Réduction d’ordre de modèle d’un phénomène d’amortissement non-linéaire

Troncature balancée

   Une autre méthode courante de réduction d’ordre de modèle est la troncature balancée [Scherpen 1993] [Rowley 2005]. Pour un système linéaire ou non-linéaire, cette méthode repose sur la définition de fonctions de commandabilité et d’observabilité, qui sont des fonctions de l’état du système. La fonction de commandabilité traduit l’énergie nécessaire pour atteindre un certain état à partir de conditions initiales définies, la fonction d’observabilité traduit l’énergie de sortie pour un état initial donné et une entrée nulle. Elles permettent de caractériser l’importance relative de différents états. Cette information peut servir à sélectionner des états pour établir une base de projection pour un modèle réduit. Dans le cas d’un système linéaire d’ordre N défini par (1-9), ces fonctions peuvent s’exprimer simplement par le biais de deux matrices, les grammiens de commandabilité Wc et d’observabilité Wo (1-10), qui sont les solutions des équations de Lyapunov (1-11). N x ∈ IR est l’état du système, p u ∈ IR les entrées et q y ∈ IR les sorties.

Troncature balancée

   La méthode de la troncature balancée évoquée précédemment pour des systèmes linéaires peut être étendue à des systèmes non-linéaires en calculant les grammiens empiriquement à partir de données réelles ou simulées [Lall 2002]. Ces données correspondent à des simulations/expériences précisées :
• entrées impulsionnelles pour le grammien de commandabilité.
• conditions initiales définies et entrées nulles pour le grammien d’observabilité. Il est prouvé que si l’on considère un système linéaire, les grammiens calculés à partir de ces données correspondent bien aux grammiens théoriques, ils sont solution de l’équation de Lyapunov. Dans le cas d’un système non-linéaire, on peut utiliser des entrées autres que des entrées impulsionnelles afin de mettre en relief certaines caractéristiques non-linéaires. Le coût de construction du modèle paraît assez important à cause des simulations nécessaires au calcul des grammiens

Stabilité, passivité

   Les questions d’évaluation de l’erreur, de préservation de la stabilité et de la passivité du système sont traitées en détails dans [Rewienski 2005], pour une catégorie de systèmes ayant des propriétés particulières. La fonction f non-linéaire est considérée Lipschitz-continue et négative-monotone. Cela exclut de facto certains systèmes que l’on serait susceptible d’étudier (systèmes à hystérésis). Il présente des conditions pour que la projection du système conserve la stabilité puis pour que la linéarisation par morceaux n’engendre pas l’apparition d’instabilités ou de points de stabilité artificiels. Son étude aboutit à une condition sur les poids ou à l’ajout d’un terme dissipatif pour certains états. C’est la seule méthode, avec le cas de la base de Krylov pour les systèmes linéaires, pour laquelle ces problèmes ont été étudiés.

Modèle d’un accéléromètre [Westby 2002]

    [Westby 2002] propose une étude paramétrique d’un accéléromètre à deux axes dans le casconservatif. Il se base sur le système d’EDOs non-linéaires régissant la dynamique des coordonnées modales. Il part donc d’un modèle déjà réduit par la méthode de Galerkin. Les non-linéarités sont quadratiques et cubiques. Il fixe les deux premiers modes propres linéaires comme étant les deux modes maîtres. Les autres coordonnées modales seront exprimées sous la forme d’un développement asymptotique à l’ordre trois des coordonnées modales maîtres. Il étudie l’influence de la longueur d’une des poutres de la structure. Pour cela il établit un développement limité au premier ordre du premier mode propre linéaire du système. Il fait de même pour les coefficients du développement asymptotique des modes « esclave ». On remarque que les résultats présentés servent à valider l’approximation paramétrique et non la validité du modèle réduit. Il compare les résultats des modèles réduits établis avec différentes valeurs de la longueur et ceux du modèle fonction du paramètre longueur. Il présente une comparaison des valeurs propres des modes ainsi qu’un coefficient de la matrice de raideur des termes quadratiques en fonction de la longueur, ainsi que l’amplitude dans le temps du premier mode pour une amplitude du deuxième mode non-nulle. Ces résultats, comparés à un modèle établi pour chaque valeur de la longueur sont valables pour une variation de L de 20%.

Modèle Navier Stokes 2D / Modèle Reynolds 1D

  On considère une plaque rigide mobile de largeur considérée infinie en mouvement par rapport à un plan fixe. On considère le film d’air situé entre les deux plans. Le modèle est un modèle éléments finis ANSYS en 2D régi par les équations de Navier-Stokes dans le cas incompressible. On trouvera le code en annexe A. Une formulation ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) est utilisée. C’est-à-dire que le maillage est mis à jour à chaque pas de temps pour suivre le mouvement de la plaque. Ce n’est pas pour autant exactement une description Lagrangienne, le maillage ne suivant pas exactement le mouvement des particules. On soumet une plaque rigide ayant comme dimension L=500 µm et étant à G0=2 µm d’un plan fixe à une excitation sinusoïdale d’amplitude 40% de G0 et de fréquence 1 kHz, ceci à la pression atmosphérique. Les conditions limites sont celles de bords libres, la variation de pression est nulle. Ci-dessous la variation de pression sur la hauteur du film au temps t=0.75 10-3s. On vérifie bien que la pression est homogène sur l’épaisseur et ne dépend donc pas de la variable z.

