Situation d’apprentissage du nombre pour contrôler une quantité, anticiper s’il reste des objets dans un sac

La construction du nombre chez l’enfant

La construction du nombre commence très tôt chez l’enfant ainsi dès la maternelle, les élèves sont confrontés à des situations problèmes en mathématiques leur demandant d’anticiper certains résultats. Cette étape d’anticipation encore abstraite pour eux se base notamment sur les principes qu’ils auront déjà acquis ou non dans la construction du nombre.
Afin d’essayer de comprendre cette étape, nous nous intéressons aux différentes approches théoriques puis nous essayerons de comprendre quelles sont les procédures permettant au jeune enfant de 3 ans d’entrer dans l’espace ordinal du nombre.

Les différentes approches théoriques du nombre chez l’enfant : Piaget et Gelman & Gallistel

Pour Piaget (1941), les structures logiques de la pensée, dont le développement est repérable à travers les épreuves de conservation, servent de base à toute connaissance. Elles sous-tendent le nombre et la connaissance arithmétique. Selon Piaget, le nombre constitue un tout permanent (un invariant), identique à lui -même quel que soit l’agencement spatial ou temporel de ses composants. Pour lui, le nombre n’est pas intuitif comme on pouvait le penser avant. L’accès au nombre serait tardif, vers 7 ans, et indépendant du langage et des pratiques sociales. Le nombre, synthèse du cardinal et de l’ordinal, nécessite la coordination de la classification et de la sériation. En effet, selon Piaget, pour compren dre le nombre, l’enfant doit intégrer ce qu’est l’inclusion des classes : l’aspect cardinal du nombre mais aussi l’idée d’ordre issu des sériations : l’aspect ordinal du nombre. Les deux, ensemble, permettent de comprendre que 1 est inclus dans 1+1, 1+1 dans 1+1+1…
Dans les années 70, Gelman et Gallistel postulent l’existence très précoce du comptage, dès 3 ans, et de cinq principes numériques « innés », préexistants permettant de dénombrer :
– principe d’ordre stable : les mots-nombres doivent être engendrés dans le même ordre à chaque comptage.
– principe de stricte correspondance terme à terme entre objets décomptés et noms de nombres : chaque élément de collection doit être désigné par un mot -nombre et un seul.
– principe de cardinalité : le mot-nombre qui désigne le dernier élément compté d’une collection représente le nombre total d’éléments
– principe d’abstraction : seules sont abstraites des éléments comptés, leurs caractéristiques d’entités distinctes. L’hétérogénéité des collections n’a aucune incidence sur le dénombrement
– principe de non pertinence de l’ordre : l’ordre dans lequel les éléments d’une collection sont énumérés n’affecte pas le résultat du comptage à condition que leprincipe de correspondance terme à terme soit respecté.
Pour Gelman, les difficultés relèvent du procédural et de l’utilisation. Elle explique qu’un enfant sait que lorsqu’on compte, il y a « x » objets correspondants. Cependant, il doit alors mobiliser toutes ses connaissances en même temps d’où la difficulté à les utiliser de façon coordonnée parce qu’il est submergé par la tâche. Pour elle, l’enfant est affecté dès lors que le cardinal change et non pas quand la distance entre les objets change.
Notons que vers les années 80, Fuson et Hall (1983) et Briars et Siegler (1984) mettent en avant la théorie des « principes-après » en contradiction avec Gelman. Ils expliquent queles principes sont appris progressivement par répétition des procédures de dénombrement, elles-mêmes acquises par imitation.

