Propagation des incertitudes portées par la géométrie

Pour développer un modèle, la première étape consiste tout d’abord à traduire les phénomènes physiques qui s’opèrent au sein du dispositif étudié en langage mathématique par des équations. Ces équations relient des grandeurs d’entrée ou paramètres à des grandeurs de sortie d’intérêt pour l’utilisateur. L’obtention de ces équations se fait en général au prix d’un certain nombre de simplifications (provenant d’hypothèses faites sur le dispositif). Il apparaît à ce stade des erreurs dites de modélisation. Par ailleurs, la résolution de ces équations est souvent impossible analytiquement et nécessite la mise œuvre de méthodes numériques. Ces méthodes conduisent à une solution approchée de la solution exacte du problème mathématique. Il apparaît alors des erreurs dites de discrétisation.

Les progrès réalisés dans le domaine de l’analyse numérique, dans les capacités de stockage et de vitesse d’exécution des calculateurs ont permis de traiter des équations mathématiques plus complexes, avec des bases d’approximation plus riches, ce qui a conduit à une réduction simultanée des erreurs de modélisation et de discrétisation.

A côté de cela, le modèle numérique nécessite d’être alimenté par des paramètres d’entrée comme les dimensions géométriques, les caractéristiques physiques des matériaux et les sollicitations. Les grandeurs d’intérêt dépendent bien entendu de ces paramètres d’entrée. Une méconnaissance, même partielle, de ces derniers peut conduire à une erreur sur les grandeurs de sortie. Cette erreur était souvent négligeable devant les erreurs de modélisation et de discrétisation.

Maintenant, pour certains problèmes, cela ne semble plus évident et on ne peut pas affirmer que les écarts entre la simulation et l’expérience sont induits par des erreurs de modélisation et de discrétisation. Il est fort possible qu’une partie non négligeable de ces écarts soit due aux erreurs sur les paramètres qui se propagent au travers du modèle. Il est donc nécessaire de se doter d’outils qui permettent de prendre en compte cette méconnaissance des données d’entrée en les considérant comme incertaines.

Notions sur la théorie des probabilités 

Dans le cadre de ce mémoire, l’approche probabiliste est choisie pour modéliser les incertitudes. Dans cette approche, les paramètres incertains vont être modélisés par des variables ou des champs aléatoires. Dans cette partie, on introduit d’abord quelques notations sur la théorie des probabilités. Ensuite, on présentera le chaos polynomial qui est souvent utilisé pour approcher une variable aléatoire dont la variance existe.

Notion sur les probabilités 

On rappelle ici quelques notions de base ainsi que des notations de la théorie des probabilités qui seront utilisées dans le reste de ce mémoire. Dans l’observation d’un phénomène aléatoire, on introduit Θ l’ensemble des résultats possibles dont θ est un événement élémentaire. On munit Θ d’une tribu F (voir annexe 1 pour plus de détails) dont les éléments sont appelés événements. L’espace (Θ, F) est muni d’une mesure probabiliste PΘ de F dans [0 ; 1]. On appelle (Θ, F, PΘ) l’espace probabilisé.

Discussion sur le problème des incertitudes portées par la géométrie 

Dans le cas de la méthode des éléments finis utilisée dans le cas déterministe [10], un maillage conforme est utilisé. Rappelons qu’un maillage est conforme si les interfaces entre les sousdomaines et la frontière du domaine sont entièrement représentées par des facettes (arêtes dans le cas 2D) des éléments du maillage. Cela permet de faciliter l’imposition des conditions aux limites au niveau de la frontière et d’assurer la discontinuité de certains champs au niveau des interfaces des matériaux (la composante normale de H et la composante tangentielle de B par exemple, voir exemple ci-dessous). Un maillage non conforme au niveau de la frontière prend difficilement en compte les conditions aux limites. Un maillage non conforme au niveau des interfaces des matériaux avec une discrétisation classique  ne peut pas assurer certaines discontinuités ce qui dégrade les résultats numériques [9].

Propagation des incertitudes portées par la géométrie

Méthode du domaine fictif 

Dans [17] une méthode a été proposée pour traiter un problème avec une frontière aléatoire. L’idée principale de cette méthode consiste à introduire un domaine fictif Dˆ déterministe qui contient toutes les réalisations du domaine réel aléatoire D(ξ). Le problème initial se ramène alors à un nouveau problème défini dans ce domaine fictif Dˆ . Dans certains cas, on peut considérer la solution d’un système d’équations aux dérivées partielles comme le point stationnaire d’un problème d’optimisation. Le nouveau problème défini dans le domaine fictif peut alors être considéré comme un problème d’optimisation avec contraintes pour imposer les conditions aux limites sur la frontière aléatoire du domaine D(ξ). Les multiplicateurs de Lagrange peuvent être utilisés pour imposer ces contraintes.

