Principes de l’ approche modulaire contrast

La simulation du comportement d’assemblages de structures complexes devient de plus en plus courante en bureau d’étude. Pour valider certains paramètres de conception, soit le comportement global de l’assemblage est étudié, soit un élément à optimiser est étudié au sein de l’assemblage, pour modéliser au mieux les actions mécaniques auxquelles il est soumis. Malheureusement, l’analyse d’assemblages de structures – même à comportement élastique – peut conduire à de sérieuses difficultés, en particulier lorsque la présence de nombreuses zones de contact unilatéral, avec ou sans frottement, rend le comportement globalement non-linéaire. Actuellement, l’analyse de ce type d’assemblages se fait, en général, par la méthode des éléments finis. Cependant, réaliser une discrétisation fine d’une géométrie complexe soumise à un chargement réaliste conduit à un modèle éléments finis comportant un grand nombre de degrés de liberté et qui est difficile à mettre en œuvre et à manipuler. De plus, les résolutions classiques des problèmes de contact, par pénalité [PERIC & OWEN, 1992], par multiplicateurs de Lagrange [BATHE & CHAUDHARY, 1985] ou par éléments de contact [CESCOTTO & CHARLIER, 1993], entraînent généralement un surcoût numérique très important quand le nombre de conditions est grand. En effet, pour les problèmes de frottement, les tailles d’incréments de chargement utilisées doivent souvent être petites pour assurer la convergence [RAOUS et al, 1995 ; KIKUCHI & ODEN, 1983]. Ainsi, la détermination d’une solution de bonne qualité nécessite la résolution de problèmes de grandes tailles entraînant des coûts numériques considérables. De plus, les codes Eléments Finis classiques – qui sont des outils de simulation généraux – ne permettent pas de modéliser simplement la réalité technologique, c’est-à-dire les joints d’étanchéité, les jeux initiaux, les boulons précontraints, les nervures… Ainsi, la mise en œuvre et la détermination d’une bonne solution (en déplacement et en contrainte) pour de tels assemblages conduisent généralement à des coûts de calcul importants et à des délais trop longs pour permettre une boucle d’optimisation dans un bureau d’étude.

Après avoir mis en place le cadre et les notations, ce chapitre présente les problèmes posés par les modélisations tridimensionnelles à comportement linéaire : complexité des géométries et des modèles, grand volume de données, encombrement mémoire important et coûts de calcul prohibitifs. Les méthodes de décomposition de domaines, qui essaient de pallier ces problèmes, sont présentées. Elles tentent de découpler le traitement des domaines, permettent une réduction des encombrements et sont fortement orientées vers l’utilisation de calculateurs à architecture parallèle (qui peuvent permettre des gains en temps importants et l’utilisation d’un espace mémoire de très grande taille).

Les principes de l’approche utilisée sont ensuite détaillés. Elle est basée sur une décomposition particulière des assemblages qui donne aux interfaces un rôle majeur. La formulation utilisée pour mettre en place une stratégie de résolution itérative est issue de la méthode LATIN et présente un fort parallélisme. Ce dernier est principalement utilisé, dans ce travail, pour introduire une certaine modularité qui facilite la description et la résolution de gros problèmes. Cette approche a tout d’abord fait l’objet d’une étude de faisabilité pour des problèmes 2D axisymétriques, pour lesquels elle permettait des calculs simplifiés de comportement d’assemblages.

Méthodes de décomposition de domaine

Les méthodes de décomposition de domaine sont développées pour le traitement de problèmes de grande taille (grand nombre de degrés de liberté) pour des comportements linéaires ou localement non-linéaires. Elles sont maintenant utilisées pour une grande variété de problèmes. Avec les possibilités nouvelles apportées par les calculateurs à architecture parallèle, elles ont pris un essor important. En effet, le partionnement du domaine engendré est bien orienté vers le développement d’algorithmes adapté à ces ordinateurs. De plus, il conduit à une réduction de l’encombrement total des matrices de rigidité. Deux grandes classes de méthodes existent : les approches avec recouvrement des domaines entre eux et celles sans recouvrement. Les dernières sont les plus utilisées de nos jours et sont celles auxquelles nous allons nous intéresser. Parmi ces méthodes, trois types d’approches existent : les méthodes primales (ou dites du complément de Schur), les méthodes duales et les méthodes mixtes.