Les trois processus pour la perception du nombre chez l’enfant

Selon Dehaene (2010), il existe au moins trois procédures distinctes du dénombrement, qui contribuent au « sens du nombre » et qui permettent d’évaluer rapidement le cardinal d’une collection :
– Le subitizing pour les ensembles de 1, 2 ou 3 objets. Il ne dépend pas de l’arrangement spatial, les objets ne doivent pas être alignés cependant il échoue si les objets sont superposés et s’ils ne peuvent pas être isolés par la vision « pré-attentive ». Brissiaud (2007, p.34), le définit comme « la capacité d’énumération immédiate des unités jusqu’à 3 ». Selon lui, l’énumération mentale se fait de façon automatique et simultanée pour 2 ou 3 entités. Gallistel et Gelman (1991) décrivaient le  subitizing comme un dénombrement malgré la rapidité du processus, selon eux, ce dernier demande de l’attention mais ne se fait pas seulement de façon automatique. On remarque là que les points de vue sont différents notamment avec Brissiaud.
– L’estimation de la quantité, au-delà de 3 objets. Il s’agit d’un processus peu précis mais rapide qui convient aux grandes collections. Gallistel et Whalem (en 1999 et 2001) ont démontré que l’estimation pouvait être affectée par deux effets : un effet de distance, plus la distance numérique est importante, plus la discrimination est facile ainsi qu’un effet de magnitude, plus la taille de la collection est grande, plus l’estimation sera imprécise.
– Le comptage, fondé sur la correspondance terme-à-terme, pour parvenir à la cardinalité exacte. Pour ce processus, on remarque que le temps de comptage et les erreurs augmentent avec le nombre.
Le subitizing et l’estimation sont présents très précocement chez l’enfant, et existent également chez de nombreuses espèces animales. Ces processus numériques confèrent àl’enfant, très précocement un certain « sens du nombre » et une capacité d’opération sur les quantités approximatives.

L’apprentissage du dénombrement à l’école maternelle

Dans les programmes

La construction du nombre s’appuie sur différents points comme la notion de quantité, la suite orale des nombres, la codification orale et écrite des quantités ainsi que l’usage du dénombrement. Les enfants peuvent réciter parfaitement la comptine numérique sans pour autant réussir à l’utiliser pour dénombrer une collection. L’école maternelle doit donc permettre aux enfants de faire un lien entre les deux activités. Les enseignants doivent permettent aux enfants de stabiliser la connaissance des petits nombres, ainsi que de construire les nombres pour exprimer des quantités.
Les enfants doivent comprendre que la quantité n’est pas caractéristique d’un objet mais d’une collection d’objets. Tout d’abord une estimation perceptive et globale est effectuée (beaucoup, pas beaucoup). Puis, progressivement la quantité est prise en compte, sans tenir compte de l’apparence de la collection. Le cycle 1 est nécessaire pour stabiliser le fait que le nombre est un outil de mesure d’une quantité. Par exemple : deux indique deux pommes ou deux cubes ou encore deux chats, et même « un chat et un cube ». Peu importe la nature, la taille des éléments ou l’espace qu’ils occupent, le nombre est un outil de mesure de la quantité présentée.

Le comptage, les décompositions et les collections témoins : des moyens pour dénombrer une quantité

Un élève de maternelle pour dénombrer une quantité doit maîtriser l’énumération. Il s’agit pour l’enfant d’associer objet et pointage. A chaque objet, l’enfant doit pointer une seule et unique fois. Or, très souvent, l’enfant de maternelle met bien en correspondance terme à terme les mots-nombres et les objets de la collection mais il n’isole pas le dernier mot nombre prononcé pour répondre à la question « combien de ? ». Son comptage ne constitue donc pas un dénombrement mais un simple pointage. L’enfant n’acquiert alors pas la signification de cardinalité puisque pour lui le dernier mot -nombre prononcé ne correspond pas à la quantité totale des objets qu’il aura pointé.
Afin de favoriser l’accès au sens des nombres, Brissiaud (2007) distingue le comptage des décompositions. Par exemple : si l’on demande à un enfant combien il y a de biscuits dans le paquet et qu’il répond 3, il faudra alors lui montrer en disant « oui, un là, un là et encore un là ». Grâce à ce processus, les jeunes enfants n’ont pas à coordonner les deux significations des mots-nombres : numéros et noms des nombres. De plus, les décompositions peuvent se représenter de manière non linguistique par des collections témoins.
Une collection témoin est une collection stable du point de vue de son cardinal et partagée au sein d’un groupe. Le procédé consiste à l’utiliser pour effectuer une correspondance terme à terme entre les unités de la collection de départ (des objets dans un sac) avec celles d’une autre collection (des traits tracés, des doigts, des cailloux, les constellations du dé…)
Notons que Brissiaud explique que les configurations de doigts ne sont pas des collections témoins comme les autres, elles sont plus difficiles à comprendre puisque l’enfant peut voir un pouce, un index, un majeur et non pas un doigt, un autre et encore un autre. De plus, il est important selon lui de ne pas seulement utiliser les constellations du dé car il y a un risque que les élèves les connaissent par cœur et donc totalisent au lieu de dénombrer, ce qui ne serait pas un procédé numérique. La collection témoin sert à compr endre que la grandeur de la collection de traits, de cailloux, de doigts sert à représenter la grandeur de la collection de départ Par la construction de collections témoins, l’enfant apprend à se représenter les quantités, elles permettent de décomposer un nombre afin de favoriser la création mentale, l’énumération et la totalisation des unités. Brissiaud (2007) précise que lorsque le maître privilégie « la procédure de construction d’une collection témoin, les enfants ne mémorisent pas d’emblée le nom des nombres et montrent leurs trois doigts pour désigner trois, en demandant « c’est combien un, un et un ? ». L’enfant qui a un tel comportement a déjà appris l’essentiel : il conçoit l’idée du nombre trois seul lui manque le nom de ce nombre ».

