Rappels sur les processus stochastiques

Les probabilités de passage de la frontière interviennent dans beaucoup de domaines : en statistique non paramétrique ((Durbin(1971), Sen(1981)), en analyse séquentielle (Sen(1981), Siegmund(1985), (1986)), en économétrie (Kra¨mer et al.(1988)), en biologie et épidémiologie (Martin-lo¨f(1998)) et en mathématiques financières (Robert et Shortland(1997), Lin(1998)).

L’objectif de ce travail est d’évaluer la probabilité pour qu’un mouvement brownien traverse une ou deux frontières données. Ce mémoire est composé de deux chapitres. Aprés avoir dans le chapitre 1 rappelé les concepts de base du mouvement brownien, dans le chapitre 2, nous nous intéresserons a` la partie principale de ce mémoire qui portera sur l’étude de la probabilité de passage de la frontière pour le mouvement brownien. Dans ce chapitre, on suppose que W(t)t≥0 est un mouvement brownien standard avec E(W(t)) = 0 et E(W(s), W(t)) = min(t, s). Nous considérons aussi l’intervalle [0, T] et nous notons (ti) n i=1, t0 = 0 < t1 < … < tn = T la partition de l’intervalle [0, T] de taille n ≥ 1. Nous sommes intéressés par les deux probabilités suivantes :

P1 = Q(b(t), T) = P{W(t) ≥ b(t);t ∈ [0, T]}

avec b une fonction continue sur [0, T] et vérifiant b(0) > 0.

P2 = Q(a(t), b(t), T ) = 1 − P{a(t) < W(t) < b(t);t ∈ [0, T]}

avec a et b des fonctions continues sur [0, T] et vérifient a(t) < b(t) ∀t ∈ [0, T] ; a(0) < 0 < b(0). Alors la probabilité de passage pour le mouvement brownien dans le cas d’une seule frontière est donnée par P1 et celle de deux frontières par P2. Nous calculerons d’abord ces probabilités de passage pour des frontières linéaires par morceaux et a` partir de ces résultats nous proposerons des méthodes afin d’approximer ces probabilités dans le cas des frontières quelconques. Nous étudierons ensuite les erreurs d’approximations. Enfin nous procéderont a` des études numériques de ces probabilités de passage a` partir des méthodes de Monté Carlo et du logiciel R .

Rappels sur les processus stochastiques 

Filtration

On va s’intéresser a` des phénomènes dépendant du temps. ce qui est connu a` la date t est rassemblée dans une tribu F, c’est l’information a` la date t.

Définition 1.1. Une filtration est une famille croissante de sous tribus de F. c ’est a` dire que Ft ⊂ Fs pour tout t tel que t≤s ; t, s ∈ [0, +∞).

On suppose souvent que les ensembles négligeables soient contenus dans F0. La filtration est continue a` droite au sens ou` Ft = ∩s>tFs. Une filtration G est dite plus grosse que F si Ft ⊂ Gt ∀t.

Processus

Définition 1.2. Un processus stochastique ou (fonction aléatoire) est une famille de variables aléatoires (Xt , t ∈ [0, +∞[) définis sur le même espace probabilisé.

Définition 1.3. Un processus stochastique X = (Xt , t ≥ 0) est dit adapté par rapport a` une filtration Ft si Xt est Ft mesurable pour tout t.

Définition 1.4. On dit que le processus est a` trajectoire continue ( ou est continue ) si les applications t −→ Xt(w) sont continues avec w fixé. Un processus est dit ca`dla`g (continue a` droite, pourvu de limites a` gauche) si ses trajectoires sont continues a` droite, pourvu de limites a` gauche. Même définition pour ca`gla`d. A tout processus stochastiques X = (Xt , t ≥ 0), on associe sa filtration naturelle F X t = σ{Xs, s ≤ t}. On utilise souvent des processus prévisibles . La définition est la suivante : Soit (Ω, F, P) un espace muni d’une filtration (Ft). On appelle tribu des prévisibles la tribu sur [0, ∞[ × Ω engendrés par les rectangles de la forme ]s, t] × A, 0 ≤ s ≤ t, A ∈ (Fs). Un processus est prévisible si et seulement si l’application (t, w) −→ Xt(w) est mesurable par rapport a` la tribu des prévisibles. Notons que les processus ca`g sont prévisibles. On dit que deux processsus X et Y sont égaux a` une modification près si Xt = Yt ps ∀t. Deux processus sont égaux en loi X = Y (en loi) si pour tous (t1, t2, …, tn) et pour tout n on a (Xt1 , Xt2 , …, Xtn) = (Yt1 , Yt2 , …, Ytn)

Rappels sur les temps d’arrêt

Définition

Dans ce qui suit (Ft) est une filtration et F∞ = σ(∪tFt).

Définition 1.10. Un temps d’arrêt est une variable aléatoire τ a` valeurs dans R ∪ {+∞} tel que {T ≤ t} ∈ Ft ∀ t ∈ R. Une constante positive est un temps d’arrêt. On associe a` un temps d’arrêt τ la tribu (Fτ ) dite des évènements antérieures a τ ` définis par

Fτ = {A ∈ F∞/A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft , ∀t ∈ R}.

Propriétés

Propriété 1.4. – Si T est un temps d’arrêt, T est FT mesurable.
– Si S et T sont des temps d’arrêt, inf(T, S) est un temps d’arrêt.
– Si S et T sont des temps d’arrêt tel que S ≤ T, on a alors FS ⊂ FT .

Soit (Xt , t ≥ 0) un processus et T un temps d’arrêt fini. On définit XT (w) = XT(w) (w) . Si un processus X est continue et adapté, alors XT est FT mesurable.

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Table des matières

Introduction
1 Le mouvement brownien
1.1 Rappels sur les processus stochastiques
1.1.1 Filtration
1.1.2 Processus
1.1.3 Processus croissant
1.1.4 Processus gaussien
1.2 Rappels sur les martingales
1.2.1 Cas discret
1.2.2 Cas continu
1.3 Rappels sur les temps d’arrêt
1.3.1 Définition
1.3.2 Propriétés
1.3.3 Théorème d’arrêt
1.3.4 Processus de Markov
1.4 Rappels sur les variables aléatoires gaussiennes
1.5 Le mouvement brownien
1.5.1 Historique
1.5.2 Définitions et premières propriétés
1.5.3 Généralisation
1.5.4 Construction du mouvement brownien
1.5.5 Propriétés
1.5.6 Régularité du mouvement brownien
1.5.7 COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE
1.5.8 TEMPS D’ ATTEINTE
1.5.9 Intégrale de Wiener
2 Probabilite de passage de la frontiere pour le mouvement brownien
2.1 Formules explicites de la probabilité de passage
2.1.1 Cas d’une frontière linéaire
2.1.2 Cas d’une frontière linéaire par morceaux
2.1.3 Cas de deux frontières linéaires par moceaux
2.2 Calcul approché de la probabilité de passage dans le cas des frontières quelconques
2.2.1 Cas d’une frontière
2.2.2 Cas de deux frontières
2.3 Erreurs d’approximations
2.3.1 Cas d’ une frontière
2.3.2 Cas de deux frontiéres
2.4 Calculs numériques
2.4.1 Cas d’une frontière linéaire
Conclusion
Annexe
Bibliographie

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