Résolution

Le problème condensé étant de petite taille, il peut être résolu directement [ESCAIG et al, 1994]. Dans ce cas, l’approche est qualifiée de “méthode des sous-structures” et est bien connue en mécanique. Néanmoins, la construction de la matrice du complément de Schur, nécessite l’obtention explicite des matrices [KE] -1 et [KE’]-1. Cette opération n’est pas classique pour un code de calcul et peut s’avérer très coûteuse. De plus, la matrice [S] est très souvent “pleine”, contrairement aux matrices utilisées par la méthode des éléments finis. Son traitement est donc particulier.

Une idée est donc d’utiliser, pour résoudre le problème condensé, des stratégies itératives qui ne nécessitent pas le calcul explicite de [S], mais uniquement celui de ses produits par des vecteurs. C’est le cas pour les méthodes de type gradient conjugué pour lesquelles les calculs de ces produits sont même complètement parallélisables et dont l’efficacité peut être améliorée par un préconditionnement [De ROECK & LE TALLEC, 1990]. Certains cherchent, néanmoins, à utiliser la méthode directe pour profiter de sa robustesse et de son adaptativité à tous types de problèmes. De plus, elle permet, dans certains cas, de créer des bibliothèques de sous-structures ayant déjà été calculées et donc d’introduire une certaine modularité dans l’utilisation. Pour cela, des méthodes efficaces sont élaborées pour la construction de la matrice du complément de Schur. C’est le cas, par exemple, de la méthode multi-frontale [DUFF, 1986].

Les méthodes mixtes
Dans cette dernière approche, les solutions approchées, obtenues au cours des itérations, ne vérifient a priori ni la continuité en déplacement ni l’équilibre en effort sur les interfaces. C’est le cas de l’approche que nous utilisons pour l’étude d’assemblages de structures tridimensionnelles. D’autres approches mixtes, qui s’identifient à la nôtre dans le cas de liaisons parfaites ou de contact sans frottement entre les sous-domaines, sont proposées. L’une utilise une extension de l’algorithme de Schwarz aux cas de décomposition sans recouvrement [LIONS P.L., 1990] et deux autres utilisent une formulation par lagrangien augmenté [GLOWINSKI & LE TALLEC, 1990 ; LADEVÈZE J., 1985] .

Schéma itératif de résolution

L’approche proposée est basée sur les principes de la méthode LATIN (LArge Time INcrement method) [LADEVEZE, 1996]. Cette méthode, introduite par P. Ladevèze en 1984, est une stratégie générale pour traiter des problèmes non-linéaires d’évolution. Elle n’est pas basée sur les schémas de résolution habituels. Ses nombreuses applications (en élastoplasticité, en viscoplasticité sous chargement cyclique, en dynamique, en grandes transformations, …) ont montré son efficacité et les réductions en coût de calcul qu’elle apporte par rapport aux techniques classiques. La présente étude se place dans une situation dégénérée de la méthode LATIN : le problème d’évolution en temps n’est pas considéré et on ne cherche que la solution du problème à l’instant final. Notre approche n’utilise donc qu’une partie des concepts de la méthode LATIN.

Mise en œuvre numérique de la méthode

Implantation dans CASTEM 2000

Le logiciel prototype CONTRAST (CONtact TRidimensionnel dans les Assemblages en STatique) a été développé dans l’environnement du code de calcul de type industriel CASTEM 2000 (développé au CEA [VERPEAUX et al, 1988]). Ceci permet d’utiliser directement les fonctionnalités du pré- et du post-processeur du code (bibliothèque d’éléments, génération de maillage, visualisation, sorties graphiques …). Une première étude d’implantation de l’approche a été réalisée en n’utilisant que le langage utilisateur GIBIANE de CASTEM 2000. Elle a servi à définir une base de données adaptée aux problèmes, avant l’écriture de routines FORTRAN insérées directement au cœur du code pour augmenter les performances de l’algorithme. Ce code de calcul fonctionnant sur la base d’une structure de données orientée objets (objet MAILLAGE, objet CHAMP PAR POINT, …), de nouveaux objets associés à la méthode ont été créés pour faciliter le développement. Ces objets ne sont, en fait, que des regroupements d’objets GIBIANE standard et leur utilisation est transparente pour l’utilisateur. De plus, des opérateurs associés à l’algorithme ainsi que des procédures pré- et post-processeur appropriées ont été développés afin que l’utilisateur puisse profiter pleinement de la souplesse de la méthode aussi bien au niveau de l’entrée des données qu’au niveau du traitement des résultats. De gros efforts ont été réalisés de manière à ce que toutes les opérations de prétraitement associées à la recherche des interfaces et à la construction de leurs géométries soient complètement automatiques (cf §II.1.4).

