mouvement brownien. Notons Zns =Z s0Dxu(t, St) · dSt −Xτni−1≤sDxu(τni−1,Sτni−1) · (Sτni ∧s − Sτni−1), qui s’interprète comme l’erreur de couverture d’une stratégie Delta-neutre pour une option européenne de sous-jacent S, de maturité T, de fonction de prix u et de payoff g(ST ). Les instants de réajustement sont donnés par une suite des temps déterministes ou aléatoires (τni)1≤i≤NnT et le nombre de dates est noté NnT , qui peut être aléatoire. Dans un marché complet, la thèse de [Zhang 1999] offre un début de réponse à l’étude de la convergence de l’erreur de couverture. Un autre résultat de [Bertsimas 2001] généralisé par [Hayashi 2005] donne une convergence en loi de l’erreur de couverture. Cependant, ces résultats dépendent beaucoup de la régularité du payoff de l’option à répliquer. En effet, [Gobet 2001] prouve que dans le cas de la couverture d’une option digitale à des temps uniformément répartis, le taux de convergence n’est plus en n 1/2 mais en n 1/4, si n est le nombre de dates. Ce phénomène a été longuement étudié par Geiss et ses co-auteurs [Geiss 2004]. Un résultat intéressant est que pour toute suite de temps d’arrêt de longueur fixe n, la vitesse de décroissance vers 0 en norme L2(Ω) de l’erreur d’approximation ne peut pas être supérieure à 1/√n, en dehors des cas triviaux. Il se trouve (voir [Fukasawa 2011b]) que cette vitesse reste maximale même pour une classe (particulière) de temps d’arrêt avec un nombre de pas de temps stochastique. Une revue complète de la littérature sur la régularité fractionnaire apparait dans l’article [Geiss 2011]. Un des résultats importants est donné dans l’article de [Geiss 2009], dont l’interprétation financière est que lorsque le payoff est irrégulier, plus l’on se rapproche de la maturité T du contrat, plus notre stratégie sera sensible au changement du sous-jacent et donc on s’attend à vouloir réajuster notre position plus souvent près de la maturité du contrat. Bien que cette solution fait sens en pratique, une question importante est de trouver des dates de réajustement non pas déterministe, mais stochastique (en fait des temps d’arrêt), qui donnerait un taux de convergence optimal comme les temps déterministes du résultat précédent, mais qui en plus minimiserait un certain critère sur l’erreur de couverture. Les premiers auteurs, à ma connaissance, à poser le problème furent Martini et Patry dans l’article [Martini 1999]. Ils résolvent le problème de minimisation de la variance de l’erreur de couverture sur le coût initial et les temps de réajustement, pour un nombre de réajustement fixe. Cependant, la résolution du problème est très compliquée (il faut résoudre une suite de problème d’arrêt optimal imbriquée) et nécessite le recours à des méthodes numériques délicates. Suite à cet article, Fukasawa introduit une approche asymptotique en le nombre de dates, dans [Fukasawa 2011a] et [Fukasawa 2011b], une approche plus simple et qui donne une stratégie sous forme explicite, mais sous des hypothèses contraignantes.
Schéma d’Euler
Depuis le travail pionnier de [Maruyama 1955] et, jusqu’à maintenant, l’étude de l’approximation d’équation différentielle stochastique a été un champs de recherche très actif à l’intersection entre l’analyse numérique et les processus stochastiques avec de nombreuses applications dans différents domaines (voir par exemple, [Kloeden 2010], [Milstein 1994], [Platen 1999] and [Talay 1995]). De plus, un large ensemble d’article de Müller-Gronbach et al. [Hofmann 2000], [Muller-Gronbach 2002], [Muller-Gronbach 2004], [Muller-Gronbach 2008] considère le problème dans une théorie générale. Cependant, peu d’études ont traité le problème pour des processus multidimensionnels avec des grilles de discrétisations aléatoires. Dans le chapitre 6, nous permettons une vaste famille de grilles de discrétisation en spécifiant directement un contrôle uniforme sur un processus connu (par exemple, le mouvement brownien) et sur le nombre de temps d’arrêt de notre grille. Le but est de trouver une suite de temps d’arrêt minimisant presque sûrement un certain critère quadratique de l’erreur du schéma d’Euler
Convergence en loi de processus discrétisés
La littérature sur la convergence en loi de processus discrétisés est très abondante. La convergence en loi des schémas d’Euler apparait dans [Kurtz 1991], [Jacod 1998], où la discrétisation est une grille déterministe. La convergence de l’erreur de couverture est dans [Hayashi 2005], [Gobet 2001], [Geiss 2009] pour des temps d’intervention déterministe. Pour des temps d’arrêt satisfaisant certaines conditions de symétrie, [Fukasawa 2011b] prouve aussi des convergence en loi en dimension 1. En résumé, soit les auteurs prouvent des résultats de convergence dans un cadre multidimensionnel, mais avec des grilles déterministes, soit des convergences en loi avec des grilles de discrétisations aléatoires symétriques, mais en dimension 1. Techniquement, ce qui fait bien fonctionner leurs preuves est que l’on a dans tous ces cas Eτni−1[(Bτni−Bτni−1) 2p+1] = 0 (où p ∈ N et B est le mouvement brownien « ambiant »), soit en utilisant la symétrie de la distribution gaussienne dans le cas des temps déterministes, soit par symétrie des barrières dans la définition des temps d’arrêt en dimension 1. Ainsi, le mouvement brownien limite est décorrélé du mouvement brownien ambiant. Nous traitons dans le chapitre 7 le cas général de convergence en loi de processus discrétisés dans un cadre multidimensionnel avec des temps d’atteinte d’ellipse, ce choix étant motivé par l’optimalité que cette famille satisfait en général dans les chapitres précédents. Dans notre cas, la variable limite est corrélée au mouvement brownien ambiant (principalement parce que Eτni−1[(Bτni− Bτni−1)2p+1] 6= 0) et la corrélation limite se calcule à l’aide d’une famille de problèmes de Dirichlet changée d’échelle. A ma connaissance, c’est la première fois que l’on est capable d’identifier ce type de corrélation.
