Soutenance mémoire
Analyse fractale et multifractale
Introduction
Dans ce chapitre nous donnerons donc quelques définitions et notions sur ces deux techniques de traitement d’images fractale et multifractale. La géométrie fractale et la théorie multifractale sont des outils précieux pour analyser, comprendre et même prévoir divers phénomènes naturels ou industriels.
Analyse Fractale
Historique des fractales
La théorie des fractales est un domaine des mathématiques très récent, né sous l’impulsion du mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot dans les années 1960. Néanmoins, bien avant Mandelbrot et son appellation « fractales », des objets de ce type avaient déjà été décrits par les mathématiciens du XIXe siècle, à l‘instar de Von Koch et de son célèbre flocon.
En 1872, La poussière -ou ensemble- de Cantor est un sous-ensemble de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. Sa construction s’effectue en ôtant, à chaque itération, le tiers central de chaque nouveau segment.
En 1890, La courbe de Peano est une fonction continue décrite pour la première fois par le mathématicien italien Giuseppe Peano.
En 1904, Le flocon de Koch
En 1915, Le tamis de Sierpinsky est un objet fractal étudié par le mathématicien polonais Waclaw Sierpinsky. Sur la base d’un triangle équilatéral plein [39].
Objet fractal
Formulation du concept de fractal
L’adjectif « fractal » a été proposé par Mandelbrot en en1975 (Mandelbrot en 1975).il provient du mot latin « fractus », du verbe « frangere »qui signifie briser. Présenter des irrégularités. Fragmenter à toutes les échelles ou encore fractionner à l’infini.
Objet fractal ou non fractal ?
Un objet est dit non fractal s’il n’ya pas d’apparition de nouvelles formes chaque fois qu’on zoome une de ses parties (Figure II.2) .on dans le cas d’un objet fractal (Figure II.3).Une nouvelle forme est apparue à chaque fois qu’une partie de l’objet est zoomé. Cette forme est plus au moins similaire à la totalité de l’objet lui-même.
Caractéristiques d’un objet fractal
Un objet fractal possède au moins l’une des caractéristiques suivantes :
il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels
il est exactement ou statistiquement auto-similaire, c’est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties;
sa dimension de Hausdorff est plus grande que sa dimension topologique [25].
Classification des fractales
Les fractals sont définis de façon récursive ou itérative, selon la manière avec laquelle elles sont construites. Nous pouvons distinguer deux grandes catégories : les fractals déterministes et les fractals non déterministes
Fractales déterministes
Ce sont les fractals dont la construction ne dépend pas du hasard. Elles sont souvent construites géométriquement ou avec des méthodes numériques. Elles sont de trois types :
a) Les systèmes de fonctions itérés (IFS : Iterated Function System)
Ce type de fractals peut être décrit par des règles de remplacement géométrique fixes.
L’ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinsky, la courbe de Peano, le flacon de Von koch constituent des exemples, bien connus dans le domaine, appartenant à ce type de fractal.
b) Fractales réalisées grâce a une suite de points
Sont des fractales définies par une relation de récurrence pour tout les points de l’espace (tel que le plan complexe).Nous retrouvons dans cette catégorie les ensembles de Mandelbrot et celles de Julia [24] (fig II.6).
Ensembles fractals non uniformes
Une première extension, qui reste dans le cadre déterministe et parfaitement auto-similaire, permet de construire des ensembles fractales non uniforme, en divisant un motif de base en n sous –motifs similaires, mais en utilisant des similitudes de rapports variables pour chacun des sous-motifs.ces ensembles sont également qualifiés de multifractals [24].
Fractals non déterministes
Par opposition aux fractales déterministes, il existe des fractales liées au hasard ou à des phénomènes aléatoires (le mode de réplication fait intervenir une composante aléatoire).elles se présentent sous deux formes :
objet fractals naturels
Objets aléatoires ou non déterministes, car le processus dynamique qui permet leurs création varie lui même avec le temps de façon aléatoire.
