Soutenance mémoire
Flambement général des structures élancées
L’instabilité de flambement est liée à la géométrie de la structure et à son chargement. Une structure élancée chargée en compression dans son plan ou le long de son axe, par opposition à un chargement transverse ou en flexion, entre dans un état d’équilibre instable à partir d’un certain niveau de chargement. Autrement dit, au delà de ce niveau de chargement, une perturbation infinitésimale modifie le mode de déformation de la structure [Timošenko et Gere, 1963]. Le flambement correspond donc à un changement de branche d’équilibre, de la branche fondamentale à une branche secondaire, tel que décrit Figure 1.1. La charge critique de flambement défini un point théorique de la courbe reliant les efforts au déplacement, appelé point de bifurcation ou point limite. Après flambement (en phase de post-flambement), la structure se déforme dans les directions transverses à l’axe ou au plan de chargement. Une partie de l’énergie de déformation dans le plan, ou selon l’axe, est donc transformée en énergie de déformation de flexion et de cisaillement transverse. Le nouvel état d’équilibre peut-être lui-même stable ou instable dans le sens où une perturbation de l’effort imposé entraine une augmentation indéterminée de la déflexion.
Réponse des structures raidies en post-flambement
Les structures élémentaires sont assemblées pour former ce que l’on appelle les structures raidies. Ces structures se retrouvent dans le génie civil et dans le transport, notamment aérien, et dans le spatial, pour leur haute résistance et leur faible masse. La plupart des structures raidies dans le secteur du transport sont en effet constituées d’une peau et d’un système de raidisseurs. Ce type d’assemblage permet de concevoir des structures à forts moments quadratiques pour un minimum de masse. L’étude de la sensibilité de ces structures au flambement, et de leur réponse en post-flambement fait l’objet de nombreux travaux. Le système de raidisseurs des fuselages est formé par des cadres dans le plan perpendiculaire à l’axe du fuselage et par des lisses entre les cadres comme illustré par la Figure 1.8. Il existe d’autres systèmes de raidisseur, comme ceux des structures géodésiques [Vasiliev et al., 2001 ; Meyer et Gaudin, 2011], qui ne sont pas détaillés ici.
Endommagements et ruptures induits
Les déformations dues au flambement local de la peau dans les structures raidies sont parfois très éloignées de celles observées dans leur mode de déformation fondamental. Des modes d’endommagement et de rupture sont donc induits, qui ne se rencontreraient pas autrement qu’en post-flambement. Les flambements locaux non-admissibles concernent avant tout les raidisseurs. La Figure 1.10 représente quelques modes de rupture induits rencontrés en aéronautique. Dans le flambement admissible de la peau d’une structure raidie, le couplage membraneflexion dans les plaques modifie la distribution des efforts de cohésions (donc des contraintes). Notamment, les moments fléchissant sont les plus importants aux points stationnaires de la déflexion, tandis que les moments de torsion sont maximum aux points d’inflexion [Meeks et al., 2005]. Ces moments étaient a priori nuls avant flambement. En ce qui concerne les efforts de membrane, certaines zones sont déchargées et d’autres assurent la résistance de la structure face aux efforts extérieurs. Cette distribution d’efforts non-homogène induit une localisation des endommagements et de la plasticité. Des modes de ruptures tels que le décollement de la peau et des raidisseurs pour les structures composites apparaissent et font l’objet de nombreuses études (voir Figure 1.11 et Figure 1.26) [Bertolini et al., 2009 ; Orifici et al., 2008a ; Orifici et al., 2008b ; Perret et al., 2011]. Ces modes de ruptures sont également sensibles à des sollicitations en fatigue, par flambement répété [Krueger et al., 2002].
