Propagation des incertitudes dans le modèle d’infiltration 

Écoulements de surface

Les équations de Saint-Venant , aussi appelées “Shallow Water” en anglais, modélisent les écoulements de fluides à surface libre en milieux peu profonds. Ces équations sont fréquemment utilisées dans la simulation de nombreux phénomènes (inondation, pollution environnementale, avalanche, . . . ). Ces équations ont été publiées pour la première fois en 1871 par Adhémar Jean-Claude Barré de Saint-Venant, ingénieur des Ponts et Chaussées, dans un Compte Rendu de l’Académie des sciences sur les équations de Navier–Stokes. Le système de Saint-Venant est obtenu à partir des équations tridimensionnelles de Navier–Stokes incompressibles par prise de moyenne sur la verticale, dans le cadre de certaines hypothèses et approximations, notamment sur le profil vertical de vitesse et la pression hydrostatique (Hervouet, Viollet et al. ). Ces équations de Saint-Venant peuvent elles-mêmes être simplifiées ultérieurement dans de nombreuses formes (Moussa et Bocquillon) dont la plus simple est le modèle de l’onde cinématique (Singh), deux autres étant le modèle de l’onde diffusive et celui de l’onde dynamique (Chow).

Infiltration

Nous nous intéressons à la vitesse à laquelle l’eau s’infiltre dans le sol, c’est-à-dire à la vitesse d’infiltration, pour évaluer le terme source S du modèle d’écoulement . Cette vitesse n’est pas constante en temps mais dépend de la capacité d’infiltration (ou infiltrabilité) du sol. Lors d’un apport d’eau (par pluie ou apport d’eau par l’amont), si l’intensité de pluie ou le débit fourni est inférieur à la capacité d’infiltration, on suppose que toute l’eau est absorbée dans le sol. Au début du processus d’infiltration, l’infiltrabilité décroît assez rapidement pour tendre progressivement vers une valeur limite, le potentiel d’infiltration à saturation. À partir du moment où cette infiltrabilité devient inférieure au débit d’eau fourni, le sol n’absorbe que la quantité qu’il lui est possible d’absorber et l’excédent stagne à la surface du sol, formant ainsi des flaques, ou s’écoule vers l’aval (en fonction de la topographie du domaine). Le problème est donc de définir l’infiltrabilité d’un sol. De nombreuses études menées à ce sujet présentent différents modèles pour estimer l’évolution de l’infiltrabilité à la surface du sol lors d’un épisode pluvieux. On distingue deux familles de modèles : les modèles empiriques (Kustiakov , Horton , Holton ) et les modèles physiques (entre autres Richards , Green–Ampt , Philip ). Le modèle de Richards, qui est basé sur une généralisation de la loi de Darcy en régime non saturé en eau, permet de décrire une grande variété d’écoulements en milieu poreux, la phase gazeuse restant à pression atmosphérique. Bien que permettant une description assez complète, il présente l’inconvénient de nécessiter un nombre important de données d’entrée et sa résolution numérique demande certains efforts. Pour ne citer que quelques études, le modèle de Richards est utilisé dans le modèle hydrologique SHE (pour Système Hydrologique Européen, Beven ), Smith et Woolhiser , Weill, . . . . Un autre modèle basé sur la loi de Darcy est le modèle de Green–Ampt . Couramment utilisé (LISEM De Roo et Jetten , PSEM_2D Esteves et al. , WEPP Laflen et al. ), il présente un compromis intéressant entre simplicité et capacité à reproduire la réalité physique. Il schématise le processus d’infiltration par un front moyen se dé-plaçant verticalement vers le bas et suppose que le sol est saturé au passage de ce front.
L’une des principales hypothèses est que la teneur en eau dans la zone de transmission reste uniforme en temps et en espace et correspond à la porosité du sol .