Association de l’écriture chiffrée aux noms des nombres connus

D’après les programmes, les élèves à la fin du cycle 1 doivent être capables en voyant l’écriture 5 de dire « c’est cinq » et réciproquement, de choisir parmi différentes écritures chiffrées celle qui désigne 5. L’écriture chiffrée n’a d’intérêt que lorsque l’élève a compris la signification principale des nombres soit la désignation d’une quantité. Si l’élève ne sait pas aller chercher 6 crayons lorsque le maître montre 6 doigts ou une autre constellation de 6, il n’y a guère d’intérêt à savoir que le graphisme 6 se dit « six ».
Cependant, différents supports peuvent aider l’élève à l’apprentissage du passage de l’écriture chiffrée aux noms des nombres connus. Pour cela, il faut montrer à l’élève la correspondance entre les écritures et les nombres dits. Un des outils pour cela est la bande numérique. Cependant, il ne faut pas que pour l’élève le mot « dix » et l’écriture chiffrée correspondante ne désignent qu’une case soit la case portant l’étiquette numéro 10. Pour limiter ce risque, il est donc important de faire figurer sous chaque nombre écrit de la bande une représentation de la quantité correspondante, par exemple avec des doigts, des configurations de dés ou autres constellations d’objets.

La manipulation : le cœur des apprentissages

Les élèves de maternelle et plus particulièrement ceux de petite section ne sont pas encore totalement en mesure de verbaliser ce qu’ils font lors d’une tâche et d’expliquer leurs procédures pour la résoudre. La manipulation est donc omniprésente en maternelle puisqu’ il s’agit d’un besoin pour l’élève qui lui permet d’apprendre. De plus, elle permet au professeur des écoles de construire des situations d’apprentissage et ainsi de comprendre le raisonnement des élèves face aux tâches demandées. Grâce à la manipulation, et plus particulièrement une manipulation contrainte l’élève va être mis face à une situation problème qu’il devra résoudre.
Pour cela il lui faudra anticiper son action puis la réaliser afin de vérifier si son raisonnement fonctionne ou non. L’action de manipulation, si elle est réussie, validera l’action d’anticipation. Nous nous intéresserons donc ce qu’est la manipulation en tant que telle puis nous regarderons son usage plus particulier lors de l’apprentissage mathématique.

Principes pour que la manipulation soit utile à l’apprentissage

Selon le dictionnaire Larousse, le mot manipulation se définit comme une « action de soumettre quelque chose à des opérations diverses, en particulier dans un but de recherche ou d’apprentissage ».