Modes issus de la décomposition propre orthogonale

   On utilise le code différences finies (2-61) associé à l’équation de Reynolds linéaire puis le code différences finies décrit en annexe C associé à l’équation (2-51) non-linéaire pour pratiquer la décomposition propre orthogonale sur une série d’instantanés afin d’obtenir des bases de projection. On comparera les deux bases obtenues puis les résultats de la projection de l’équation de Reynolds non-linéaire (2-61) sur ces deux bases. Pour le cas où l’on extrait une base de la simulation du système non-linéaire, on étudiera dans quelle mesure la trajectoire d’apprentissage détermine la validité de la base de projection issue de la décomposition propre orthogonale, et dans quelle mesure les fonctions de base peuvent être réutilisées pour d’autres paramètres géométriques.

Changement de paramètres : pression ambiante, amplitude, fréquence

   On travaille maintenant sur le deuxième cas pour lequel on a extrait des modes POD ( 013 .1 P0 = 105 Pa, α = 5.0 , f=50kHz ). On applique la méthode de Galerkin au modèle version 1 (2-61) pour deux bases : les modes POD issus de cette même trajectoire et les modes POD issus de la trajectoire précédente ( 013 .1 P0 = 104 Pa, 2.0 α = , f=50kHz ) du système non-linéaire Pour les deux bases choisies il faut 2 modes pour atteindre la précision sur la solution voulue (c’est-à-dire moins de 5% d’erreur si on ajoute un mode), et l’erreur pour deux modes est respectivement de 9 % pour la base issue de la même simulation, et de 8% pour celle issue de la simulation précédente. On remarque toutefois que pour la base issue de la même simulation, l’erreur pour 1 mode est de 8 % alors qu’elle est de 18% pour la base précédente pour laquelle la convergence est toutefois rapide puisqu’au final deux modes suffisent. La première base extraite s’avère donc valable pour une simulation à une pression ambiante différente, et où les non-linéarités sont plus importantes du fait du plus grand déplacement. L’inverse est vrai aussi, on peut utiliser la dernière base extraite pour la simulation précédente. De même la convergence est rapide et la précision par rapport au modèle différences finies bonne.