Érosion

L’érosion représente l’ensemble des processus qui modifient les paysages par dégradation des sols. Cette dégradation peut être causée par différents agents : l’eau (érosion hydrique), le vent (érosion éolienne), le travail du sol (érosion aratoire). Les problèmes liés à l’érosion hydrique représentent un enjeu majeur dans le monde entier et il existe un réel besoin de mieux comprendre et prédire les différents processus qu’elle fait intervenir. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’érosion hydrique des sols engendrée par la pluie et le ruissellement. Le processus d’érosion se décompose alors en trois étapes distinctes :
Le détachement : il peut être dû soit à l’impact des gouttes de pluie (effet splash), soit au ruissellement, soit à une combinaison des deux. L’énergie requise pour le détachement des particules est généralement plus importante que pour le transport.
Le transport : il représente le déplacement des sédiments vers l’aval. Lors du détachement par la pluie ce déplacement a lieu dans l’air, alors que lors du détachement par le ruissellement il s’effectue dans l’eau.
Le dépôt : les sédiments transportés par le ruissellement peuvent se déposer. Ce dépôt est fonction de la vitesse d’écoulement et de la granulométrie des particules transportées, les plus fines se déposant plus loin du fait d’une sédimentation plus lente.
Les modèles d’érosion peuvent ne représenter qu’une ou plusieurs de ces trois étapes et peuvent être classés selon les trois types de modèles vus précédemment : empiriques, conceptuels, et “à base physique”. Depuis quelques années, avec l’amélioration constante des techniques de calcul et la puissance des ordinateurs, l’intérêt porté aux modèles d’érosion et de transport de sédiments a fortement augmenté. De nombreux modèles ont été développés, de complexités différentes par le choix des processus considérés, mais aussi par la description choisie pour les représenter. Merritt et al. réalisent un inventaire décrivant une large gamme de ces modèles d’érosion et de transport de sédiments. Pour n’en citer que quelques-uns : USLE utilise un modèle empirique (Wischmeier et Smith), STREAM (Cerdan et al.) et KINEROS (Woolhiser et al. ) utilisent tous deux des modèles conceptuels, alors que EUROSEM (Morgan et al.), GUEST (Griffith University Erosion System Template, Rose et al.), LISEM (De Roo et Jetten) et WEPP (Laflen et al.) utilisent des modèles “à base physique”.