Les différentes étapes de l’apprentissage mathématique

Les manières d’organiser les supports et de proposer des activités de manipulation pour l’apprentissage des mathématiques ont été étudiées par les didacticiens. Brousseau, cité par Margolinas et Wosniak (2012), distingue trois types de manifestations de la pensée et du langage mathématique, qui amènent à distinguer trois types de situation didactiques.
Tout d’abord, il parle de la situation d’action où la connaissance fonctionne comme moyen de prendre des décisions et d’agir. L’élève mobilise ses connaissances implicites comme moyen d’action sur le milieu. Le milieu lui apporte des informations et rétroactions en retour de ses actions.

Vers la démarche expérimentale en mathématiques

D’après Dias (2012, p. 19), « permettre aux élèves d’agir en mathématiques c’est aménager par les enseignants un passage progressif de la manipulation à l’expérimentation ». Pour lui, il est nécessaire de dépasser le hasard du tâtonnement avec les élèves. Il s’accorde avec Margolinas sur le fait qu’il faut une action orientée vers un but, pour cela il explique qu’il faut problématiser les situations d’apprentissage. Lors d’une expérience, un raisonnement permet donc une organisation et des gestes guidés.
On passe donc d’une phase de manipulation où l’élève déplace, touche, palpe, actionne, utilise à une phase d’expérimentation où l’élève contrôle, essaye, teste, vérifie et éprouve.

PROBLEMATIQUE

Suite à mes lectures, j’ai appris que le concept de nombre a été construit pour conserver la mémoire de la quantité, pour garder la mémoire d’une position ou encore pour anticiper. Je me suis donc intéressée à cette dernière catégorie. Le nombre permet d’anticiper certains résultats par exemple en comparant des quantités sans avoir à les manipuler, ou encore de prévoir le résultat d’une action avant qu’elle n’ait eu lieu, comme un ajout ou un retrait d’un élément dans la collection. Ainsi l’anticipation permet de penser le monde avant qu’une action soit produite. L’anticipation devient un substitut de la manipulation matérielle et permet de se libérer de celle-ci. Il est donc intéressant de relier la manipulation en mathématiques au concept d’anticipation. Il s’agit de trouver une expérimentation s’appuyant sur la manipulation tout en permettant aux élèves d’anticiper.
Plusieurs hypothèses sont apparues, tout d’abord, on peut supposer que la manipulation en mathématiques amène un enfant à anticiper une action ou un résultat. La seconde hypothèse est qu’il est nécessaire de maitriser la quantité pour pouvoir réaliser une anticipation. Enfin, des situations de manipulation qui conduisent les élèves à devoir anticiper avant de manipuler, les amènent elles à dénombrer par comptage ou prendre en compte la quantité d’une collection ? Ma problématique est donc née d’un regard croisé entre mes observations de classe ainsi que mes différentes lectures. Ainsi la question que je me suis posée est : dans quelles mesures contraindre la manipulation dans la démarche expérimentale en mathématiques, amène l’élève à tenter d’anticiper le résultat de son action en prenant des informations numériques sur la situation et donc de donner du sens au nombre ?

EXPERIMENTATION

Situation d’apprentissage du nombre pour contrôler une quantité, anticiper s’il reste des objets dans un sac

La situation élaborée pour l’expérimentation a pour objectif, après une phase de manipulation des objets par les élèves, de faire exister une phase d’anticipation des élèves après une phase de manipulation et de voir si cela les amène à utiliser le nombre comme moyen d’anticipation et de contrôle d’une quantité. Ainsi, ils seront en situation d’utiliser le nombre comme moyen d’action sur le milieu (le milieu n’est pas seulement matériel mais il contient aussi les prévisions). Ici, les élèves doivent utiliser la connaissance du cardinal d’une collection pour anticiper une action.
Objectif : utiliser la connaissance du cardinal d’une collection pour anticiper une action : reste-t-il des marrons dans un sac alors que je ne les vois pas, pour que je puisse en prendre encore un ?

