Scénario d’enseignement sur les droites et les plans dans l’espace : de sa conception aux activités possibles des élèves

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Difficultés des étudiants

Le cours de géométrie différentielle aborde de nombreuses notions amenant les étudiants à réaliser beaucoup de calculs. L’interprétation géométrique des différentes notions est alors nécessaire pour que les étudiants les comprennent. Nous avons mis en évidence le travail attendu des étudiants par les enseignants lors des exercices et des évaluations. La confrontation des résultats obtenus avec la surface étudiée est jugée importante au sein de ce cours. Or, pour y arriver, les étudiants doivent être capables d’esquisser la surface ou du moins de la visualiser, c’est-à-dire de se créer une image mentale de l’objet et de pouvoir effectuer des modifications de ces images mentales comme par exemple effectuer des rotations (Marchand, 2006).
Nous intervenons dans les travaux dirigés depuis presque sept ans. Nous consta-tons chaque année qu’il n’est pas évident pour la majorité des étudiants de visualiser la surface étudiée, les courbes décrites par les sections normales, et d’employer une dé-marche permettant d’y arriver. Les étudiants essayent généralement de s’en sortir avec une démarche de pointage (Duval, 1988). Il s’agit de trouver des points appartenant aux courbes et aux surfaces et de s’en donner suffisamment pour esquisser l’objet géomé-trique considéré. Cette démarche peut fonctionner dans R2 mais dans R 3 elle est vite mise en défaut. Ils sont généralement démunis lorsque cette démarche est non efficace.
Si nous nous donnons quelques valeurs de t, nous pouvons par exemple trouver p;p; 0), (0; 0;  1). Une fois ces points placés dans un repère points (0; 0; 1), (22 orthonormé, il n’est pas évident de déterminer qu’ils sont situés sur un cercle de centre (0; 0) et de rayon 1 dans le plan d’équation x = y. De plus, même s’ils y arrivent, ils ne sont pas forcément capables de fournir un argument le justifiant. Par contre, il est plus facile d’envisager le problème de la manière suivante. Nous pouvons constater que la courbe donnée vérifie l’équation cartésienne x2 + y2 + z2 = 1. C’est une équation de la sphère unité. Nous pouvons aussi ajouter que l’abscisse et l’ordonnée sont identiques, ce qui amène à sectionner la sphère par un plan dont une équation cartésienne est x = y. Cette démarche nous permet de trouver et de justifier qu’il s’agit d’un cercle.
Prenons des exemples pour les surfaces. Soient S1 et S2 deux surfaces. Nous dé-finissons S1 = f(x; y; z) 2 R3 j x2 y2 = zg et S2 par la paramétrisation j(u; v) = (u; v; u + v). Les étudiants ne sont généralement pas capables de visualiser ces deux surfaces au début du cours de géométrie différentielle. Une démarche possible et effi-cace pour la première surface est de fixer un plan et de regarder la courbe décrite dans ce plan (figure I.4). Si nous fixons le plan d’équation x = 0, l’équation devient y2 = z. La courbe décrite est une parabole. Si nous fixons le plan d’équation y = 0, l’équation devient x2 = z. La courbe décrite est encore une parabole. Si nous fixons le plan d’équa-tion z = 0, l’équation devient x2 y2 = 0 ou encore x2 = y2 ou encore x = y ou x = y. Nous avons donc deux droites dans ce dernier cas.
Une démarche possible pour la deuxième surface est de fixer une des deux variables et de faire varier l’autre. Ainsi, si u = 0 alors nous avons (0; v; v) avec v 2 R et si v = 0 alors nous avons (u; 0; u) avec u 2 R. Ceci correspond à deux droites. La surface décrite est un plan.
Nous constatons que la plupart des étudiants de BAB3 ne sont pas capables face à une équation, qu’elle soit paramétrique ou cartésienne, de visualiser directement l’objet géométrique associé et de mettre en œuvre une autre démarche que celle de pointage. Cette difficulté est importante au début du cours de géométrie différentielle et concerne aussi bien les courbes et les surfaces « simples » comme les droites et les plans que les courbes et les surfaces plus « compliquées » comme l’hélice et la selle de cheval. Elle est généralement surmontée au fur et à mesure des séances d’exercices après que nous ayons proposé les démarches présentées ci-dessus. Ceci peut expliquer notamment le taux de réussite élevé lors des évaluations finales.
