Problématique de la modélisation des renforts fibreux tricotés

 Généralités sur les renforts fibreux

Ce paragraphe présente l’intérêt porté aux renforts fibreux qui interviennent dans les matériaux composites industriels, et spécialement les textiles techniques. Une description générale de l’élaboration des composites est ensuite faite et l’exemple du procédé RTM vient illustrer et poser les bases de la problématique. Enfin, les objectifs actuels de la recherche sur les textiles techniques qui nous préoccupent sont développés en deux thèmes : la caractérisation du comportement et la simulation et l’optimisation des procédés de fabrication.

Elaboration des composites à base de renforts fibreux

Essor des textiles techniques dans l’industrie

Depuis des décennies, l’industrie utilise des renforts fibreux de type unidirectionnel (UD) pour l’élaboration des pièces composites. Ces dernières sont souvent obtenues à partir de l’assemblage de plusieurs laminés 2D, eux-mêmes constitués d’un empilement d’UD ([GAY96]). Nous trouvons de telles structures dans les secteurs de l’aérospatial depuis 30 ans et de l’automobile et du génie civil des grands ouvrages depuis près de 20 ans ([MOU99]). Cependant, les coûts de mise en œuvre sont rédhibitoires : d’une part les structures doivent être usinées et assemblées manuellement, d’autre part la perte de matériau est importante. Cela s’explique par l’impossibilité d’obtenir du « premier coup » des pièces 3D comme c’est le cas avec les métaux, les procédés de fonderie, forge et usinage étant bien maîtrisés dans ce cas. Au niveau mécanique, cela veut dire que l’intégrité structurale est plus difficile à garantir. La solution de ce problème est partiellement résolue en recourant à l’utilisation de nouveaux renforts fibreux, plus complexes, appelés « textiles techniques ». Ils permettent l’obtention directe de composites 3D à hautes performances mécaniques car ils peuvent être mis en forme et permettent de renforcer plusieurs directions au lieu d’une seule. De plus, ils peuvent être intégrés à une chaîne de fabrication assurant une production maîtrisée et adaptée aux réalités économiques. Les technologies sont nombreuses, disons que, globalement, le textile est mis en forme et est stabilisé par l’adjonction d’une matrice, ce qui autorise la fabrication de pièces structurales à géométries complexes. Les composites obtenus par ces procédés se retrouvent dans de nombreux secteurs, comme ceux précédemment cités, mais également celui des loisirs.

Echelles d’analyse et description générale d’un composite

La diversité des procédés de fabrication et des matériaux composites est frappante. Elle se décline en une gamme de matériaux de base, mais également de structures pour les renforts. Pour décrire cette profusion, il est pratique de procéder à l’analyse des constituants à diverses échelles. Partons des mèches dont sont fabriqués les renforts.
✧ A l’échelle microscopique, les mèches sont composées de fibres continues droites ou torsadées (entre 100 et 1000 selon le matériau). Une mèche est donc fortement hétérogène et anisotrope, l’anisotropie étant principalement portée par la direction longitudinale. Les matériaux utilisés sont surtout le carbone, l’aramide et le verre ([BIL93]), mais il existe aujourd’hui des variantes alliant ces matériaux de base à des polymères thermoplastiques. Ainsi, les mèches peuvent être sèches ou préimprégnées d’une résine thermodurcissable ou même thermoplastique.
✧ A l’échelle mésoscopique, les mèches sont souvent considérées comme continues et forment un réseau qui est le renfort. Il est donc lui-même hétérogène et anisotrope. Il peut se présenter sous la forme de structures 3D2 ou bien de surfaces 2D destinées à être mise en forme. Dans les deux cas, il peut s’agir de tissus, de tricots ou de tresses, voir d’arrangements spécifiques entre ces trois types (des exemples de textiles techniques hybrides sont donnés dans [KAM00] et [LEO00]). C’est à cette échelle que le textile technique peut être défini à partir d’une cellule élémentaire représentative (CER). Il s’agit du réseau minimal de mèches qui forme le motif géométrique élémentaire qui permet de décrire le textile complet par périodisation spatiale ([LOM00]).
✧ Enfin, à l’échelle macroscopique, le composite est constitué de renforts préimprégnés dont la résine à été polymérisée, ou de renforts secs sur lesquels une résine thermodurcissable, ou thermoplastique, a été injectée. A cette échelle, le renfort et le composite résultant semblent continus, mais restent tout de même anisotropes.