Analyse des incertitudes a posteriori

La méthode statistique la plus traditionnelle en hydrologie est “the first-order approximation” et permet d’approcher les intervalles de confiance des paramètres incertains (Kuczera et Parent). Elle présente cependant un inconvénient : elle ne tient pas compte de la corrélation existant entre les paramètres (Kuczera et Parent, Vrugt et Bouten). Les intervalles de confiance des paramètres peuvent aussi être calculés par la méthode de génération de “contour plot”, comme l’échantillonnage par grille uniforme, par exemple à l’aide du Sequential Uncertainty Fitting algorithm (SUFI) (Abbaspour et al., Vrugt et al.). Ces méthodes, bien que robustes, peuvent requérir d’importantes ressources de calcul pour de grandes dimensions d’espace des paramètres. La méthode de Monte Carlo (Lewis et Orav) est très souvent utilisée en analyse d’incertitudes, et notamment dans les sciences environnementales. Elle présente l’avantage d’être simple et robuste et peut être intégrée dans différents cadres probabilistes. Par exemple, une approche relativement simple est la procédure GLUE (Generalized Likelihood Uncertainty Estimation, Beven et Binley) qui est une méthode de Monte Carlo générant des jeux de paramètres de taille importante pour comparer les réponses prédites par les modèles aux réponses observées. Il s’agit ensuite d’accepter ou non les simulations au travers de quelques mesures de probabilité. La procédure GLUE est appliquée dans de nombreuses études hydrologiques (Brazier et al., Muleta et Nicklow , Vigiak et al. , Freni et al.). S’agissant d’une approche Bayésienne, cette mesure de probabilité peut être mise à jour pour chaque nouveau jeu de données de réponses observées. Dans les statistiques Bayésiennes, les paramètres d’entrée sont considérés comme des variables probabilistes ayant une fonction de densité de probabilité (pdf) jointe a posteriori (Huard et Mailhot , Kuczera et Parent , Laloy et Bielders , Thiemann et al.). Il existe différentes méthodes pour échantillonner ces pdf’s a posteriori. L’échantillonnage par Monte Carlo Markov Chain (MCMC) est souvent utilisé dans les applications hydrologiques, la toute première méthode générale (et la plus populaire) étant l’algorithme MetropolisHastings (Kanso et al., Laloy et Bielders , Schmelter ). En hydrologie, plusieurs études récentes ont voulu améliorer l’échantillonneur MCMC : l’algorithme SCEM (Shuffled Complex Evolution Metropolis, Vrugt et al.), qui est une version modifiée de l’algorithme d’optimisation globale SCE (Shuffled Complex Evolution, Duan et al.), ou l’algorithme DREAM (Differential Evolution Adaptive Metropolis algorithm, Vrugt et al.).
Pour citer une autre méthode moins utilisée en contexte hydrologique, Castrignaño et al.appliquent une méthode “turning bands”, qui est une technique de simulation gaussienne visant à faire une analyse d’incertitudes spatiale où chaque variable est transformée en une distribution normale. Ces auteurs utilisent des simulations conditionnelles pour générer des réalisations tenant compte des structures de corrélation des données par krigeage. Afin de faciliter l’inférence dans les situations complexes où la dimension des échantillons de sortie est restreinte, il est possible d’utiliser la méthode de bootstrapping.
C’est une technique récente de ré-échantillonnage donnant des indications sur un estimateur ou des statistiques autres que ses valeurs (variance, écart type) (Efron), pour connaître la précision des simulations. Elle présente l’avantage de ne pas nécessiter de nouvelles observations pour simuler la distribution des paramètres. Cette technique, encore peu utilisée en hydrologie, est utilisée dans les études de Kuhnert et al., où ces auteurs proposent une méthodologie pour traiter des erreurs dans la modélisation de l’érosion ravinaire, et par Li et al., qui comparent la méthode du bootstrapping avec l’approche Bayésienne plus communément utilisée. Cette dernière étude établit que, pour les deux méthodes, les incertitudes paramétriques contribuent peu aux incertitudes de simulation, ceci montrant qu’il existe d’autres sources d’incertitudes plus importantes en modélisation hydrologique. En effet, il est aussi reconnu que la structure du modèle et la qualité des données contribuent aux incertitudes des simulations du modèle.

Méthodes directes pour l’analyse d’incertitudes

Dans ces méthodes, on considère les paramètres inconnus comme des variables aléatoires définies par une pdf fixée a priori (Veihe et Quinton pour le modèle EUROSEM, Hantush et Kalin pour KINEROS2, Eckhard et al.). Cette approche ne requiert aucune donnée observée mais le choix d’une loi de distribution pour caractériser les paramètres considérés comme incertains. Une fois établi le cadre probabiliste, il reste à caractériser la variabilité des sorties du modèle en fonction de la variabilité des entrées. Pour ce faire, les méthodes de Monte Carlo sont souvent employées puisqu’elles fournissent une méthodologie efficace et robuste pour générer des jeux de solutions du modèle en échantillonnant les paramètres d’entrée. Les simulations de Monte Carlo sont aussi utilisées pour tracer la propagation des erreurs, comme dans Tetzlaff et Wendland. Ces auteurs utilisent la Propagation d’Erreur Gaussienne pour identifier les paramètres critiques, pointer la paramétrisation qui génère la plus forte incertitude en raison des dépendances paramétriques et des incertitudes statistiques inhérentes, et ainsi trouver des possibilités pour améliorer la modélisation. Une autre méthodologie récente est basée sur les méthodes stochastiques spectrales (Ghanem et Spanos , Le Maître et Knio). Elle permet d’obtenir une description probabiliste plus complète mais devient coûteuse quand les entrées sont décrites par un nombre important de variables aléatoires. Dans cette thèse, nous considérons certains paramètres d’entrée comme des variables aléatoires décrites par une pdf fixée a priori. Nous avons alors besoin d’autant de variables aléatoires que de paramètres supposés incertains. Ces variables aléatoires sont supposées statistiquement indépendantes. Leurs pdf’s peuvent suivre des lois de probabilité différentes. Ces lois sont choisies en fonction de la nature des paramètres et des intervalles de valeurs qu’ils peuvent prendre. Par exemple, nous attribuons des lois uniformes aux variables définies sur des intervalles de valeurs étroits en termes d’ordre de grandeur. Pour l’échantillonnage des variables aléatoires, nous utilisons la méthode de Monte Carlo, nos configurations de cas tests ne demandant pas des temps de calcul trop importants pour la résolution du modèle déterministe.