Discrétisation du PPV
La résolution des équations d’équilibre par élément finis passe par la discrétisation. La formulation intégrale faible, ou principe des puissances virtuelles, s’y prête parfaitement. Le domaine d’intégration est ainsi décomposé à l’aide de formes géométriques simples appelées “éléments” qui forment un maillage. Aux nœuds des éléments sont définis les fonctions d’interpolation qui constituent une base de l’espace d’approximation de la géométrie et des inconnues du problème (approche iso-paramétrique). Les valeurs des inconnues aux nœuds sont ses degrés de liberté. Dans la forme la plus courante de la méthode des éléments finis en calcul de structure , ces inconnues sont les 3 translations (u1, u2, u3) et 3 rotations (θ1, θ2, θ3) de l’espace 3D (formulation en déplacement). Ces trois inconnues peuvent être complétées ou remplacées par des inconnues de contraintes et donner lieu à une formulation en contraintes ou mixte à 2 champ par exemple [Reissner, 1950]. Chaque élément représente un domaine Ωe, tel que S e Ωe = Ω, Ω étant le domaine d’étude complet. Il existe un grand nombre d’éléments qui diffèrent par leur dimension (1D, 2D ou 3D), leur interpolation, leurs nœuds, dont certains sont représentés Figure 1.23. Les éléments surfaces et linéaires, contrairement aux éléments volumes, intègrent de façon spécifique (analytique ou numérique) le PPV dans l’épaisseur ou la section (voir l’équation (1.22)). Il existe cependant des éléments volumes dédiés à la modélisation de structures élancées qui permettent le collage de maillage entre des structures minces (cinématique de coque) et des structures épaisses modélisées par éléments volumiques [Trinh, 2009].
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Table des matières
Introduction générale
I Etat de l’art en simulation du post-flambement des structures et stratégies de calcul avancées
1 Post-flambement des structures raidies et méthodes classiques de résolution
1.1 Introduction
1.2 Phénomène de post-flambement
1.2.1 Flambement général des structures élancées
1.2.2 Réponse des structures raidies en post-flambement
1.2.3 Endommagements et ruptures induits
1.3 Modélisation des structures élancées et non-linéarités géométriques
1.3.1 Cinématiques des structures élancées
1.3.2 Équation d’équilibre : principe des puissances virtuelles
1.3.3 Problème de flambement
1.4 Méthodes de résolution semi-analytiques
1.4.1 Méthode de Ritz-Galerkin
1.4.2 Approche par développement asymptotique en post-flambement initial
1.4.3 Pré-dimensionnement de panneaux raidis
1.5 Résolution par la méthode des éléments-finis
1.5.1 Discrétisation du PPV
1.5.2 Problème tangent et méthode de Newton-Raphson
1.5.3 Approche global/local
1.5.4 Méthodes alternatives
1.6 Bilan du chapitre
2 Stratégies de calcul avancées
2.1 Introduction
2.2 Réduction de modèle
2.2.1 Réduction de modèle par projection
2.2.2 Réduction de modèle a priori
2.3 Calcul parallèle par décomposition de domaine
2.3.1 Décomposition de domaine sans recouvrement
2.3.2 Formulation du problème d’interface
2.3.3 Résolution itérative du problème d’interface
2.3.4 Newton-Krylov-Schur et localisation non-linéaire
2.4 Approches combinées
2.4.1 Méthode LaTIn micro/macro
2.4.2 Autour des éléments finis généralisés
2.4.3 Méthode asymptotique numérique et POD
2.4.4 Partition de la réduction de modèle
2.5 Bilan du chapitre
II Contribution au calcul haute performance pour le post-flambement local des structures raidies
3 Réduction de modèle adaptative en post-flambement
3.1 Introduction
3.2 Stratégie PBAMR (Post-Buckling Adaptive Model Reduction)
3.2.1 Une base réduite initiale minimale
3.2.2 Une procédure d’adaptation à la volée
3.2.3 Algorithme général
3.3 Implémentation et validation du code de recherche
3.4 Comportement de la stratégie et étude paramétrique sur un cas simple
3.5 Étude des performances numériques : application à un panneau raidi
3.6 Bilan du chapitre
4 Réduction de modèle adaptative et décomposition de domaine pour le post-flambement local
4.1 Introduction
4.2 Stratégie PBAMR et décomposition de domaine
4.2.1 Partition de la réduction de modèle par projection
4.2.2 Partition de la complétion à la volée
4.2.3 Considérations pour le post-flambement local
4.2.4 Algorithme général d’une stratégie de résolution pour le post flambement local : PBAMR-DD
4.3 Validation
4.4 Bilan du chapitre
5 Une bibliothèque Python pour le développement de stratégies de calcul avancées
5.1 Introduction
5.2 Programmation orientée objet pour les éléments finis et les méthodes de résolution associées
5.3 Conception de la bibliothèque ICAFE
5.3.1 Les méthodes et leurs contraintes
5.3.2 Organisation générale
5.3.3 Zoom sur le package domain
5.3.4 Zoom sur le package mesh
5.3.5 Implémentation pour le calcul parallèle
5.4 Bilan du chapitre
Conclusion
Bibliographie
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