Elaboration des composites minces

La fabrication des composites minces 3D nécessite soit des renforts préimprégnés drapés dont la résine est polymérisée ([BLA95]), soit des renforts secs mis en forme sur lesquels est déposée une résine. C’est ce dernier cas qui nous intéresse. Le procédé se déroule alors en deux phases :
✧ La mise en forme d’un flanc de type textile technique.
✧ L’injection d’un polymère, en général thermodurcissable, sur le flanc et son refroidissement dans le moule.

Dans l’industrie, le procédé RTM est un exemple représentatif parmi les nombreux procédés de moulage pour les composites ([BER-T]). Il a une cinquantaine d’années et est très populaire dans l’aérospatial ([POT99]). Dans notre étude, le champ d’action ne concerne que la première phase. En effet, la deuxième phase est un problème de thermomécanique des fluides concernant l’étude des écoulements et de la perméabilité ([BIC00], [BIC00b]). Cependant, la bonne réalisation des pièces est conditionnée par la prise en compte du couplage entre les deux phases. En effet, la perméabilité de la préforme obtenue à la fin de la première phase dépend des déformations provenant de la mise en forme. Ainsi, lors de la deuxième phase, l’écoulement de la résine est fortement influencé par la géométrie de la préforme. Il est important de noter que, jusqu’à présent, c’est majoritairement avec des renforts tissés que le RTM a été étudié. Pour de tels renforts, le mode de déformation prépondérant est le cisaillement de la CER, appelé aussi « effet treillis », qui caractérise les structures tissées ([ROZ00], [WAN99]). Dans la phase de formage, c’est donc l’angle entre la chaîne et la trame qui varie localement. Or, Indermaur et al. [IND99] et Heardman et al. ([HEA01]) montrent que la perméabilité est fonction de cet angle. C’est donc que le bon remplissage du moule, garantissant l’absence de poches d’air dans le composite fini, dépend de la première phase. Un exemple d’étude complète prenant en compte ce couplage faite par Bickerton et al. peut être trouvé dans [BIC97].

Objectifs de la recherche sur les renforts fibreux

Caractérisation des lois de comportement

Dès que l’on travaille avec des renforts fibreux, la première difficulté à surmonter est la caractérisation mécanique du comportement. En effet, les textiles techniques sont des structures et non des matériaux, cela étant d’autant plus vrai pour les tricots nonpolymérisés. En conséquence :
✧ L’hétérogénéité, due à l’absence de polymérisation, fait que les essais classiques, relatifs aux milieux continus, sont difficiles à adapter. La préparation des éprouvettes est longue et fastidieuse ([BUE98]) et l’obtention de champs homogènes de déformation est problématique ([WAN98]
✧ L’anisotropie fait que les mesures sont difficiles à réaliser dans les directions de faible rigidité en raison des déformations importantes et des efforts très faibles à mesurer. Cela explique que de nouveaux essais aient été imaginés pour tester les modes de déformations spécifiques au textile étudié, et ce à plusieurs échelles ([BAS99], [STU99], [KAW89]). En effet, le comportement d’un textile technique est le résultat de la conjonction entre le comportement des mèches et un effet de structure, provenant de la déformabilité de la CER. Afin de limiter le nombre d’essais, des modèles de différentes sortes ont été construits . Ces derniers sont définis à deux échelles :
✧ L’échelle mésoscopique pour la caractérisation des mèches à l’échelle microscopique (essais de traction uniaxiale ou biaxiale, essai de cisaillement).
✧ L’échelle macroscopique pour la caractérisation de la CER à l’échelle mésoscopique (essais de formage couplés à une approche inverse). Cette approche est hiérarchique : un modèle microscopique de comportement fibreux doit modéliser les mèches de la CER d’un autre modèle mésoscopique qui doit permettre d’accéder au comportement macroscopique d’ensemble de la structure fibreuse. Néanmoins, aux deux échelles, les difficultés résident plus dans l’identification des modèles mécaniques que dans leur mise au point.