Une autre difficulté des étudiants, non sans lien avec la précédente, est de décrire une surface ou une courbe par une équation. Par exemple, dans l’exercice suivant, la surface est donnée et il s’agit de lui trouver une paramétrisation.
La plupart des étudiants restent bloqués face à ce genre d’exercices. Ils ne par-viennent pas à établir une démarche permettant de déterminer une paramétrisation de la surface. Bien qu’ils soient capables de se représenter et de dessiner la surface en ques-tion, ils rencontrent des difficultés à la décrire par une équation. Ainsi, la visualisation, au sens de Marchand (ibid.), semble problématique chez la plupart des étudiants puis-qu’ils ne parviennent pas à modifier leurs images mentales dans le but de construire une telle démarche. La description des objets géométriques par une équation pose des difficultés aux étudiants et ce bien après que nous ayons travaillé ce genre d’exercices en classe.
Premier questionnement
Nous avons mis en évidence les notions et les objectifs du cours de géométrie dif-férentielle dans lequel nous intervenons. Nous y avons repéré depuis de nombreuses an-nées une difficulté récurrente chez nos étudiants à pouvoir décrire un objet géométrique (courbe ou surface) à partir d’une équation (paramétrique ou cartésienne) et à associer une équation à un objet géométrique donné. Dans la suite de ce travail, nous utilisons le terme « interprétation géométrique » d’une équation pour l’association d’une équation un objet géométrique et réciproquement. Par exemple, si un étudiant est capable de dé-crire l’équation x2 + y2 + z2 = 1 comme étant la sphère unité et de représenter la sphère unité par l’équation x2 + y2 + z2 = 1 alors nous dirons que l’étudiant interprète géomé-triquement les équations. La démarche d’interprétation géométrique sera associée à la démarche mise en œuvre pour interpréter géométriquement les équations.
Comme nous l’avons expliqué, la majorité des étudiants se limite à une démarche de pointage pour décrire un objet géométrique à partir d’une équation. Cette méthode peut être efficace dans certains cas mais pas dans tous. Elle ne permet pas non plus de pouvoir représenter un objet géométrique à partir d’une équation. Nous en déduisons que la démarche d’interprétation géométrique n’est pas acquise chez la plupart de nos étudiants. En outre, cette difficulté à interpréter géométriquement les équations se pose pour presque tous les objets géométriques abordés au sein du cours dont il est question ici 4. En effet, elle concerne aussi bien des objets géométriques déjà rencontrés à de nombreuses reprises par les étudiants dans leur parcours scolaire (secondaire et univer-sitaire) que des objets géométriques nouveaux (par exemple le tore). Parmi les objets géométriques connus, les notions de droites et de plans dans l’espace ne semblent pas maîtrisées par la plupart de nos étudiants de BAB3. Celles-ci sont pourtant introduites dans l’enseignement secondaire et retravaillées à l’université. Nous nous sommes donc intéressée à l’enseignement de ces notions afin de mieux comprendre la difficulté de nos étudiants à interpréter géométriquement des équations.
Cette difficulté a également été repérée dans les travaux de Trigueros et Martinez-Planell (2010) sur les représentations géométriques des fonctions à deux variables.
Nous nous sommes dans un premier temps intéressée au cours de Mathématiques élémentaires dans lequel les notions de droites et de plans sont explicitement travaillées avec les étudiants de BAB1. Nous avons analysé la façon dont ces notions sont abordées et le travail proposé sur l’interprétation géométrique des équations. Un diagnostic de ce cours nous aide à mieux cerner et identifier les difficultés que les étudiants peuvent rencontrer et déterminer également certaines spécificités de ces notions. Il fait l’objet du chapitre suivant.