Déroulement de l’expérimentation

Participants

Pour mon année en tant que Professeur des Ecoles Stagiaire j’ai été affecté e à mitemps dans une école de milieu rural située dans la circonscription de Montmélian. Cette école comprend trois classes, avec un effectif total de quatre-vingt-dix élèves.
J’ai effectué mon année de stage dans une classe de PS-MS comprenant 30 élèves, avec 22 PS et 8 MS. En revanche, cette étude a été imaginée et conduite seulement avec les 22 élèves de PS. Cette partie de la classe comprend 14 filles et 8 garçons. Les élèves, en mathématiques disposent d’un niveau correct et ne compte pas d’élèves à besoins particuliers. Treize élèves sont nés dans la première moitié de l’année 2004 et neuf élèves sont nés dans l a deuxième moitié de l’année.

Première phase du nombre 1 au nombre 3 (mars)

Jeu 1- avec boîte à œufs vide, sans aide, nombre 1 à 3

Etape 1- Création d’une collection de marrons de même cardinal qu’une collection donnée: l’élève fait une collection de marrons pour remplir les alvéoles d’une boîte : il dispose de marrons et d’une boîte d’œufs (1 ou 2 ou 3 alvéoles). Il doit prendre autant de marrons qu’il a d’alvéoles, pour remplir sa boîte.
Etape 2- Jeu avec collection de marrons inaccessibles : L’enseignante vide les marrons de la boîte à œufs dans le sac, de façon à ce que les marrons soient cachés, mais que l’enfant ait bien pu prendre conscience que ce sont les mêmes marrons, la même quantité qui était dans la boite. L’enfant n’a pas le droit de toucher le sac à tâtons pour ne pas permettre de répondre à la question (est-il possible de prendre un marron ?) sans nécessiter de raisonner à partir des marrons initialement mis dans le sac.

RESULTATS

Etape préalable : Construction d’une collection de 1 à 5 objets

Pour rappel, la première étape de l’expérimentation consistait à créer une collection de n marrons, n étant égal au nombre d’alvéoles d’une boîte d’œufs. Cette étape servait de diagnostic sur les compétences des élèves à propos des nombre et des quantités.

Sortir les marrons du sac, lorsque la boite d’œuf est visible (jeu 1)

Lors de la seconde et troisième étape du jeu, la boîte d’œufs comprenant les marrons était vidée dans un sac opaque. Ensuite, l ’élève devait prendre un marron, puis prévoir s’il restait ou non des marrons dans le sac et tester. Pour ce jeu, 19 élèves sur 22 ont réussi à anticiper s’il restait ou non un marron dans le sac. Si sa réponse était « oui », il le fait. S’il peut retirer un marron du sac, son action est validée et il peut recommencer. En revanche, s’il n’a pas pu retirer de marrons, il a perdu. Si sa réponse était « non », il procède à une vérification de son sac. Si le sac est vide, dans ce cas l’élève a gagné, mais si le sac contient encore des marrons, dans ce cas l’élève a perdu. Cette étape était reproduite jusqu’à épuisement des marrons dans le sac ou échec de l’enfant. Ces étapes pouvaient être réalisées de trois manières différentes.
Lors de la phase 1 (nombres de 1 à 3), pour le premier jeu, le cardinal de la collection variait de 1 à 3. L’élève disposait d’une boîte d’œufs visible, avec un nombre d’alvéoles variant de 1 à 3. La réussite d’un élève consistait à savoir anticiper s’il restait un marron ou non dans le sac, puis tirer tous les marrons un par un pour les mettre dans la boite d’œufs, et enfin savoir quand il ne pouvait plus le faire car le sac était vide.

Sortir les marrons du sac et les mettre dans une cuvette (jeu 2)

Lors du jeu 2, avec n variant de 1 à 3, l’élève a joué au même jeu que précédemment, cependant sans avoir une boite alvéolée, mais il avait une cuvette où la quantité de marrons était dispersée. Ce qui l’obligeait à tenir compte des marrons dans le sac. Lors de ce jeu l’élève avait le droit de choisir une aide pour se remémorer la quantité de départ. La réussite d’un élève consistait à savoir anticiper s’il restait un marron ou non dans le sac, puis tirer tous les marrons un par un pour les mettre dans la cuvette, et enfin savoir quand il ne pouvait plus le faire car le sac était vide.