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Table des matières

Introduction
0.1 Cadre général
0.2 Plan du manuscrit
1 Chapitre 1 : Problématique de la modélisation des renforts fibreux tricotés
1.1 Généralités sur les renforts fibreux
1.1.1 Elaboration des composites à base de renforts fibreux
1.1.1.1 Essor des textiles techniques dans l’industrie
1.1.1.2 Echelles d’analyse et description générale d’un composite
1.1.1.3 Elaboration des composites minces
1.1.2 Objectifs de la recherche sur les renforts fibreux
1.1.2.1 Caractérisation des lois de comportement
1.1.2.2 Simulation et optimisation des procédés de mise en forme
1.2 Intérêt de l’étude des renforts fibreux tricotés
1.2.1 Cadre de l’étude
1.2.1.1 Extension des modèles éléments finis de tissu
1.2.1.2 Classification des renforts tricotés
1.2.1.3 Comportement des renforts tricotés
1.2.2 Potentiel pour les applications structurales
1.2.2.1 Intégration dans les procédés de mise en forme
1.2.2.2 Tenacité
1.2.2.3 Exemples de pièces structurales
1.3 Etat de l’art de la modélisation des textiles techniques et des renforts tricotés
1.3.1 Modèles pour la caractérisation
1.3.1.1 Modèles microscopiques
1.3.1.2 Modèles mésoscopiques
1.3.1.3 Modèles de plaques composites renforcés par des textiles techniques
1.3.2 Modèles pour la mise en forme
1.3.2.1 Généralités
1.3.2.2 Modèles analytiques
1.3.2.3 Modèles géométriques
1.3.2.4 Modèles éléments finis
1.3.2.5 Modèles particulaires
1.4 Caractérisation d’un renfort tricoté sec d’aramide structural
1.4.1 Présentation du tricot industriel étudié
1.4.1.1 Mésographies
1.4.1.2 Géométrie de la CER
1.4.1.3 Essai expérimental disponible
1.4.2 Modèle éléments finis pour la caractérisation
1.4.2.1 Objectifs
1.4.2.2 Modèle de mèche à l’échelle de la CER
1.4.2.3 Modes de déformations d’une mèche fibreuse
2 Chapitre 2 : Modélisation géométrique et mécanique d’une maille tricotée
2.1 Modèle géométrique
2.1.1 Définition du modèle
2.1.1.1 Objectifs
2.1.1.2 Hypothèses de modélisation géométrique
2.1.1.3 Paramétrage de la demi-CER
2.1.2 Construction de la géométrie
2.1.2.1 Loi d’angle
2.1.2.2 Construction de la demi-CER
2.1.2.3 Reconstitution de tricots à partir de la demi-CER
2.1.3 Variation des paramètres
2.1.3.1 Variation de la taille de la CER
2.1.3.2 Variation de la taille de la section
2.2 Construction du modèle éléments finis
2.2.1 Conditions aux limites
2.2.1.1 Pilotage en vitesse et symétries
2.2.1.2 Contact
2.2.2 Formulation des éléments finis
2.2.2.1 Orientation du maillage
2.2.2.2 Formulation de Green-Naghdi
2.2.3 Analyse de sensibilité de la loi de comportement
2.2.3.1 Cas testés
2.2.3.2 Résultats et choix des paramètres de la loi de comportement
2.3 Simulation de la traction biaxiale
2.3.1 Post-traitement des diverses grandeurs
2.3.1.1 Déformée et non-déformée de la demi-CER
2.3.1.2 Ecrasement des mèches
2.3.1.3 Perspectives sur le cisaillement de la CER
2.3.2 Confrontation avec l’essai expérimental
2.3.2.1 Passage de l’échelle mésoscopique à l’échelle macroscopique
2.3.2.2 Surfaces de tension
2.3.2.3 Corrélation entre le calcul et l’essai
2.3.2.4 Erreur due à la formulation de Green-Naghdi
3 Chapitre 3 : Milieux continus orthotropes en grandes transformations
3.1 Manipulation des tenseurs euclidiens