Dans la suite, on va présenter cette approche dans le cas non intrusif  où on ramène la résolution du problème stochastique à la résolution de plusieurs problèmes déterministes. Un maillage unique du domaine fictif déterministe sera utilisé pour les différentes réalisations du domaine réel. Dans [17], la méthode a été appliquée dans le cas d’un problème de mécanique.

Conclusion

On a présenté dans ce chapitre les méthodes dites « probabilistes » qui permettent de prendre en compte les incertitudes dans un problème magnétostatique. Des méthodes intrusives et non intrusives sont proposées dans la littérature pour traiter le problème aux incertitudes portées par la loi de comportement. L’approche spectrale basée sur le développement en chaos polynomial est souvent utilisée. Lorsque les incertitudes sont portées par la géométrie, ces méthodes intrusives et non intrusives ne peuvent pas être directement appliquées. Une méthode basée sur l’introduction d’un domaine fictif utilisée dans le cas de frontière aléatoire et une méthode baptisée « méthode des éléments finis étendus » dans le cas des interfaces aléatoires ont été proposées. Une autre méthode mettant en œuvre une transformation aléatoire proposée initialement pour résoudre un problème aux frontières aléatoires peut être étendue sans difficulté dans le cas des interfaces aléatoires. Avec cette dernière méthode, on peut ramener le problème aux incertitudes portées par la géométrie à un problème aux incertitudes portées par la loi de comportement. Il est alors possible de mettre en œuvre les méthodes de résolution largement développées dans la littérature.

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
1.1. Notions sur la théorie des probabilités
1.1.1 Notion sur les probabilités
1.1.2 Chaos polynomial
1.1.2.1. Base hilbertienne de Hd
1.1.2.2. Polynômes de Hermite
1.1.2.3. Chaos polynômial
1.1.2.4. Exemple d’application
1.2. Problème à résoudre
1.2.1 Problème de magnétostatique déterministe
1.2.1.1. Les équations de Maxwell
1.2.1.2. Définition des espaces fonctionnels
1.2.1.3. Formulations faibles en potentiels
1.2.1.4. Discrétisation
1.2.2 Problème en magnétostatique stochastique – incertitudes portées par la loi de comportement
1.2.2.1. Incertitudes portées par la loi de comportement
1.2.2.2 Discrétisation spatiale
1.3. Propagation des incertitudes portées par la loi de comportement
1.3.1 Méthodes non intrusives
1.3.1.1. Méthode de Monte Carlo
1.3.1.2. Méthode de régression
1.3.1.3. Méthode de projection
1.3.2 Méthodes intrusives
1.3.2.1. Méthode SSFEM (Spectral Stochastic Finite Elements Method)
1.3.2.2. Méthode basée sur un développement de Taylor
1.3.2.3. Méthode basée sur une décomposition de Neumann
1.4. Etat de l’art sur le problème des incertitudes portées par la géométrie
1.4.1 Définition du problème
1.4.1.1. Problème aux frontières aléatoires
1.4.1.2. Problème aux interfaces aléatoires
1.4.1.3. Discussion sur le problème des incertitudes portées par la géométrie
1.4.2 Propagation des incertitudes portées par la géométrie
1.4.2.1. Méthode du domaine fictif
1.4.2.2. Méthode des éléments finis étendus
1.4.2.3. Méthode de transformation
1.5. Conclusion
CHAPITRE 2 : METHODE DE TRANSFORMATION
2.1. Détermination de la transformation
2.1.1. Illustration de la méthode de transformation
2.1.2. Transformations numériques
2.1.2.1. Méthode géométrique
2.1.2.2. Méthode du Laplacien
2.1.2.3. Exemple en magnétostatique
2.1.3. Transformation discrète
2.1.3.1. Transformation discrète – déformation de maillage
2.1.3.2. Exemple de magnétostatique
2.1.4. Synthèse.
2.2. Discussion sur le choix de la transformation
2.2.1. Transformation continue ou transformation discrète
2.2.2 Estimation d’erreur a priori
2.2.2.1. Etudes théoriques
2.2.2.2. Exemple d’application
2.3. Etude des grandeurs locales
2.3.1. Discussion sur la discontinuité stochastique
2.3.2. Exemple analytique
2.3.3. Exemple numérique
2.4. Conclusion
CHAPITRE 3 : APPLICATION
3.1. Présentation du stator
3.2. Mesures du rayon des dents
3.2.1. Description des mesures effectuées
3.2.2. Calcul du couple à vide
3.2.2.1 Description de la transformation
3.2.2.2. Résultats obtenus
3.3. Modèle probabiliste
3.3.1. Propriété d’un modèle réduit
3.4. Propagation et validité du modèle
3.5. Influence de la largeur des dents
3.5.1. Méthode de transformation dans le cas non linéaire
3.5.2. Résultats obtenus
3.6. Conclusion
CONCLUSION

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