Problèmes de contrôle optimal du type bilinéaire

L’équation d’état

    Les équations aux dérivées partielles permettent de modéliser mathématiquement des phénomènes observés, entre autres, dans les domaines de la mécanique, de la thermodynamique, de la chimie ou de l’économie. En particulier, les équations d’évolution autorisent la prise en compte des interactions entre les objets étudiés et les contrôles que l’on peut exercer sur les phénomènes au cours du temps. Une part importante de la littérature mathématique relative à la théorie du contrôle est consacrée à des problèmes linéaires : les équations d’états qui gouvernent ces problèmes sont linéaires. Dans le cas d’équations aux dérivées partielles on pourra se reporter par exemple au livre de J.-L. Lions [37]. En ce qui concerne le problème de Bolza avec un coût convexe nous renvoyons à R.-T. Rockafellar [49] dans le cas où les espaces sont de dimensions finies et à V. Barbu et Th. Precupanu [5] ainsi qu’à V. Barbu [4] dans le cadre plus général des espaces de Banach. Les progrès de la recherche dans des champs aussi variés que la mécanique, la physique, la biologie et l’économie ont stimulé l’étude des modèles non linéaires. Nous portons notre attention sur la classe des systèmes de dimension infinie de type parabolique et bilinéaire en suivant la terminologie introduite par C. Bruni, G. Di Pillo et G. Koch dans [13] : la bilinéarité est relative à l’état et au contrôle (voir des exemples chez [19], [10], [1]). Nous étudions également des systèmes sous forme d’inclusion différentielle (voir les travaux de E. S. Pyatnitskii [46] et de N. Papageorgiou [27]).

Contrôle optimal

   Nous nous intéressons ensuite au contrôle optimal de systèmes gouvernés par l’équation d’état non linéaire et de type bilinéaire que nous avons étudié dans le premier chapitre. C’est un problème de Bolza posé dans des espaces de Banach. Nous considérons des coûts convexes qui sont des sommes de termes prenant en compte séparément les coûts relatifs aux états et aux contrôles. Il est à noter que nous n’imposons pas la positivité à ces coûts. Nous démontrons l’existence d’une paire optimale puis des conditions nécessaires d’optimalité pour une telle paire optimale à l’aide des régularisées de Yosida et d’une méthode de pénalisation du coût (cf. [4]).

Analyse de sensibilité

   La bilinéarité des équations d’état est un cas particulier de non linéarité pour lequel nous obtenons des résultats de sensibilité. Nous nous intéressons à une perturbation qui est présente sous la forme d’un terme additif dans l’équation d’état. Afin de focaliser notre attention sur le terme bilinéaire, nous analysons la sensibilité relative à cette perturbation pour des problèmes dont les équations d’état sont de type semi-linéaire. C’est à dire que, l’opérateur B étant encore bilinéaire relativement au contrôle et à l’état, l’opérateur A est supposé, à partir de maintenant, linéaire. De plus, le coût est supposé différentiable, quadratique et strictement convexe. De nombreux modèles s’occupent de contrôles bornés presque partout. Sachant que r est infini, cette hypothèse habituelle sur les contrôles est compatible avec le fait de prendre p égal à deux. Dans les deux modèles étudiés ci dessous, nous sommes dans le cas particulier où l’espace des contrôles est de dimension finie : Y = Rn; autrement dit, les contrôles ne sont pas distribués sur le domaine d’espace. Un premier exemple est développé. C’est un problème de contrôle optimal avec contrainte d’égalité. Nous étudions un modèle de déformation mécanique de la glace utilisant l’opérateur bilaplacien qui est du quatrième ordre. Le terme bilinéaire est de la forme u · ∇z. Cette forme particulière (voir [14]) permet d’obtenir des majorants dans les deux premières estimations a priori qui ne dépendent pas des contrôles. A. Addou et A. Benbrik ont démontré dans [1] que, sous réserve d’imposer à l’état initial d’être suffisamment petit, ce contrôle optimal était unique. En exploitant le système d’optimalité on obtient un résultat nouveau : la majoration a posteriori du contrôle optimal au sens de la norme L2et sa régularité relativement à la perturbation. Ainsi l’on démontre un premier résultat de régularité ; la fonction valeur optimale est localement lipschitzienne. Etablir des estimations a priori sur les solutions éventuelles de l’équation d’état permettra dans ce qui suit d’utiliser des résultats de compacité. Nous nous référerons alors aux résultats d’existences démontrés dans la première partie. Avant d’aborder les estimations a priori proprement dites nous établissons un lemme qui traduit une propriété du terme bilinéaire souvent rencontrée dans les applications (cf. [14]) : hu·∇z,zi=0. Cette propriété se révélera d’importance lors de l’étude du problème de contrôle optimal. En effet, nous démontrerons non seulement l’existence d’un contrôle optimal mais également son unicité

Motivations

   Nous étudions dans ce chapitre des équations aux dérivées partielles (EDP) qui modélisent une large classe de problèmes d’évolutions. La grandeur appelée « état » est distribuée sur une partie de l’espace et évolue durant l’intervalle de temps [0, T]. Pour citer quelques exemples qui seront autant de prétextes à mettre en oeuvre nos résultats on utilisera des modèles de stockage thermique, de déformation de la glace ou de plaques vibrantes. Au lieu de travailler directement sur ces EDP d’évolution, le choix d’un triplet d’évolution de Gelfand adapté aux ordres de dérivation et aux contraintes de bord permet de se ramener à une équation différentielle dont l’inconnue ne dépend plus que du temps. Par contre les solutions éventuelles sont à valeurs dans un espace fonctionnel.

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Table des matières

1 Introduction
2 Equation d’état de type bilinéaire
2.1 Notations et cadre fonctionnel
2.1.1 Motivations
2.1.2 Exemples
2.1.3 Cadre fonctionnel pour les états
2.1.4 Hypothèses
2.1.5 Justification du choix des espaces
2.2 Problème bien posé
2.2.1 Unicité
2.2.2 Existence de solutions approchées
2.2.3 Estimations a priori
2.2.4 Passage à la limite
2.2.5 Démonstration de la régularité de la fonction d’état
2.2.6 Exemples de problèmes bilinéaires bien posés
2.3 Loi de feedback 
2.3.1 Introduction
2.3.2 Notations et cadre fonctionnel
2.3.3 Exemples
2.3.4 Une inégalité de type Gronwall
2.3.5 Estimations a priori dans le cas de rétrocontrôles
2.3.6 Théorème d’existence en présence de rétrocontrôles
3 Contrôle optimal 
3.1 Formulation du problème et hypothèses 
3.2 Existence d’une paire optimale 
3.3 Conditions nécessaires d’optimalité
3.3.1 Hypothèses suplémentaires
3.3.2 Problèmes approchés
3.3.3 Passage à la limite
4 Sensibilité 
4.1 Etude de l’équation d’état 
4.1.1 Résultats préliminaires
4.1.2 Estimations a priori
4.1.3 Existence et unicité de la solution
4.2 Solution optimale 
4.2.1 Différentiabilité du coût et conditions nécessaires d’optimalité
4.2.2 Unicité de la paire optimale
4.3 Etude de la fonction valeur optimale 
4.3.1 Stabilité
4.3.2 Dérivées directionnelles de la valeur optimale
4.4 Contraintes de boîte 
4.4.1 Equation et cadre fonctionnel
4.4.2 Formulation lagrangienne
4.4.3 Polyédricité et conditions d’optimalité
4.4.4 Dérivées directionnelles de la fonction valeur optimale
Annexes

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