Stabilité et bornitude des solutionsd’une classe d’équations diﬀérentielles vectorielles du troisième ordre avec retard

Stabilité et bornitude des solutionsd’une classe d’équations diﬀérentielles vectorielles du troisième ordre avec retard

INTRODUCTION

La théorie qualitative des équations diﬀérentielles et des systèmes dynamiques traitent en grandes parties les propriétés asymptotiques des solutions et des trajectoires – ce qui se passe avec le système après une longue période de temps. Le type le plus simple du comportement se manifeste par des points d’équilibre, ou de points ﬁxes et par des orbites périodiques. Si une orbite particulière est bien comprise, il est naturel de se demander ensuite si un petit changement dans l’état initial va conduire à un comportement similaire. La théorie de la stabilité aborde les questions suivantes:est-ce qu’une orbite à proximité restein déﬁniment à proximité d’une orbite donnée? Va-t-elle converger vers l’orbite donnée (il s’agit d’une propriétéplusforte)?Danslepremiercas,l’orbiteestditestableetdanscedernier cas, asymptotiquement stable, ou attractive. LanotiondestabilitédeLyapunov(ou,plus correctement,de stabilitéausensde Lyapunov) apparaît en mathématiques et en automatique dans l’étude des systèmes dynamiques. Le champ des applications de cette notions est indéﬁniment large elle joue également un rôle en mécanique,dans les modèles économiques,les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire ,…, etc. Historiquement la théorie qualitative des équations diﬀérentielles, a été initiée par Poincaré et Birkhoﬀ, puis c’est Alexandre Lyapunov qui a établi les fondations de sujet, en eﬀet Joseph Liouville a appliqué le principe de Lagrange aux mouvements d’un ﬂuide en rotation en 1842, puis en 1855. Ses résultats ont été peu convaincants, et le problème a intéressé Pafnouti Tchebychev en 1882; il l’a conﬁé à Alexandre Lyapunov dans le cadre de sa maîtrise. Lyapunov a tout d’abord repris la méthode de Liouville, puis s’est vivement intéressé à la démonstration de Dirichlet.AuxyeuxdeLyapunov,lepointessentiel était que l’énergie totale V (q,q0)= T (q,q0)+U (q)
est une « fonction déﬁnie positive » en x = (q,q0) , qui reste constante tandis que le système bouge. Cette énergie totale allait devenir en 1892, dans sa thèse de doctorat intitulée Le problème général de la stabilité du mouvement, ce que nous appelons aujourd’hui une « fonction de Lyapunov ». Cette thèse est d’abord parue en russe, puis traduite en français en 1908, et en anglais pour son centenaire, en 1923. Dans ce travail, Lyapunov, inﬂuencé d’autre part par les travaux d’Edward Routh avec son Treatise » on the Stability of a Given State of Motion » (1877), de WilliamThomson(LordKelvin)etPeterGuthrieTaitavecleurTreatise »Natural Philosophy » (1879), de Nikolaï Iegorovitch Joukovski qui avait fait sa thèse sur la stabilité du mouvement en 1882, et de Poincaré avec son mémoire de 1889 déjà mentionné,a également introduit les notions de stabilité(au sens que nous appelons aujourd’hui « de Lyapunov ») et de stabilité asymptotique. Lyapunov a d’autre part étudié la stabilité de l’origine pour les systèmes « quasi-linéaires »
x0 = Ax+f (x),et est parvenu à la conclusion que, lorsque la matrice A est constante, et que 0 est asymptotiquement stable pour ce système lorsqu’il est linéaire (f =0), alors il est également stable pour le système non linéaire lorsque kf(x)k= o(kxk) pour kxk −→ 0. Durant les années qui ont suivi, Lyapunov a continué d’étudier la stabilité de ces systèmes quasi-linéaires dans le cas où la matrice constante A du système linéaire a ses valeurs propres sur l’axe imaginaire. Ces travaux ont été retrouvés dans les papiers de Lyapunov et publiés une dizaine d’années après qu’il se fut donné la mort en 1918. Les progrès de l’Analyse, grâce notamment aux travaux de Maurice René Fréchet, ont alors permis à Joe˙l Guilievitch Malkine d’aﬃner les déﬁnitions de Lyapunovetd’introduirelanotiondestabilitéuniformedanslesannées1940.Konstantin Petrovitch Persidski, dans son article » Sur la théorie de la stabilité des équations diﬀérentielles » (1946) a établi pour le système quasi-linéaire ci-dessus, que si 0 est uniformément asymptotiquement stable lorsque f =0, 0 est encore uniformément asymptotiquement stable lorsque f 6=0 vériﬁe la condition indiquée. Il n’était pas suﬃsant de déﬁnir clairement la stabilité uniforme, il convenait d’étudierdeplusprèslastabilitéasymptotique.Lanotiondestabilitéexponentielle a été introduite par Malkine en 1935.

Équations diﬀérentielles ordinaires déﬁnitions et notions de base

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques notions de base de la théorie des équations diﬀérentielles ordinaires.