Citant, les vaisseaux sanguins, le paysages fractals (les nuages, les montagnes, les flacons de neige, le chou-fleur…) (la figure montre quelques exemples de fractals naturels).
ensembles fractals aléatoires
Des fractales irrégulières peuvent être construites par simulation en introduisant des composantes aléatoires dans une procédure de construction élaborée au départ pour générer une fractale.
La dimension fractale
On l’a vu précédemment, les fractales peuvent être caractérisées par leur dimension fractale. Néanmoins, cette dernière est une notion mathématique complexe qui nécessite d’être expliquée en détail.
La dimension euclidienne
La dimension euclidienne classifie de la manière la plus simple possible des objets géométriques [26] :
Dimension topologique
La dimension topologique utilisée en géométrie Euclidienne est associée au nombre de degré de liberté d’un point se déplaçant à l’intérieur d’un objet. Autrement dit, la dimension topologique fait référence à un nombre entier de vecteurs indépendants qui forment la base de cet objet (Godin .2003).Ainsi, un point est considéré comme un objet de dimension 0, une courbe comme un objet 1Det une surface comme un objet 2D, D’une manière générale, un objet de dimension n est représenté dans espace euclidien Rn [24].
La dimension de Hausdorff ou dimension fractale
La dimension de Hausdorff, est la plus ancienne des dimensions fractales. Elle a été proposée en 1919 par Félixe Hausdorff et développée en 1935 par Besicovitch. Elle est d’ailleurs souvent appelée dimension de Hausdorff- Besicovitch.
Elle a basée sur la considération de l’ensemble de tous les pavages possible.
Etant donné un ensemble F de points de , un recouvrement de F est un recouvrement de F par une famille d’ouverts , possiblement infinie, ou chaque a un diamètre inférieur ou égale à.
Comptage différentiel de boites
Cette méthode a été proposée par sarkar et chaudhuri en 1992 dans le but de surmonter la contraint par la méthode de comptage des boites classique [38]. Elle convient aux images en niveaux de gris et prend en considération les valeurs maximales et minimales des niveaux de gris de chaque boite.
Les fractals dans le corps humain
Dans le corps humain, les structures fractales abondent : les réseaux de vaisseaux sanguins, de nerfs, les bronches… Cette structure de type fractal accroît considérablement la surface utilisable pour l’absorption, la distribution, la collecte et le transport d’information par les différents réseaux du corps, c’est pourquoi elle y est si présente. C’est dans le corps une structure très efficace [26].
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Table des matières
Remerciement
Liste des figures
Liste des tableaux
Introduction générale
Chapitre I : Contexte médical
I.1 Introduction
I.2 Anatomie du la peau
I.2.1 La peau
I.2.2 Epiderme
I.2.3 Derme
I.2.4 L’hypoderme
I.3 Fonctions de la peau
I.3.1 Fonction protectrice
I.3.2 Fonction de régulation thermique
I.3.3 Fonction de sensation
I.4 La couleur de la peau
I.5 Pathologie de la peau
I.5.1 L’acné
I.5.2 L’herpès
I.5.3 Le psoriasis
I.5.4 La rosacée
I.5.5 Le vitiligo
I.5.6 Le zona
I.6 Tumeurs de la peau
1.6. 1 Tumeurs bénignes de la peau
I.6.1.1 Dermatofibrome
I.6.1.2 Kyste épidermique
I.6.1.3 Hémangiome
I.6.1.4 Kérato-acanthome
I.6.1.5 Lipome
I.6.1.6 Grain de beauté
