Soutenance mémoire
DE DIGESTION ANAEROBIE(ADM1)
Processus de conversion dans la digestion anaérobie
Les processus de conversion représentés par le modèle ADM1 peuvent etre de deux types :Les processus biochimiques : processus catalysés par des enzymes intra ou extracellulaires. La désintégration des composites (et de la biomasse décédée) puis l’hydrolyse enzymatique conduisant à des monomères solubles, sont des processus extracellulaires. La digestion de ces composés solubles par la biomasse est intracellulaire et conduit à la croissance et le décès de celle-ci. Les processus physico-chimiques : processus non biologiques tels que la dissociation ionique et les transferts gazliquides. L’expression de ces processus est importante dans le modèle car ils permettent d’intégrer entre autres les inhibitions et les débits de gaz. Ainsi, le modèle ADM1 prend en compte à la fois les processus biochimiques liés aux groupes biologiques différents mais aussi l’évolution physico-chimique des composés en solution. Structure des processus biochimiquesLe modèle ADM1 inclut trois principales étapes intracellulaires (acidogénèse, acétogénèse et méthanogénèse) et les étapesextracellulaires de désintégration et d’hydrolysemontrées sur la figure (1.1).
Les expressions des processus
Les étapes extracellulaires sont identifiées comme des cinétiques du premier ordre. les étapes intracellulaires sont décrites selon trois expressions : croissance, décès et consommation. L’ensemble des processus est alors exprimé sous forme de matrice appelée matrice de Petersen (figure(A.3) et (A.4)). La matrice de Peterson est la structure la plus largement répandue, elle est assez flexible pour élaborer les modèles chimiques et biologiques. Une ligne représente un processus qui est listé dans la colonne à gauche de la matrice, l’indice j est associé à chaque processus qui varie de 1 à 19, par contre une colonne correspond à un composant qui est listé du coté supérieur du tableau par leurs symboles et du coˆté inférieur par leurs nom et unité. Les expressions cinétiques pour chaque processus sont marquées dans la colonne à droite de la matrice notée ρj Les coefficients stochiométriques vij font ressortir le rapport de masse entre le composant dans les processus, le signe c’est la consommation et le signe c’est la production, parfois les paramètres stoechiométriques sont représentés par le taux de conversion de chaque substrat en biomasse Y. Il y’a 19 processus biochimiques dans le modèle ADM1, les quatre premiers processus sont la désintégration et l’hydrolyse, la cinétique adoptée dans cette étape et la cinétique du 1er ordre exprimée ρj
Réduction par troncature equilibrée linéaire
Moore (1981)[10] a introduit la réalisation équilibrée dans le but de l’utiliser commeun outil de réduction de modèle. L’idée est que les valeurs singulières du grammien decommandabilité correspondent à la quantité d’énergie qui doit être mise dans le systèmea fin de déplacer les états correspondants. Pour le grammien d’observabilité, ses valeurs singulières se rapportent à l’énergie qui est générée par les états correspondants. Si un système linéaire est sous forme équilibrée, les valeurs singulières de Hankel fournissent une mesure de l’importance des états, parce que l’état avec les plus grandes valeurs singulières influence le plus le comportement entrée-sortie. Ceci est directement lié à la réduction de modèle, ainsi les états qui contribuent très peu au comportement entrée-sortie peuvent être supprimés.
Réduction par troncature équilibrée non linéaire
La troncature équilibrée des systèmes non linéaires stables a été introduite par Scherpen (1994) [15], l’énergie d’entrée passée et l’énergie de sortie future sont définies comme des fonctions de commandabilité et d’observabilité, et jouent un rôle dominant dans la troncature équilibrée non linéaire. Leurs caractéristiques sont étudiées et imposées afin de transformer le système non linéaire en forme équilibrée. Les fonctions des valeurs singulières de Hankel sont définies et jouent un rôle similaire aux valeurs singulières de Hankel dans le cas linéaire, nous pouvons décider si oui ou non une composante d’état influe sur le système d’une manière forte ou faible. Cette analyse aboutit à un outil de réduction de modèle. Cependant, le calcul de ces fonctions d’énergie est coûteux en calcul et le résultat est rarement une solution explicite. Pour ces raisons, il est très difficile d’appliquer cette méthode à des problèmes à grande échelle. Dans le papier de Lall S, Marsden JE, Glavaski S (1999) [9] une nouvelle méthode deréduction des modèles des systèmes non linéaires est introduite appelée la décomposition de Karhunen-Loève de l’espace d’état. L’idée centrale est d’utiliser les données obtenues pour identifier les dynamiques les plus pertinentes du point de vue entrée-sortie.Hahn J et Edgar TF (2000) [5], présentent une approche pour la réduction de modèle non linéaire, basée sur la réalisation équilibrée des grammiens empiriques de commanda-Chapitre 2. Réduction du modèle ADM1 par la troncature équilibrée linéaire 15bilité et d’observabilité et la projection de Galerkin. La première étape consiste à trouver