Sortir les marrons du sac et les poser sur la table

Lors du troisième et dernier jeu, représenté par les figures 17 et 18, l’élève n’avait pas de boite d’œufs, ni de cuvette. Il posait ses marrons devant lui sur la table et pouvait obtenir s’il le souhaitait une aide. Les résultats obtenus sont semblable à ceux du jeu 2, car d’un point de vue didactique il n’y a pas de différence, entre une boite non alvéolée et poser la quantité sur une table, étant donné que la quantité est dispersée dans les deux cas. La réussite d’un élève consistait à savoir anticiper s’il restait un marron ou non dans le sac, puis tirer tous les marrons un par un puis les poser sur la table, et enfin savoir quand il ne pouvait plus le faire car le sac était vide.
D’après la figure 17, tous les élèves ont réussi avec 1 et 2 marrons. Avec 3 marrons, comme le jeu précédent 16 élèves sur 22 ont réussi à savoir anticiper s’il restait un marron ou non dans le sac, puis tirer tous les marrons un par un puis les poser sur la table, et enfin savoir quand il ne pouvait plus le faire car le sac était vide.
Pour la phase 2, représentée par la figure 18, 14 élèves ont réussi cette tâche et 8 élèves sur 22 n’ont pas réussi. Les résultats sont donc semblables au jeu précédent, la seule différence est que tous les élèves ont choisi de prendre une aide.

Type d’aides choisies par les élèves, lors des jeux 2 et 3

Lors du jeu 2 avec la cuvette et du jeu 3 lorsque les élèves posaient les marrons sur la table. Ils pouvaient s’ils le désiraient choisir une aide pour se remémorer la quantité de marrons de départ, avant que l’enseignante mette les marrons dans le sac. Différents types d’aides étaient proposées aux élèves.
Chaque élève jouait 5 parties pour un jeu, au cours des deux phases. La classe comprend 22 élèves, donc 110 parties ont été jouées au cours d’un jeu. Il est donc intéressant de voir les aides choisies au cours du jeu 2 et du jeu 3 par les élèves.

DISCUSSION

Re-contextualisation

Tout au long de cette étude, je souhaitais montrer dans quelles mesures contraindre la manipulation dans la démarche expérimentale en mathématiques, amène l’élève à tenter d’anticiper le résultat de son action en prenant des informations numériques sur la situation et donc de donner du sens au nombre.
J’avais émis plusieurs hypothèses, une première selon laquelle la manipulation en mathématiques amènerait un enfant à anticiper une action ou un résultat. La seconde hypothèse supposait qu’il serait nécessaire de maitriser la quantité pour pouvoir réaliser une anticipation. La dernière hypothèse consistait à se demander si des situations de manipulation qui conduisent les élèves à devoir anticiper avant de manipuler, les amèneraient à dénombrer par comptage ou prendre en compte la quantité d’une collection.
La situation élaborée pour cette expérimentation a donc comme objectif, après une phase de manipulation des objets par les élèves, de faire exister une phase d’anticipation afin de voir si cela les amenait à utiliser le nombre comme moyen d’anticipation et de contrôle d’une quantité.

Analyse des résultats

Evolution des anticipations entre le jeu 1 (boite d’œufs), jeu 2 (cuvette) et jeu 3 (sur la table)