Mettre du relief sur les notions à enseigner

Comme nous l’avons souligné au chapitre I, la démarche d’interprétation géomé-trique des équations n’est pas acquise par la majorité des étudiants de BAB3. Nous nous attachons à mieux comprendre les difficultés qu’ils rencontrent, en particulier pour les notions de droites et de plans dans l’espace. Ces notions sont introduites pour la pre-mière fois dans l’enseignement secondaire. Nous nous fixons comme objectif de nous rendre sur le terrain et d’analyser la façon dont ces notions sont enseignées ainsi que le travail proposé par les enseignants aux élèves quant à l’interprétation géométrique des équations. Or, ces analyses ne se mènent pas sans avoir articulé au préalable une réflexion sur les mathématiques à enseigner et leur enseignement effectif (Robert, 2008). Cette réflexion globale sur l’enseignement des notions, nommée en didactique le relief sur les notions à enseigner (Pariès et al., ibid.), permet de construire un savoir 1 de réfé-rence, au sens de Rogalski et Samurçay (1994), qui va servir de balise pour toute notre recherche.
Pour construire cette référence, nous réalisons dans un premier temps un diagnostic du cours de Mathématiques élémentaires de BAB1 dans lequel les notions de droites et de plans dans l’espace sont travaillées. Ce diagnostic nous permet notamment de faire un état des lieux des connaissances 2 mathématiques qui peuvent être mobilisées dans le chapitre de la géométrie analytique dans l’espace. Il nous permet également de pointer les premières spécificités du savoir enseigné dans notre institution. Or, l’enseignement secondaire et l’université sont deux institutions ayant leur propre mode de fonctionne-ment et probablement des exigences différentes. Nous devons donc nous dégager du contexte institutionnel auquel notre diagnostic est soumis. Afin de préciser les spécifi-cités du savoir enseigné, indépendamment du contexte institutionnel, il est nécessaire d’étudier le processus de transposition didactique, au sens de Chevallard (1991). Ce processus permet de caractériser le décalage qu’il peut y avoir entre le savoir savant tel qu’il peut exister dans la sphère des mathématiciens, et le savoir à enseigner que nous retrouvons notamment dans les programmes et les manuels scolaires. Il met également en évidence les transformations subies par le savoir savant, désigné comme savoir à en-seigner, le rendant apte à prendre place parmi les objets d’enseignement. Le processus de transposition didactique nous amène donc à étudier à la fois le savoir savant et le savoir à enseigner.
Pour étudier le savoir savant, nous adoptons une posture de didacticienne des ma-thématiques et non d’historienne. Ce qui nous intéresse particulièrement, ce sont la ge-nèse et le développement des notions de droites et de plans dans l’histoire. Comme le souligne Dorier (2000a), il est important dans une analyse didactique de :
prendre en compte l’évolution et la constitution historique du savoir ma-thématique dans la sphère savante et ses rapports avec la constitution du texte du savoir enseigné » (p. 9).
Il s’agit donc de réaliser dans un second temps une analyse historique de l’émergence des notions de géométrie analytique mais également d’y incorporer une réflexion sur la nature des notions en jeu. En effet, une analyse épistémologique aide « la didactique à se déprendre de l’illusion de transparence des objets qu’elle manipule au niveau du savoir » et aide « le didacticien à se dégager des représentations épistémologiques erronées que tend à induire sa pratique d’enseignant » (Artigue, 1989, p. 2). L’analyse épistémolo-gique aide alors à prendre du recul par rapport au savoir enseigné.
Selon Margolinas (2015), un savoir est une construction sociale et culturelle qui vit dans une institution. Il est dépersonnalisé, décontextualisé, détemporalisé, formulé, formalisé, validé et mémorisé.
Selon Robert, Penninckx et Lattuati (2012), les connaissances réfèrent à ce que l’enseignant intro-duit (ou a été introduit à un moment du cursus) telles que les définitions, les propriétés et les méthodes. Les connaissances correspondent alors à ce que l’élève peut disposer pour résoudre un exercice et à ce que l’enseignant essaie de leur faire apprendre. Dans ce travail, nous parlons de « connaissances » pour les élèves et de « savoirs » pour les textes mathématiques en détails sur les principes et les résultats de l’analyse historique et épistémologique au chapitre III.
