Soutenance mémoire
De l’importance de la mesure de performance des systèmes
Les systèmes dynamiques sont le plus souvent décrits par un ensemble d’équations différentielles, qui ne sont pas toujours linéaires. L’étude des modèles linéarisés de ces systèmes et des systèmes linéaires en général représente une partie importante du travail de commande des systèmes (Tao, 2003, p. 35). La conception d’un compensateur, ou loi de commande, pour un système doit répondre à plusieurs critères relatifs aux spécifications désirées ou performances du système. Par ailleurs, la loi de commande doit garantir un ensemble de propriétés du système en dépit des imperfections du modèle adopté. Cet aspect est qualifié la robustesse de la loi de commande (Boyd et Barratt, 1991, p. 15). Les spécifications de performance englobent les caractéristiques du comportement désiré du système : une bonne régulation apte à corriger les perturbations indésirables au système, qu’elle soit internes ou externes, une réponse temporelle désirée (temps de montée, dépassement, temps de stabilisation), des signaux de commande en-dessous des limites de saturation des actuateurs et senseurs. La robustesse du compensateur est principalement la capacité du compensateur de maintenir les performances du système quand ce dernier accuse des variations (dues à la dérive de l’alimentation, la température, …etc.) ou si le modèle représentatif ne reproduit pas fidèlement le processus réel (ce qui est souvent le cas). La robustesse ne pouvant être garantie absolument (à 100%), la recherche de robustesse se fait souvent en établissant des marges de fonctionnement pour lesquels la robustesse doit être maintenue (Boyd et Barratt, 1991, p. 16). Nous nous intéressons premièrement aux performances du système. Dans le but de réaliser une commande adéquate d’un système, nous devons pouvoir nous assurer que le compensateur conçu répond aux spécifications de performance. Nous devons alors disposer d’outils de mesure de la performance d’un système. En d’autres termes, nous devons disposer de mesures quantitatives de performance, ou indicateurs de performance.
Le choix de ces indicateurs est dépendant de la nature des spécifications (temporelles et fréquentielles) et de la méthode de conception du compensateur. Il peut dépendre aussi de la nature du processus et de la finalité du contrôle : dans l’industrie chimique la variance des signaux de sortie est d’une importance capitale et sert d’indice de performance (Desborough et Harris, 1993, p. 1187) alors que dans l’industrie aéronautique l’importance est donnée à la stabilité et à la poursuite d’une référence (Tay, Mareels et Moore, 2012, p. 10). L’étape initiale de la conception d’un compensateur est de définir les spécifications de performance et les indices selon lesquels la loi de commande sera appréciée. A partir de là la méthode de conception et les paramètres éventuels à optimiser seront choisis. On considère un système de rétroaction à retour unitaire dont le compensateur est à concevoir. La Figure 1-1 montre un schéma synoptique d’un tel système, où est le processus et le compensateur. Le signal de référence est noté , est le signal de sortie et le signal d’actuation. représente les perturbations à l’entrée du processus, représente les perturbations extérieures (dérive, bruits de mesures) et est le bruit de mesure. La différence entre la référence et le signal de sortie du processus est représentée par . Cette dernière, appelée erreur du système est importante dans la mesure de la performance du système. L’entrée est le plus souvent un échelon appliqué au système en boucle fermée. La réponse de la boucle fermée à l’échelon, ou réponse indicielle, décrit la performance temporelle du système soumis à des signaux de commande constants sur de longues périodes. Elle sert de critère de conception. Cela est typiquement le cas lorsque le système comporte une seule entrée et une seule sortie (Boyd et Barratt, 1991, p. 172). Parmi les critères qui servent d’outils de conception et de vérification des compensateurs on peut citer :
Points d’équilibre
Si l’on désire réaliser la sustentation d’un objet grâce à l’influence d’un champ magnétique, on est amené à considérer la stabilité et l’existence d’un point d’équilibre. A première vue et en référence à l’expression (3.2) on peut déterminer que dans le cas général d’une charge/particule soumise à un champ magnétique le point d’équilibre est atteint lorsque la particule est en contact avec le pôle le plus proche. Ceci est tout aussi vrai dans le cas de la suspension d’un objet en dessous d’un aimant/électroaimant qui essaie d’arracher l’objet à la force de gravitation par attraction. En effet, le point d’équilibre ou les deux forces agissant sur l’objet en flottaison (force du poids et force d’attraction) sont égales. Mais nous avons déjà vu que dans ce cas le minimum d’énergie est lorsque la distance entre l’objet et l’aimant est nulle. Alors pour maintenir l’objet en équilibre à une distance donnée de l’aimant, le système fournit une énergie magnétique maximale qui au-delà de ce point tend à s’annuler devant la force de gravitation (l’objet sort de l’influence de l’aimant et tombe).
Le point d’équilibre est donc à maximum d’énergie et instable pour l’axe de translation verticale. Néanmoins la stabilité latérale est assurée intrinsèquement et donc le seul effort de contrôle est fourni pour maintenir le point d’équilibre vertical en dépit des perturbations (Sangster, 2012, p. 72). Dans le cas de la lévitation on veut maintenir l’objet (magnétisé dans ce cas) en flottaison audessus d’un aimant/électroaimant en faisant appel à la force de répulsion entre les deux champs magnétiques établit par l’aimant et l’objet. Ce cas présente l’avantage qu’au point d’équilibre, l’énergie du système est à son minimum : lorsque l’objet s’éloigne de l’aimant (et de sa position désirée) la force de répulsion diminue et donc l’attraction de la gravité devient plus importante et tendra à ramener l’objet vers son point antérieur; si la perturbation pousse l’objet plus près de l’aimant, la force de répulsion devient plus importante que la gravité et ramène l’objet à sa position désirée. Cet aspect est important car il ne requiert pas de contrôle dynamique pour maintenir la position verticale de l’objet. Néanmoins, la stabilité latérale n’est pas assurée et l’objet est sur un « coussin » restreint duquel il peut tomber si il s’écarte latéralement de sa position d’équilibre (Sangster, 2012, p. 72). Le choix de la méthode de sustentation détermine donc les outils de contrôle pour assurer un système stable : pour la suspension, il s’agit d’assurer la stabilité verticale en établissant un contrôle en boucle fermée qui agira sur l’intensité de la force d’attraction magnétique; dans le cas de la lévitation, il est possible de placer un système auxiliaire d’aimant pour ajuster la position latérale et assurer la stabilité. Dans ce qui suit nous décrirons en détails le modèle de la suspension d’un objet (boule en acier) auquel nous appliquerons nos différentes lois de commande.