une réalisation équilibrée des grammiens empiriques d’observabilité et de commandabilité afin de déterminer les états qui ont le plus contribué au comportement entrées- sorties, la seconde étape consiste à effectuer une projection de Galerkin sur les états correspondant aux plus grandes valeurs singulières de la réalisation équilibrée. La projection de Galerkiest basée sur l’idée que la dynamique d’un système peut être remplacée par la dynamique basée sur un sous espace du système original. Cette méthode a l’avantage de nécessiter que de simples calcules matricielles pour la réduction des modèles non linéaires. Dans le papier de Lall S, J Marsden, et S Glavaski (2002)[8] une nouvelle méthode de réduction pour les systèmes de commande non linéaires est présentée. Cette méthodeévite certaines difficultés rencontrées dans le calcul des fonctions énergétiques présentées par Sherpen, cette méthode consiste à construire une réalisation approximativement équilibrée, qui nécessite seulement des calculs matriciels standards. L’approche présentéeici utilise en premier des données de simulation ou expérimentation et identifie les états dusystème qui ne sont pas affectés par les actionneurs, et qui affectent le plus les capteurs.Ensuite il s’agit de construire une réalisation équilibrée empirique pour les systèmes non linéaires, qui coïncide avec la réalisation équilibrée pour les systèmes linéaire. Enfin une projection de Galerkin est appliquée à la réalisation équilibrée pour construire un modèlenon linéaire de faible dimension. Dans l’article de Fujimoto K et D Tsubakino (2006) [4], un algorithme de calcul dela réalisation équilibrée et la troncature basée sur le développement en série de Taylor est proposé, ou` deux ensembles d’équations aux dérivées partielles sont à résoudre. Le premier est un ensemble d’équation Hamilton-Jacobi-Bellman et une équation de Lyapunov pour obtenir les fonctions d’observabilité et de commandabilité. L’autre est une équation algébrique non linéaire par rapport aux fonctions de commandabilité et d’observabilité pour obtenir une transformation de coordonnées qui convertit le système non linéaire en réalisation équilibrée. Krener, A. J. (2008) [7] a présenté une méthode plus intrinsèque de la réduction de modèle non linéaire. Il a introduit la forme normale pour les fonctions de commandabilité et d’observabilité et a montré qu’un système non linéaire peut toujours être ramené à cette forme par des changements locaux. Les paramètres de cette forme normale indiquent l’importance relative des coordonnées de l’espace d’état du système. Ensuite il a proposé une nouvelle interprétation de la troncature équilibrée linéaire qui peut être étendue à un système non linéaire. Bouvrie J, Hamzi B (2011) [6], ont introduit une nouvelle approche de réduction de modèle non linéaire, en s’appuyant sur les progrès récents dans l’apprentissage automa- Chapitre 2. Réduction du modèle ADM1 par la troncature équilibrée linéaire 16tique et la réduction de dimensionnalité statistique. La méthode repose sur l’hypothèse que le système non linéaire se comporte linéairement lorsqu’il est plongé dans un feature space de dimension élevée, ou` la troncature équilibrée peut être effectuée. Cela conduit à une application non linéaire dans un espace de Hilbert à noyaux reproduisants qui permet de générer un système dynamique de faible dimension, pour donner un système dynamique réduit qui garde les caractéristiques entrée-sortie essentielles du modèle original.
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Table des matières
Introduction 1
1 LE MODELE No.1 c
1.1 Introduction
1.2 Processus de conversion dans la digestion anaérobie
1.2.1 Structure des processus biochimiques
1.2.2 Les Processus Physico-Chimiques
1.2.3 Les expressions des processus
1.2.4 Les Inhibitions
1.3 Méthodologie de la mise en équation du modèle ADM1
1.3.1 Variables d’états dynamiques
1.3.2 Mise en équation du modèle ADM1
1.4 Le point d’équilibre du modèle ADM1
1.5 Conclusion
2 Réduction du modèle ADM1 par la troncature équilibrée linéaire
2.1 Introduction
2.2 Etat de l’art sur les Méthodes de Réduction
2.2.1 Réduction par troncature equilibrée linéaire
2.2.2 Réduction par troncature équilibrée non linéaire
2.3 Troncature équilibrée d’un système linéaire
2.4 Réduction du modèle ADM1
2.4.1 La linéarisation du modèle ADM1
2.4.2 Réalisation équilibré du modèle linéaire de ADM1
2.4.3 Troncature équilibrée du modèle ADM1
2.5 Conclusion
3 Méthode de réduction non linéaire
3.1 Introduction
3.2 Troncature équilibrée des systèmes non linéaires
3.2.1 Grammiens Empiriques dans RKHS
3.2.2 Analyse par composantes principales à noyaux (Kernel PCA)
3.2.3 Réduction d’ordre de modèle
3.3 Système dynamique réduit
3.3.1 Représentation de la dynamique dans RKHS
3.3.2 Approximation de la jacobienne JΠ(Π†
3.3.3 Sortie du système réduit
3.3.4 Système Dynamique Réduit
3.4 Réduction du modèle ADM1 par la méthode non linéaire
3.5 Exemples de réduction de systèmes non linéaires
3.5.1 Exemple
1 3.5.2 Exemple
3.5.3 Exemple
3 3.6 Conclusion Conclusion
A Compléments de modélisation
B Outils mathématiques
Bibliographie
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