Lorsque l’étude historique et épistémologique a été réalisée, nous étudions les transformations que le savoir savant a subi en vue d’être enseigné. Pour ce faire, nous nous centrons enfin sur le savoir à enseigner. L’analyse de ce savoir passe notamment par une étude des programmes auxquels l’enseignement secondaire est soumis. Nous pouvons alors pointer les notions qui sont enseignées ainsi que leur répartition tout au long du cursus. Cependant, il ne s’agit pas de lire les programmes de manière linéaire car ceux-ci ne renseignent pas suffisamment sur ce qui est en jeu pour une notion (Pariès et al., 2007). Nous cherchons plutôt à préciser les relations entre les notions vues au cours d’une même année et les relations entre les notions vue d’une année à l’autre. Autrement dit, nous essayons d’avoir une idée plus claire de l’organisation des connaissances en géométrie analytique dans l’espace. C’est pourquoi nous étudions, via les programmes, les niveaux de conceptualisation des connaissances attendues pour une notion. Robert (2003a) définit un niveau de conceptualisation comme un domaine de travail assez im-portant et cohérent qui est spécifié par des fondements (axiomes), un arsenal (objets, définitions, théorèmes, propositions), des modes de raisonnements, des démarches et un niveau de rigueur ainsi qu’un corps de problèmes. L’analyse des programmes en termes de niveaux de conceptualisation permet de préciser ce qui est à conceptualiser à un mo-ment donné du cursus scolaire en fonction des spécificités des notions mathématiques pointées dans notre étude du savoir enseigné et du savoir savant. Nous revenons sur cette analyse curriculaire au chapitre IV.
Le savoir de référence qui guide notre recherche est construit sur la base d’un croi-sement entre l’étude cognitive, l’étude historique et épistémologique et l’étude curricu-laire. Nous pouvons alors grâce à cette référence mettre en perspective les notions et les problèmes qu’elles permettent d’aborder, réfléchir à leur disponibilité à un niveau scolaire donné, com-prendre l’évolution sous-jacente à la progression des programmes » (Ro-bert, 2008, p. 47).

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Table des matières

Introduction 
Partie 1 I Relief sur les notions étudiées 
Introduction
I Contexte du travail : la géométrie différentielle
1 Les notions mathématiques étudiées
2 Difficultés des étudiants
3 Premier questionnement
II Premières spécificités des notions enseignées
1 Mettre du relief sur les notions à enseigner
2 Diagnostic du cours de Mathématiques élémentaires
2.1 La transition secondaire-université
2.2 Les objectifs du cours de Mathématiques élémentaires
2.3 Les outils d’analyse du cours de Mathématiques élémentaires
2.4 Étude du travail réalisé au sein du cours
2.5 Les évaluations
2.6 Bilan de l’étude cognitive
III Étude historico-épistémologique
1 Méthodologie
2 Le raisonnement déductif d’Euclide
3 La légitimité des constructions géométriques
4 Les équations
5 L’algèbre nouvelle de Viète
6 Les opérations algébriques en géométrie chez Descartes
7 Le problème de Pappus
8 L’émergence de la géométrie analytique
9 La naissance de l’algèbre linéaire
9.1 La genèse de la notion de rang
9.2 De la géométrie analytique à l’algèbre linéaire
10 Bilan de l’étude historique
10.1 Un panorama de l’étude menée
10.2 Les spécificités des notions de géométrie analytique
10.3 Limites méthodologiques
IV Les programmes de l’enseignement secondaire belge
1 Éléments méthodologiques
2 Les programmes avant 2018
2.1 Présentation générale des programmes
2.2 Analyse des programmes
2.3 Bilan
3 Les programmes actuels
3.1 Présentation générale des programmes
3.2 Analyse des programmes
3.3 Bilan
4 Bilan de l’étude curriculaire
V Mise en relief des notions à enseigner
1 Notre objectif initial