Commande à boucles multiples
La commande par retour de sortie est un concept qui est apparu très tôt dans l’histoire de la commande. Des systèmes de boucle fermée à retour de sortie ont été réalisés dans l’antiquité déjà et ont prouvé l’efficacité de cette méthode dans la réduction des erreurs et des perturbations. Il est alors naturel de se poser la question de l’efficacité de l’agrégation de retours de sortie successifs sur le système. La réponse à cette question n’est pas évidente mais nous montrons dans la prochaine section que si certaines conditions sont assurées, la commande à boucles multiples devient possible. La littérature en effet nous montre que les systèmes à boucles multiples sont utiles et utilisés dans différentes situations. La première utilisation d’un système à retour de sortie à boucles multiples existe dans la nature. En effet, comme l’expliquent (Venkatesh, Bhartiya et Ruhela, 2004), la bactérie intestinale Escherichia coli utilise un schéma à retour de sortie à triple boucle pour assurer le maintien du niveau de tryptophane à une valeur stable et d’une manière robuste dans un contexte d’environnement changeant. On retrouve aussi une utilisation prépondérante des systèmes de retour de sortie à boucle multiples dans la commande à modulation de largeur d’impulsion (MLI) de redresseursonduleurs (VSI et VSC) (Abdel-Rahim et Quaicoe, 1996; Shih-Liang et al., 1997; Yao et al., 2007).
Dans ces systèmes de commande, une boucle intérieure régule le courant de ligne pour qu’il épouse une forme voulue, souvent pour corriger les effets de charges non linéaires, tandis que la boucle extérieure assure que le voltage est maintenu stable et d’une forme sinusoïdale. L’une des utilisations de la commande à boucles multiples est la commande d’éolienne à travers la recherche du point maximal de puissance (MPPT) (Li et al., 2012; Li, Haskew et Xu, 2010) où une boucle interne contrôle le courant du rotor (et donc le couple) de manière à poursuivre le point de fonctionnement optimal, et une boucle extérieure maintient la tension du stator en phase avec le réseau. L’intérêt de l’utilisation de boucles multiples est la séparation de deux objectifs dans la commande du système. Il peut s’agir d’assurer la stabilité dans un étage et les performances dans l’étage supérieur, ou de réguler une variable interne à une valeur désirée pour faciliter la commande de la variable externe. La séparation des choix des deux boucles, qui est assuré si certaines conditions sont remplies, permet au concepteur d’étudier les deux facettes du problème séparément et d’optimiser la compensation pour chacun d’eux. Nous voulons donc connaitre la condition pour pouvoir implanter une commande à multiple boucles. Nous donnons une réponse à cette question dans ce qui suit.
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Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 DES NORMES, DE LA PERFORMANCE ET DE LA ROBUSTESSE
1.1 De l’importance de la mesure de performance des systèmes
1.2 Les normes
CHAPITRE 2 METHODE B, THEORIE ET APPLICATION
2.1 Motivation
2.2 Méthode B appliquée au systèmes stables :
2.3 Méthode B appliquée aux systèmes instables :
CHAPITRE 3 SYSTÈME DE LÉVITATION MAGNÉTIQUE : PRÉSENTATION ET MODÉLISATION
3.1 Lévitation magnétique
3.2 Fondements théoriques
3.3 Modélisation du système de suspension magnétique
CHAPITRE 4 COMPENSATION DU SYSTÈME DE LÉVITAION METHODE B ET AUTRES METHODES
4.1 Compensations du système
4.2 Méthode B
4.3 Retour d’état
4.4 Comparaison des différentes méthodes de compensation
CHAPITRE 5 COMPENSATION PAR DOUBLE BOUCLE
5.1 Commande à boucles multiples
5.2 Problème de stabilisation et amélioration des performances :
5.3 Stabilité entrée-sortie et stabilité interne du schéma à double boucle :
5.4 Synthèse des compensateurs :
5.5 Compensateur B avec umax et ω2 non limités :
5.6 Compensateur B avec umax limité :
5.7 Optimisation du compensateur B avec umax limité :
5.8 Ajout d’un préfiltre pour améliorer la réponse temporelle
5.9 Récapitulation des résultats de simulation
CHAPITRE 6 COMPARAISON DES PERFORMANCES AVEC LES AUTRES METHODES DE COMPENSATION
6.1 Méthodes de compensation et critères de comparaison
6.2 Cas 1 : Signal de commande très petit
6.3 Cas 2 : Temps de stabilisation très petit
CONCLUSION
ANNEXE I IMPLÉMENTATION VISUELLE SUR GÉOGEBRA
ANNEXE II PROGRAMME MATLAB DE SYNTHÈSE DE LA DOUBLE
BOUCLE
ANNEXE III PROGRAMME MATLAB POUR LES FONCTIONS DE
PONDERATION
LISTE DE RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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