Déﬁnitions

Soient U un ouvert de R×Rn et f : U →Rn une fonction continue. Déﬁnition 1.1. Une équation diﬀérentielle ordinaire sur U est une relation du type ˙ x(t)= f(t,x(t)), que l’on note : ˙ x = f(t,x), (1.1) où ” ˙ x ” = dx dt. Déﬁnition 1.2. Soit x une fonction d’une partie de R dans Rn. 1. Lafonction x estditesolutiondel’équation(1.1)surl’intervalle I ⊂Rsielle est déﬁnie et continûment dérivable sur I, si (t,x(t)) ∈ U pour tout t ∈ I, et si x satisfait la relation (1.1) sur I. 2. Soit (t0,x0)∈ U donné. La fonction x est dite solution du problème à valeur initiale associé à l’équation (1.1) s’il existe un intervalle I contenant t0 tel que x soit solution de l’équation (1.1) sur I et vériﬁe x(t0)= x0.
Chapitre1 Préliminaires Remarque 1.3. Pour (t0,x0) ∈ U donné, un problème à valeur initiale associé à l’équation (1.1) est généralement exprimé sous l’écriture suivante :
˙ x = f(t,x), x(t0)= x0, t ∈ I. (1.2) Remarque 1.4. Une solution de (1.2) est également dite solution de l’équation (1.1) à valeur initiale x0 à l’instant t0. Déﬁnition 1.5. Pour (t0,x0)∈ U donné, une solution du problème (1.2) est dite unique si elle coincide avec toute autre solution partout où elles sont toutes les deux déﬁnies. Remarque 1.6. Si le problème (1.2) admet une solution unique, celle ci est notée par x = x(t,t0,x0). Proposition 1.7. Pour tout (t0,x0)∈ U, le problème (1.2) est équivalent à l’équation intégrale : x(t)= x0 +Zt t0 f(s,x(s))ds. 1.1.2 Existence et unicité des solutions Nous rappelons, dans ce paragraphe, quelques résultats de base sur l’existence et l’unicité des solutions de l’équation (1.1). Théorème 1.8. (Existence) Soient U un ouvert de R×Rn et f : U → Rn une fonction continue. Pour tout (t0,x0) ∈ U, le problème (1.2) admet au moins une solution. Déﬁnition 1.9. Soient U un ouvert de R × Rn et f : U → Rn une fonction continue. On dit que f = f(t,x) est k-lipschitzienne en x si ∀(t,x1),(t,x2)∈ U, k f(t,x1)−f(t,x2)k≤ k k x1−x2 k, (k ne dépend pas de t). f est dite localement lipschitzienne en x si ∀ (t0,x0) ∈ U, il existe un voisinage V(t0,x0) de (t0,x0) dans lequel f est k(t0,x0) lipschitzienne. Théorème 1.10. Toute fonction de classe C1 (en t et x) est localement lipschitzienne en x. Dans tout ensemble Ω fermé borné elle est alors lipshitzienne. (Ω est borné en x et en t!).

Théorème 1.11. (Unicité) Soient U un ouvert de R × Rn si f : U → Rn une fonction continue et localement lipschitzienne en x, pour tout (t0,x0) ∈ U, le problème (1.2) admet une solution unique.

Stabilité cas autonome
Déﬁnition 1.12. On considère le système autonome
dx dt
= f(x) (1.3) de Rn → Rn continue. On dit que a est un point d’équilibre du système (1.3) si f(a)=0 pour tout t ≥0. 1) On dit que a est un point d’équilibre uniformément stable si :
∀ > 0, ∃η():kx0−ak≤ η =⇒kx(t,x0)−ak≤ , ∀t ≥0.
2) On dit que a est un point d’équilibre uniformément asymptotiquement stable si, a est uniformément stable et si en plus il existe un voisinage de a où x(t,x0) a pour limite a. (c’est à dire qu’il existe ρ > 0:kx0−ak≤ ρ ⇒ lim t7→∞ x(t,x0)= a). 3) Un point d’équilibre qui n’est pas uniformément stable est dit instable. Fonctions de Lyapunov : Déﬁnition 1.13. Soit 0 l’origine de Rn, D voisinage de 0. Soit U une fonction à valeurs réelles déﬁnie sur D telle que : 1. U(0)=0. 2. U(x) > 0 si x 6=0. On dit que U est déﬁnie positive dans D. Théorème 1.14. [27] (Théorème de stabilité de Lyapunov) Soit 0 le point d’équilibre de ˙ x = f(x), f : D →Rn, D un voisinage de 0 dans Rn et V : D →R une fonction continûment diﬀérentiable et déﬁnie positive. — Si ˙ V ≤0,∀x ∈ D, alors x =0 est stable. — Si ˙ V(x) < 0 dans D−{0}, alors x =0 est asymptotiquement stable. Remarque 1.15. La fonction V déﬁnie dans le théorème ci-dessus est appelée fonction de Lyapunov.

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Table des matières

able des matières
Introduction
Notations
1 Préliminaires
1.1 Équations diﬀérentielles ordinaires déﬁnitions et notions de base
1.2 Stabilité cas autonome
1.3 Stabilité et bornitude des solutions des équations diﬀerentielles ordinaires cas général
1.4 Quelques résultats sur les équations à retard
2 Stabilité et bornitude des solutionsd’une classe d’équations diﬀérentielles vectorielles du troisième ordre avec retard
2.1 Introduction
2.2 Stabilité
2.3 Bornitude
3 Stabilité, bornitude et carré intégrabilité des solutionspourquelqueséquationsdiﬀérentielles vectorielles de troisième ordre
3.1 Introduction
3.2 Stabilité
3.3 Bornitude
3.4 Carré intégrabilité
4 Bornitudeetstabilitédessolutionspourquelques équations diﬀérentielles vectorielles de troisième ordre avec retards multiples
4.1 Introduction
4.2 Stabilité
4.3 Bornitude
Annexe
Bibliographie
Index