Pour rappel, la réussite d’un élève consistait à savoir anticiper s’il restait un marron ou non dans le sac, puis tirer tous les marrons un par un, afin de les poser dans la boite d’œufs (jeu 1), dans la cuvette (jeu 2), sur la table (jeu 3). Et enfin, savoir q uand il ne pouvait plus retirer de marron car le sac était vide.
Tout d’abord nous pouvons remarquer que tous les élèves ont réussi lorsqu’ils avaient 1 ou 2 marrons, lors des trois différents jeux. Je pense que cela est dû au fait que les élèves maitrisent très bien les quantités 1 et 2. Le fait de changer de récipient ou de disposer les marrons sur la table ne les a donc pas perturbés.
On peut remarquer que les élèves ont mieux réussi le jeu 1 avec la boite d’œufs que les jeux 2 et 3. Lors de ce premier jeu, l’élève tirait un marron du sac puis le mettait dans la boite d’œufs comprenant une à cinq alvéoles. La stratégie utilisée par la plupart des élèves était de regarder les alvéoles vides de la boite d’œufs pour savoir s’il restait ou non des marrons da ns le sac. Si la boite d’œufs comprenait des alvéoles vides dans ce cas l’élève affirmait qu’il restait des marrons dans le sac. En revanche, s’il n’y avait plus d’alvéoles vides, dans ce cas l’enfant répondait que le sac était vide. Les élèves ne contrôle nt donc pas les marrons dans le sac mais les alvéoles de la boite d’œufs. Les enfants utilisent donc une stratégie visuelle, en observant la boite alvéolée. Ils ne procèdent pas à un dénombrement des marrons.
Lors du jeu 2 avec la cuvette et du jeu 3 où les marrons sont posés par l’enfant sur latable, on ne remarque pas de différence dans les résultats. C’est à dire qu’il y a autant d’élèves qui ont réussi cette tâche lors du jeu 2 que du jeu 3. Cette conclusion est normal e étant donné que d’un point de vue didactique il n’y a pas de différence entre poser les marrons dans une cuvette ou sur une table, étant donné que dans les deux cas la quantité de marrons est dispersée. Cependant lors de l’élaboration de l’expérimentation de ce mémoire, nous pensions observer une différence, étant donné que dans un cas l’élève a un récipient (la cuvette) et dans l’autre cas, l’élève n’a rien. La seule différence observée était d’un point de vue pratique, les enfants pouvaient disposer les marrons sur la table comme ils le souhaitaient sans être gênés par les rebords de la cuvette. Plus précisément, certains enfants disposaient les marrons comme sont placés les points sur les constellations d’un dé. On peut remarquer que moins d’élèves ont réussi la tâche, par rapport au jeu 1. Cela est dû au fait qu’ils ne disposaient plus de la boite d’œufs. Donc ils ne pouvaient plus seulement regarder les alvéoles vides et devaient utiliser une autre stratégie.

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Table des matières
INTRODUCTION
1. Manipuler pour apprendre un concept abstrait
1.1. L’approche du nombre
1.1.1. Le nombre au service de la quantité
1.1.2. Les représentations du nombre
1.1.3. Les procédures permettant de quantifier une collection
1.1.4. Les instructions officielles : Programme de l’école maternelle 2015
1.2. La construction du nombre chez l’enfant
1.2.1. Les différentes approches théoriques du nombre chez l’enfant : Piaget et Gelman & Gallistel
1.2.2. Les trois processus pour la perception du nombre chez l’enfant
1.2.3. L’apprentissage du dénombrement à l’école maternelle
1.3. La manipulation : le cœur des apprentissages
1.3.1. Principes pour que la manipulation soit utile à l’apprentissage
1.3.2. La place de la manipulation
1.3.3. Les différentes étapes de l’apprentissage mathématique
1.3.4. Vers la démarche expérimentale en mathématiques
2. PROBLEMATIQUE
3. EXPERIMENTATION 
3.1. Situation d’apprentissage du nombre pour contrôler une quantité, anticiper s’il reste des objets dans un sac
3.1.1 Eléments clefs, variables didactiques et aides
3.1.2 Analyse a priori : stratégies des élèves pour prévoir s’il reste un marron dans le sac
3.2. Déroulement de l’expérimentation
3.2.1 Participants
3.2.2 Première phase du nombre 1 au nombre 3 (mars)
3.2.1 Deuxième phase : nombre 1 à 5 (avril)
4. RESULTATS
4.1 Etape préalable : Construction d’une collection de 1 à 5 objets
4.2 Sortir les marrons du sac, lorsque la boite d’œuf est visible (jeu 1)
4.3 Sortir les marrons du sac et les mettre dans une cuvette (jeu 2)
4.4 Sortir les marrons du sac et les poser sur la table
4.5 Type d’aides choisies par les élèves, lors des jeux 2 et 3
5. DISCUSSION
5.1. Re-contextualisation
5.2. Analyse des résultats
5.3 Limites, perspectives et apports professionnels
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE

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