Sous-dierentiel de Clarke

Sous-dierentiel de Clarke

Introduction

En general, on suppose que les fonctions dans les problemes d’optimisation sont dierentiables, mais ce n’est pas toujours le cas. Et de la vient le besoin de denir un autre concept qui peut jouer un r^ole similaire a celui de la dierentiabilite, c’est la notion de sous-dierentiel.
Le sous dierentiel d’une fonction en un point de son domaine est un sous ensemble de ce dernier, ce n’est pas comme la dierentielle d’une fonction en un point de son domaine (quand elle existe) qui est une application lineaire.

Dans ce travail on va denir le sous-dierentiel pour les fonctions convexes et le sous dierentiel pour les fonctions localement lipschitziennes.

Elements d’analyse convexe

Introduction

L’analyse convexe est la branche des mathematiques qui etudie les ensembles et les fonctions convexes. Cette theorie etend sur beaucoup d’aspects de l’algebre lineaire et sert de bo^te a outils en analyse et en analyse non lisse. Elle s’est beaucoup developpee du fait de ses interactions avec l’optimisation, ou elle apporte des proprietes particulieres aux problemes qui y sont etudies.

Certains voient la naissance de l’analyse convexe moderne dans l’invention des notions de sous-dierentiel, d’application proximale et d’inf-convolution dans les annees 1962-1963. Il a fallu un certain temps pour que l’on reconnaisse que cette discipline apportait des idees nouvelles et des outils puissants.

Remarque

De facon generale, une fonction convexe peut-^etre tres compliquee sur le bord de son domaine.

Operations sur les fonctions convexes

Dans cette partie on va voir quelques operations qu’on peut faire avec les fonctions convexes s.c.i

Sous-dierentiel au sens de l’analyse convexe

Introduction

Le sous-dierentiel est un substitut de la notion de gradient pour les fonctions convexes non dierentiables. Ce n’est plus un vecteur comme le gradient,mais un ensemble de vecteurs.
Une fonction convexe est sous-dierentiel si son sous-dierentiel est non vide.
La propriete de sous-dierentiel s’exprime donc sous la forme de resultat d’existence.

Denitions et propositions

L’interpretation geometrique du sous-dierentiel est la suivante. Il est forme par toutes les directions des hyperplans qui passent par le point (x; f(x)) et restent sous le graphe de la fonction f. Ces hyperplans sont appeles hyperplans support ou hyperplans d’appui au graphe de f en x.

Conclusion

Dans ce chapitre on a deni quelques notions du sous dierentiel au sens de l’analyse convexe, et on a vu quelques proprietes et regles de calcul.

Au chapitre suivant on va voir ce sous-dierentiel pour les fonctions localemnent lipschitzienne, c’est ce qu’on appelle sous-dierentiel de Clarke.

Sous-dierentiel de Clarke

Introduction

Le sous-dierentiel de Clarke, dont il est principalement question ci-dessous, est une notion decrivant le comportement local d’une fonction en un point.

Si la fonction est derivable en ce point (il faut un peu plus que cela en realite), ce sousdi erentiel se confond avec la derivee. Sinon c’est un ensemble d’approximations lineaires censees decrire toutes les possibilites de variation innitesimale de la fonction.

Ce sous dierentiel est donc sujet a des variations brusques qui apparaissent lorsqu’on quitte un point de non-dierentiabilite.
Le sous-dierentiel de Clarke est deni pour la classe des fonctions localement Lipschitziennes, constitue une generalisation de l’idee de sous-dierentiel d’une fonction convexe.

Conclusion

Ce travail est compose de trois chapitres, au premier chapitre on a presente quelques elements d’analyse convexes qui nous ont aide a denir quelques notions du sous dierentiel au sens de l’analyse convexe. Au deuxieme chapitre on a deni le sous-dierentiel pour les fonctions convexes, et au troisieme chapitre on a deni le sous-dierentiel pour les fonctions localement lipschitziennes.
il y a d’autres classes de fonction auxquelles on peut denir le sous dierentiel avec un nouveau titre de propriete et regles de calcul.

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Table des matières

Introduction
1 Elements d’analyse convexe
1.1 Introduction
1.2 Denitions et propositions geometriques elementaires
1.3 Operations sur les fonctions convexes
1.4 Continuite et dierentiabilite
1.5 Conjuguee et biconjuguee
2 Sous-dierentiel au sens de l’analyse convexe
2.1 Introduction
2.2 Denitions et propositions
2.3 Regles de calcul
2.4 Conclusion
3 Sous-dierentiel de Clarke
3.1 Introduction
3.2 Denitions
3.3 Derivee de Clarke et sous-dierentiel de Clarke
3.4 Regles de calcul du sous-dierentiel de Clarke
3.5 Conclusion
Conclusion