I.6.1.7 Kératose séborrhéique
I.6.1.8 Acrochordon
I.6.1.9 Nævus de Spitz
I.6.2 Tumeurs malignes de la peau
I.6.2.1 Les cancers de type non mélanomes (kératinocytaires)
I.6.2.1.1 Le carcinome basocellulaire
I.6.2.1.2 Le carcinome spinocellulaire (squamous cell carcinoma, en anglais)
I.6.2.2 Le mélanome
I.6.2.2.1 Le développement d’un mélanome
I.7 Les principaux facteurs de risque du cancer de la peau
I.7.1 Le type de peau
I.7.2 Les nævi
I.7.3 L’exposition au soleil
I.7.4 L’utilisation de bancs solaires
I.7.5 Les antécédents de mélanome
I.8 Le dépistage des cancers de la peau
I.8.1 Surveiller sa peau
I.8.2 Consulter un dermatologue
I.9 Diagnostic
I.9.1 Un examen clinique
I.9.2 Une dermoscopie
I.9.3 Biopsie
I.9.4 Autres tests
I.10 Les traitements médicaux du cancer de la peau
I.10.1 Chirurgie
I.10.2 Cryochirurgie
I.10.3 Radiothérapie
I.10.4 Chimiothérapie topique
I.10.5 Chimiothérapie systémique
I.10.6 Immunothérapie
I.11 Conclusion
Chapitre II : Analyse fractale et multifractale
II.1 Introduction
II.2 Analyse Fractale
II.2.1Historique des fractales
II.2.2 Objet fractale
II.2.2.1 Formulation du concept de fractal
II.2.2.2 Objet fractal on non fractal ?
II.2.2.3 Définition d’un objet fractal
II.2.3 Caractéristiques d’un objet fractal
II.2.4 Classification des fractales
II.2.4.1 Fractales déterministes
a) Les systèmes de fonctions itérés (IFS : Iterated Function System)
b) Fractales réalisées grâce a une suite de points
c) Ensembles fractals non uniformes
II.2.4.2 Fractals non déterministes
a) objet fractals naturels
b) ensembles fractals aléatoires
II.2.5 La dimension fractale
II.2.5.1 La dimension euclidienne
II.2.5.2 Dimension topologique
II.2.5.3 La dimension de Hausdorff ou dimension fractale
II.2.5.4 Dimension de boites
II.2.6 Méthodes de calcul de la dimension fractale
II.2.6.1 Méthodes de comptage de boîtes
II.2.6.1.1Comptage de boites « Box Counting»
II.2.6.1.2 Comptage différentiel de boites
II.2.7 Les fractals dans le corps humain
II.3 Formalisme Multifractal
II.3.1Historique
II.3.2 Définition
II.3.3 Principe de base de l’analyse multifractale
II.3.3.1 Exposant de Hölder
II.3.3.2 Spectre multifractale
II.3.4 Les différentes approches d’analyse multifractale
II.3.4.1 approche géométrique
II.3.4.1.1 Mesures multifractals
II.3.4.2 Approche statistique
II.3.4.3 Détermination direct du spectre de singularité de
II.3.5 Application de l’analyse multifractale au traitement d’image
II.3.5.1 Segmentation (détection de conteur)
II.3.5.2 Le débruitage
II.3.5.3 Caractérisation
II.4 Conclusion
Chapitre III : Mise en oeuvre de l’application
III.1 Introduction
III.2 Segmentation des images dermatologiques par la méthode d’histogramme (méthode géométrique)
III.2.1 Méthodologie
III 2.2 Résultat et interprétation
III.2.2.1 Segmentation des tumeurs bénignes III.2.2.1.a) Le canal rouge (R)
III.2.2.1 b) Le canal vert (V)
III.2.2.1 c) Le canal bleu (B)
III.2.2.1 d) Segmentation des lésions bénignes
III.2.2.2 Les lésions malignes
III.2.2.2 a) Canal rouge (R)
III.2.2.2 b) Canal vert (V)
III.2.2.2 c) Canal bleu (B)
III.2.2.2 d) Segmentation des lésions malignes
III.3 Caractérisation des images par la méthode des moments (méthode statistique)
III.3.1 Résultat et interprétation
III.3.1.1 Extraction des paramétres
III.4 Conclusion
Conclusion générale
Bibliographie
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