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Table des matières
1 Introduction
1.1 Introduction aux problématiques des marchés des énergies
1.2 Étude de convergence presque sûre d’intégrales stochastiques
1.2.1 Introduction informelle
1.2.2 Résultat de convergence presque sûre d’intégrales stochastiques
1.3 Couverture à pas discret en marché complet
1.4 Couverture à temps discret et avec coût de transaction
1.5 Schéma d’Euler
1.6 Convergence en loi de processus discrétisés
1.7 Formule d’approximation pour les options sur Spread
2 A toy model : transaction costs proportional to volume
2.1 Introduction
2.2 The model
2.3 Self-financing strategy
2.4 The Bachelier model
2.4.1 Model and formulas
2.4.2 The main convergence result under the assumption « fixed small transaction costs »
2.5 Appendix
3 Almost sure optimal hedging strategy
3.1 Introduction
3.2 Class Tadm. of strategies and convergence results
3.2.1 Assumptions
3.2.2 Fundamental lemmas about almost sure convergence
3.2.3 Controls of ∆τ n and of the martingales increments
3.2.4 Almost sure convergence of weighted discrete quadratic variation
3.2.5 Verification of the hypothesis on a special family of hitting times
3.3 Main results
3.3.1 Statements
3.3.2 Proof of Theorem 3.3.1
3.3.3 Proof of Theorem 3.3.2
3.3.4 Proof of Theorem 3.3.3
3.4 Numerical experiments
3.4.1 Algorithm for the optimal stopping times
3.4.2 Numerical tests
3.5 Appendix
3.5.1 Proof of Proposition 3.2.4
3.5.2 Proof of Lemma 3.3.1
3.5.3 Proof of Lemma 3.3.2
3.5.4 Assumption (Au)
3.5.5 More numerical tests
4 Almost sure optimal strategy and transaction costs
4.1 Introduction
4.2 A new class T adm. of strategies
4.2.1 Assumptions
4.3 Main results
4.3.1 Statements
4.3.2 Robust strategies under transaction costs
4.3.3 Optimal strategies under transaction costs
4.4 Numerical experiments
4.4.1 Algorithm
4.4.2 Example
4.5 Appendix
5 General almost sure control of semi-martingales
5.1 Introduction
5.2 Model
5.2.1 Notations
5.2.2 Class of stopping times
5.2.3 Almost sure convergence of semi-martingales
5.3 Main results
5.3.1 Proof of Theorem 5.3.1
5.3.2 Proof of Theorem 5.3.2
5.4 Back to the hedging problem under transaction costs
5.5 Numerical experiments
6 Strong optimality in Euler’s method
6.1 Notations
6.2 Model
6.2.1 Class of stopping times
6.3 Order of the error of discretization by Euler’s method
6.4 Optimal grid for the Euler scheme method
6.4.1 Main results
6.4.2 Proof of Theorem 6.4.1
6.4.3 Proof of Theorem 6.4.2
6.5 Appendix
7 Central Limit Theorem for ellipsoid based time grid
7.1 Introduction
7.2 Model
7.3 Main result
7.4 Proof
7.4.1 Proof of the convergence in law
7.4.2 Technical results
7.5 Appendix
8 Price expansion for spread option
8.1 Introduction
8.2 Generalized spread option
8.2.1 Model
8.2.2 General spread option
8.3 Reduction of the problem
8.4 Expansion of the probability of the exercise region
8.4.1 Convex parametrization
8.4.2 Benchmark process
8.5 Applications
8.5.1 Examples
8.5.2 Spread option with two assets
8.6 Appendix
Bibliography
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