2 Des décalages entre le savoir savant, le savoir à enseigner et le savoir enseigné
2.1 Les cadres
2.2 Les registres
2.3 Les points de vue
2.4 L’interprétation géométrique
2.5 Le caractère généralisateur des notions
3 Question de recherche
Partie 2 I Cadrage théorique – Problématique – Analyses didactiques
Introduction
VI Cadrage théorique et questionnement didactique
1 La Théorie de l’Activité
1.1 La construction des connaissances chez Piaget et Vygotski
1.2 Les activités comme intermédiaires pour étudier les liens enseignement/apprentissage
1.3 Les pratiques enseignantes
1.4 Méthodologie d’analyse des pratiques enseignantes
2 Question de recherche et méthodologie générale
VII Analyse des manuels scolaires belges
1 Éléments méthodologiques
2 Chapitres analysés dans les manuels
3 Les anciens manuels
3.1 Les activités d’introduction
3.2 Les cours
3.3 Les exercices
4 Le nouveau manuel
5 Conclusion
VIII Étude de terrain
1 Éléments méthodologiques
1.1 Présentation générale des enseignants
1.2 L’analyse des scénarios et des déroulements
2 Analyse des scénarios : documents « élèves »
2.1 Chronologie globale des scénarios
2.2 Les activités d’introduction
2.3 Les moments d’exposition des connaissances
2.4 L’analyse a priori des tâches
2.5 Bilan sur les activités attendues des élèves
3 Analyse des déroulements
3.1 Chronologie globale a posteriori
3.2 Les moments d’exposition des connaissances
3.3 L’analyse a posteriori des tâches
3.4 Bilan sur l’analyse des déroulements
4 Limites méthodologiques
5 Éléments de réponse à notre problématique
Partie 3 I Scénario d’enseignement sur les droites et les plans dans l’espace : de sa conception aux activités possibles des élèves
Introduction
IX Principes d’élaboration de la séquence
1 Une séquence « de type ingénierie »
2 Choix du chercheur dans l’élaboration du scénario
3 Bilan
X Présentation de la séquence
1 Méthodologie générale
2 Présentation du scénario
3 Élaboration d’un guide d’entretien
4 Entretiens avec les enseignants
5 Bilan
XI L’analyse a priori du scénario
1 Méthodologie
2 L’activité d’introduction
3 Les exercices proposés
4 Bilan
XII Expérimentation du scénario
1 Éléments méthodologiques
2 Panorama général de l’expérimentation
2.1 Chronologie globale
2.2 L’activité d’introduction
2.3 Les exercices
3 Analyse de quelques phases précises des déroulements
3.1 Présentation des analyses
3.2 La tâche introductive 1 : S1
3.3 La tâche introductive 2 : S4
3.4 Les exercices
3.5 Premières conclusions
4 Bilan et limites de l’expérimentation
4.1 Retour sur la conceptualisation visée chez les élèves
4.2 Limites méthodologiques
XIII Apprentissages des élèves
1 Éléments méthodologiques
2 Questionnaire pour les étudiants de BAB1
2.1 Question 1
2.2 Question 2
3 Questionnaire auprès des élèves du secondaire
3.1 Question 1
3.2 Question 2
3.3 Question 3
3.4 Question 4
4 Comparaison des résultats
5 Inférences sur les apprentissages
6 Bilan
Conclusion 
Bibliographie 
Annexes 
A Programmes scolaires
1 Le premier degré de l’enseignement
2 Ancien programme du deuxième degré de l’enseignement
3 Ancien programme du troisième degré de l’enseignement
4 Programme du deuxième degré
5 Programme du troisième degré
B Les manuels scolaires : résolution d’une tâche du CQFD
C Les tâches prescrites par les enseignants
1 L’enseignant P1
2 L’enseignant P2
3 L’enseignant P3
4 L’enseignant P4
5 L’enseignant P5
D Les tâches prescrites dans notre scénario
E Transcriptions des entretiens menés avec les enseignants
1 L’enseignant P1
2 L’enseignant P2
3 L’enseignant P3
4 L’enseignant P4
5 L’enseignant P5
F Analyse a priori des tâches prescrites dans notre scénario
1 Exercice 1
2 Exercice 4
3 Exercice 5
4 Exercice 6
5 Exercice 7
6 Exercice 9
7 Exercice 10
8 Exercice 13
9 Exercice 14
10 Exercice 15
11 Exercice 16
12 Exercice 17
13 Exercice 19

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