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Table des matières

Introduction générale
Chapitre 1 Réduction d’ordre de modèles
1.1. Introduction
1.2. Réduction d’ordre des systèmes linéaires
1.2.1. Vecteurs propres
1.2.2. Approximation de Padé
1.2.3. Troncature balancée
1.2.4. Comparaison
1.3. Réduction d’ordre des systèmes non-linéaires
1.3.1. Généralités
1.3.2. Choix d’une base de projection
1.3.2.1. Décomposition propre orthogonale (POD)
1.3.2.2. Troncature balancée
1.3.2.3. Concaténation de bases de Krylov
1.3.3. Evaluation des termes non-linéaires
1.3.3.1. Utilisation d’un développement limité
1.3.3.2. Utilisation d’une approximation de f
1.3.3.3. Linéarisation par morceaux
1.3.3.4. Comparaison des différentes approches
1.3.4. Stabilité, passivité
1.4. Modes propres non-linéaires
1.4.1. Introduction
1.4.2. Equation régissant les variétés invariantes
1.4.3. Détermination des variétés
1.4.3.1. Développement asymptotique
1.4.3.2. Méthode de Galerkin
1.4.3.3. Formes normales
1.4.3.4. Utilisation de la périodicité du mouvement
1.4.3.5. Prise en compte de la force extérieure dans l’établissement du MNN
1.4.3.6. Système soumis à l’amortissement d’un film d’air compressé [Westby 2003]
1.4.4. Conclusion
1.5. Couplage
1.6. Conclusion
Chapitre 2 Résolution de l’équation de Reynolds
2.1. Etablissement et résolution de l’équation de Reynolds
2.1.1. Etablissement de l’équation de Reynolds
2.1.2. Equation de Reynolds linéarisée
2.1.2.1. Résolution analytique
2.1.2.2. Résolution numérique
2.1.2.3. Modèle équivalent circuit du « squeeze-film damping »
2.1.3. Résolution de l’équation de Reynolds linéarisée autour d’un point de fonctionnement
2.1.4. Résolution de l’équation de Reynolds non-linéaire
2.2. Equation de Navier-Stokes/ Equation de Reynolds
2.2.1. Modèle Navier Stokes 2D / Modèle Reynolds 1D
2.2.2. Modèle Navier Stokes 3D / Modèle Reynolds 2D
2.3. Modèle réduit de l’équation de Reynolds linéaire : application à la réponse fréquentielle
2.3.1. Analyse
2.3.2. Application numérique
2.4. Modèle réduit de l’équation de Reynolds non-linéaire : changement de variable
2.4.1. Hypothèse des petites variations de pression
2.4.2. Changement de variable
2.4.3. Méthode de résolution numérique
2.4.4. Modes propres du Laplacien
2.4.5. Validation du modèle
2.4.6. Intérêt du changement de variable
2.4.6.1. Résultats
2.4.6.2. Considérations théoriques
2.5. Choix d’une base de projection de l’équation de Reynolds non-linéaire
2.5.1. Modes propres du Laplacien
2.5.2. Base de Krylov (Approximant de Pade)
2.5.3. Modes issus de la décomposition propre orthogonale
2.5.3.1. Extraction des modes : Décomposition propre orthogonale
2.5.3.2. Résultats : système linéaire /système non-linéaire
2.5.3.3. Changement de paramètres : pression ambiante, amplitude, fréquence
2.5.3.4. Changement de géométrie
2.5.4. Comparaison des différentes bases de projection
2.5.4.1. Approximation du système linéaire
2.5.4.2. Approximation du système non-linéaire
2.6. Conclusion générale
Chapitre 3 Réduction d’ordre de modèle d’un système couplé
3.1. Micro-interrupteur MEMS
3.1.1. Principe de fonctionnement
3.1.2. Physique d’un micro-interrupteur actionné de manière électrostatique
3.1.2.1. Mécanique
3.1.2.2. Actionnement électrostatique
3.1.2.3. Phénomènes électrothermiques
3.1.2.4. Amortissement
3.1.3. Réponse fréquentielle du système couplé
3.1.3.1. Modèles de la littérature
3.1.3.2. Réponse fréquentielle du système couplé
3.1.4. Modèles réduits de micro-interrupteur
3.1.4.1. Modèle de [Gabbay 1998] /[Mehner 2000]
3.1.4.2. [Hung 1999], [Rewienski 2003 B], [Chen 2004]
3.2. Modèle couplé fluide-structure d’un micro-interrupteur à contact capacitif
3.2.1. Equations
3.2.2. Modèle réduit
3.2.2.1. Euler-Bernoulli
3.2.2.2. Equation de Reynolds
3.2.2.3. Modèle couplé
3.2.3. Importance de l’amortissement dans la dynamique du système étudié
3.2.3.1. Cas étudié
3.2.3.2. Importance de l’amortissement du film d’air dans la dynamique
3.2.3.3. « Incompressibilité »/ Petite variation de pression
3.2.3.4. Importance du modèle de la viscosité
3.2.4. Validation du modèle : comparaison à un modèle différences finies
3.2.4.1. Modèle différences finies
3.2.4.2. Résultats
3.2.5. Validation du modèle : comparaison à des résultats de la littérature
3.2.5.1. Modèles différences finies de la littérature
3.2.5.2. Données expérimentales
3.3. Conclusion
Chapitre 4 Evaluation des termes non linéaires
4.1. Introduction
4.2. Approximation globale de la force fluidique
4.2.1. Approximation analytique de la force fluidique pour les poutres étroites
4.2.2. Approximation numérique de la force fluidique pour les poutres larges
4.2.2.1. Trajectoire d’apprentissage
4.2.2.2. Approximation de F
4.2.3. Résultats
4.2.3.1. Actionnement électrostatique
4.2.3.2. Force uniforme sinusoïdale
4.2.4. Conclusion
4.3. Modèle linéarisé par morceaux [Rewienski 2003 B]
4.3.1. Méthode [Rewienski 2003 B]
4.3.1.1. Choix des points de linéarisation
4.3.1.2. Calcul des poids
4.3.2. Linéarisation par morceaux d’un modèle réduit de micro-interrupteur
4.3.2.1. Modèle réduit utilisé
4.3.2.2. Choix des points de linéarisation
4.3.2.3. Calcul de la valeur des fonctions et des jacobiens
4.3.2.4. Résultats : trajectoire d’apprentissage=trajectoire de simulation
4.3.2.5. Résultats : domaine de validité des modèles
4.3.3. Linéarisation par morceaux d’un modèle différences finies de microinterrupteur
4.3.3.1. Modèle différences finies
4.3.3.2. Résultats
4.4. Linéarisation des coefficients du modèle réduit
4.4.1. Principe
4.4.2. Validation
4.5. Conclusion
4.6. Conclusion générale
Conclusion générale
Références
Annexe A Navier-Stokes ANSYS
Annexe B Equation des poutres d’Euler Bernoulli
Annexe C Modèle différences finies de l’équation de Reynolds
Annexe D Processus d’Arnoldi
Annexe E Modèle différences finies couplé
Annexe F Modèle linéarisés par morceaux : calcul des jacobiens
Annexe G Modèle réduit couplé incompressible

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