3.1.1 Représentations et propriétés de base des tenseurs
3.1.1.1 Définitions de l’espace de travail et du référentiel global
3.1.1.2 Définition d’un tenseur et d’un champ de tenseur
3.1.1.3 Bases mixtes
3.1.1.4 Projections de tenseur et représentation matricielle
3.1.1.5 Transposition
3.1.2 Pratique du formalisme matriciel
3.1.2.1 Règle de multiplication des matrices de tenseurs d’ordre 2
3.1.2.2 Règle de multiplication de la matrice d’un tenseur d’ordre 2 avec la matrice d’un tenseur d’ordre 1
3.1.2.3 Formules de changement de base
3.1.2.4 Deux résultats importants sur les matrices d’un tenseur de rotation
3.1.2.5 Intérêt des projections en base mixte pour les compositions d’opérateurs
3.2 Evolution des tenseurs euclidiens
3.2.1 Transports rotationnels des tenseurs
3.2.1.1 Motivations et prérequis
3.2.1.2 Tenseur identité d’ordre 4
3.2.1.3 Définition d’un tenseur de rotation d’ordre 4
3.2.1.4 Transposée d’un tenseur de rotation d’ordre 4
3.2.1.5 Orthogonalité d’un tenseur de rotation d’ordre 4
3.2.1.6 Action d’un tenseur de rotation d’ordre 4 sur un produit tensoriel de la base globale
3.2.1.7 Transport rotationnel des tenseurs d’ordre 1
3.2.1.8 Transport rotationnel des tenseurs d’ordre 2
3.2.1.9 Transport rotationnel des tenseurs d’ordre 4
3.2.2 Objectivité euclidienne
3.2.2.1 Introduction de l’objectivité euclidienne
3.2.2.2 Entraînement des tenseurs dans une rotation
3.2.2.3 Changement d’observateur
3.2.2.4 Propriétés de l’objectivité pour les tenseurs d’ordre 2 symétriques
3.2.2.5 Cas des bi-tenseurs, indifférence matérielle
3.2.2.6 Analyse de l’objectivité de quelques tenseurs eulériens usuels en MGT
3.2.3 Dérivation et intégration rotationnelles
3.2.3.1 Motivations et hypothèses
3.2.3.2 Spin
3.2.3.3 Introduction de la dérivée rotationnelle par la dérivée de Lie
3.2.3.4 Définition de la dérivation rotationnelle comme dérivée intrinsèque
3.2.3.5 Définition de la dérivation rotationnelle par le transport rotationnel
3.2.3.6 Définition de l’intégration rotationnelle
3.2.3.7 Matrices de l’intégrale et de la dérivée rotationnelle des tenseurs d’ordre 2 en base tournée
3.2.3.8 Réciprocité des opérateurs d’intégration et de dérivation rotationnels
3.2.3.9 Objectivité des opérateurs d’intégration et de dérivation rotationnels
3.3 Les milieux continus orthotropes
3.3.1 Tenseur de comportement
3.3.1.1 Hypo-élasticité
3.3.1.2 Axes constitutifs et forme du tenseur de comportement
3.3.1.3 Milieu fibreux à une direction forte d’anisotropie
3.3.1.4 Objectivité du tenseur de comportement
3.3.1.5 Loi d’évolution
3.3.2 Les solides suiveurs
3.3.2.1 Définition
3.3.2.2 Solide suiveur de Jaumann
3.3.2.3 Solide suiveur des axes principaux de D
3.3.2.4 Solide suiveur de Green-Naghdi
3.3.3 Formulation générale des milieux continus orthotropes
3.3.3.1 Hypothèses générales
3.3.3.2 Cumul tensoriel des contraintes et des déformations
3.3.3.3 Propriétés de la mesure de déformation dans le cas du suivi d’une direction matérielle
3.3.4 Cumul tensoriel numérique et implémentation de la formulation
3.3.4.1 Formule de Hughes-Winget
3.3.4.2 Formule matricielle de Hughes-Winget
3.3.4.3 Estimation de la mesure de déformation
3.3.4.4 Estimation de la mesure de contrainte
3.3.4.5 Algorithme pour l’implémentation
Conclusion

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