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Thème de recherche
Plusieurs problèmes inverses en sciences et technologie définis sur un espace unidimensionnel, peuvent être modélisés par des équations intégrales de Fredholm de première espèce, i.e.,
La théorie des problèmes inverses et en particulier leurs méthodes de traitement numérique sont d’une grande importance pour les sciences appliquées et la technologie. Elles sont cruciales pour le développement des techniques de mesure et de diagnostique pour des systèmes complexes et partiellement accessibles. Les équations intégrales de Fredholm de première espèce sont impliquées dans de nombreuses applications scientifiques. Cette catégorie de problèmes englobe plusieurs formulations inverses de certains modèles physiques, comme la radiographie, la spectroscopie, le rayonnement, le transfert radiatif et le traitement d’images [30]. Dans la littérature mathématique, plusieurs méthodes numériques ont été développées pour traiter cette catégorie de problèmes instables [1, 36].
Parmi ces méthodes, on distingue deux variétés les plus utilisées : les méthodes de collocation (méthodes de Nyström) qui sont basées sur l’approximation numérique des intégrales par des sommes pondérées supportées sur un ensembles de points (noeuds). La seconde variété est connue sous le nom méthode de Galerkin (méthodes de projection, méthodes spectrales) qui consiste à projeter l’équation sur un sous-espace de dimension finie, où la solution recherchée s’écrit comme une combinaison linéaire des éléments de la base de cet espace .
Résultats préliminaires et notations
Equations intégrales
Opérateurs compacts et théorie de Riesz-Fredholm. On se place dans un cadre normé (E1 → E2), où E1 et E2 sont deux espaces de Banach sur K = R ou C, les normes sont notées respectivement par k.k1 , k.k2.
Définition 1.1. Un opérateur linéaire est une application A : D(A) ⊆ E1 → E2 linéaire, où D(A) est le domaine de définition de l’application linéaire A, qui est un sous espace vectoriel de E1 , que l’on suppose en général dense dans E1 . L’opérateur A : D(A) = E1 → E2 est dit borné si la quantité
⎸⎸A ⎸⎸ = sup｛ ⎸⎸Au ⎸⎸E2 , u ∈ D(A), ⎸⎸u ⎸⎸E1 = 1｝
La proposition suivante donne des propriétés fondamentales de stabilité des opérateurs compacts.
Proposition 1.1. Soient E et F deux espaces de Banach. Alors :
(i) K(E,F) est un sous-espace vectoriel fermé de L(E,F).
(ii) Soient E, F et G des espaces de Banach, S ∈ L(E,F) et T ∈ L(F,G). Si S ou T est compacte alors T S est compacte. En particulier, K(E) est un idéal bilatère de L(E).
Proposition 1.2. Soit T un opérateur continu de l’espace de Hilbert H1 dans l’espace de Hilbert H2 . Les deux énoncés suivants sont équivalents :
(i) T est compact.
(ii) Pour toute suite (xn) ⊂ H1 , on a xn ⇀ x ⇒ T xn → T x
Théorème 1.1. Soit T un opérateur continu de l’espace de Hilbert H1 dans l’espace de Hilbert H2 . Les deux énoncés suivants sont équivalents :
(i) T est compact.
(ii) Pour toute suite orthonormale (en) ⊂ H1, on a T en → 0.
Proposition 1.3. Soit T un opérateur borné de l’espace de Hilbert H1 vers l’espace de Hilbert H2 . Alors T est compact si et seulement si T∗ est compact.
• Considérons maintenant un opérateur compact T ∈ K(H1 , H2), où H1 , H2 sont deux espaces de Hilbert séparables. Une des approches les plus pratiques pour étudier le problème inverse T h1 = h2 , consiste à utiliser la décomposition en valeurs singulières (SVD) de l’opérateur T . Cette représentation propose des bases pour les espaces de Hilbert H1 et H2 permettant d’exprimer et de résoudre simplement le problème.
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Table des matières
Introduction
1. Thème de recherche
2. Contenu de la thèse
Chapitre 1. Résultats préliminaires et notations
1. Equations intégrales
2. Problèmes inverses et problèmes mal posés
3. Intégration numérique et formules de quadratures
4. Polynômes de Legendre
Chapitre 2. Méthode de Legendre-Collocation régularisée pour une équation intégrale de Fredholm de première espèce
1. Position du problème
2. Méthode de Legendre-Collocation régularisée
Chapitre 3. Régularisation de Tikhonov projetée pour une équation intégrale de Fredholm de première espèce
1. Position du problème
2. Résultats préliminaires et notations
3. Méthode de régularisation de Tikhonov projetée
4. Analyse de convergence
5. Stratégie a posteriori du choix du paramètre de régularisation
Chapitre 4. Tests numériques
1. Résultats numériques obtenus par la méhode de Legendre Collocation régularisée
2. Résultats numériques obtenus par la méhode de regularisation de Tikhonov projetée
Commentaires
Conclusion et perspectives
Bibliographie