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Table des matières

1 Introduction 
1.1 Problématiques et objectifs 
1.2 Les modèles 
1.2.1 Écoulements de surface
1.2.2 Infiltration
1.2.3 Érosion
1.3 Modélisation et propagation des incertitudes
1.3.1 Analyse des incertitudes a posteriori
1.3.2 Méthodes directes pour l’analyse d’incertitudes
1.4 Description des travaux et contributions 
2 Modélisation déterministe et résolution numérique 
2.1 Modélisation physique 
2.1.1 Écoulements surfaciques (Saint–Venant)
2.1.2 Infiltration (Green–Ampt)
2.1.3 Érosion (Hairsine–Rose)
2.2 Résolution numérique
2.2.1 Écoulements surfaciques et infiltration
2.2.2 Écoulements surfaciques, infiltration et érosion
2.3 Illustration des processus 
2.3.1 Infiltration
2.3.2 Érosion
3 Méthodes probabilistes et outils statistiques 
3.1 Quelques éléments et définitions de la théorie des probabilités
3.1.1 Cadre probabiliste
3.1.2 Variables aléatoires réelles
3.1.3 Vecteurs aléatoires réels
3.2 Quantification des incertitudes sur les sorties du modèle 
3.2.1 Cadre mathématique
3.2.2 Caractérisation de la variabilité
3.2.3 Analyse de la variance (ANOVA) et indices de sensibilité
3.3 Méthodes numériques 
3.3.1 Propagation des incertitudes par Monte Carlo
3.3.2 Méthode des Polynômes de Chaos
4 Propagation des incertitudes dans le modèle d’infiltration 
4.1 Motivations et modèle stochastique
4.1.1 Motivations du choix du paramètre incertain
4.1.2 Modèle stochastique
4.2 Cas test : “Trois-champs”
4.2.1 Description du cas test
4.2.2 Influence de la durée de l’événement pluvieux
4.2.3 Influence de la distribution spatiale
4.2.4 Analyse de sensibilité globale
4.2.5 Influence de la loi de distribution des Ks
4.2.6 Influence de la longueur du domaine d’étude
4.3 Cas test : “Bandes Enherbées” 
4.3.1 Description du cas test
4.3.2 Influence de la durée de l’événement pluvieux
4.3.3 Estimation des quantiles
4.3.4 Influence de la loi de distribution des Ks
4.3.5 Influence de la perméabilité des bandes enherbées
4.4 Conclusion 
5 Propagation des incertitudes dans le modèle d’érosion de Hairsine–Rose 
5.1 Analyse paramétrique du modèle HR 
5.1.1 Présentation du modèle
5.1.2 Principaux paramètres du modèle
5.1.3 Synthèse
5.2 Propagation des incertitudes 
5.2.1 Modèle stochastique
5.2.2 Choix des valeurs des paramètres
5.2.3 Choix des fonctions de densité de probabilité
5.3 Cas tests unidimensionnels 
5.3.1 Paramètres communs à tous les cas tests
5.3.2 Érosion par la pluie
5.3.3 Érosion par le ruissellement
5.3.4 Érosion par la pluie et par le ruissellement
5.4 Cas test bidimensionnel 
5.5 Discussion 
6 Conclusion générale et perspectives
Bibliographie

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