En ce qui concerne le post-traitement, un système de choix par menus a été mis en place et de nombreuses options de visualisation ont été créées de manière à rendre convivial le dépouillement des résultats. De plus, ces outils ont facilité le développement et la mise au point du logiciel. Toutes les figures présentées dans ce mémoire ont été obtenues directement en sortie du post-processeur. Une documentation “en ligne”, un manuel d’utilisation [CHAMPANEY & COGNARD, 1996] et de nombreux exemples d’application commentés ont été créés pour faciliter l’utilisation.

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Table des matières

INTRODUCTION
I – PRINCIPES DE L’ APPROCHE MODULAIRE CONTRAST
I.1 Problèmes de grande taille
I.1.1 Hypothèses
I.1.2 Notations
I.1.3 Problème
I.1.4 Résolution
I.1.5 Difficultés
I.2 Méthodes de décomposition de domaine
I.2.1 La méthode du complément de Schur
I.2.2 La méthode duale
I.2.3 Les méthodes mixtes
I.3 Principe de l’approche proposée
I.3.1 Décomposition de la structure
I.3.2 Problème mécanique sur les deux entités créées
I.3.3 Schéma itératif de résolution
I.3.4 Discrétisation
I.3.5 Choix des paramètres de direction de recherche
I.3.6 Contrôle du calcul
I.4 Conclusion
II – MISE EN ŒUVRE NUMÉRIQUE ET INFORMATIQUE – PREMIÈRES ILLUSTRATIONS
II.1 Mise en œuvre numérique de la méthode
II.1.1 Implantation dans CASTEM 2000
II.1.2 Organisation des données
II.1.3 Déroulement d’un calcul – Algorithme
II.1.4 Particularités relatives aux interfaces
II.2 Comportement du logiciel – Exemple simple
II.2.1 Comportement de l’algorithme
II.2.2 Influence des paramètres
II.3 Conditions aux limites
II.3.1 Prise en compte des conditions aux limites
II.3.2 Exemple
II.4 Traitement d’un problème à grand nombre de degrés de liberté
III – TRAITEMENT DES NON LINÉARITÉS DE CONTACT
III.1 Problèmes de contact unilatéral avec et sans frottement
III.1.1 Données et hypothèses du problème
III.1.2 Contact unilatéral sans frottement
III.1.3 Lois de frottement
III.1.4 Problèmes statiques ou monotones quasi-statiques
III.1.5 Approche incrémentale du problème de frottement de Coulomb
III.1.6 Résolution du problème de contact
III.1.7 Analogie avec les problèmes de plasticité
III.1.8 Eléments de contact
III.1.9 Quelques problèmes numériques avec les éléments finis
III.2 Interface de contact unilatéral avec ou sans frottement
III.2.1 Problèmes et hypothèses
III.2.2 Résolution
III.2.3 Interprétation en terme de Lagrangien augmenté
III.3 Validation du traitement des non-linéarités de contact
III.3.1 Sensibilité de l’algorithme au passage adhérenceglissement
III.3.2 Exemple test – Lopin en compression biaxiale
III.4 Non-linéarité de type “joint élastomère unilatéral”
III.4.1 Joint élastomère à comportement non-linéaire unilatéral
III.4.2 Interface “joint élastomère non-linéaire”
III.4.3 Exemple de comportement
III.4.4 Exemple simple
III.5 Bilan sur les modèles d’interface
IV – EXEMPLES INDUSTRIELS D’ ASSEMBLAGES DE STRUCTURES TRIDIMENSIONNELLES – FONCTIONNEMENT ET PERFORMANCES DU LOGICIEL CONTRAST
IV.1 Bride avec vis radiales (comportement)
IV.1.1 Modélisation
IV.1.2 Transmission des efforts par adhérence
IV.1.3 Transmission des efforts par obstacle (cisaillement des vis)
IV.1.4 Comportement itératif particulier
IV.2 Bride avec vis radiales (étude du chargement)
IV.2.1 Modélisation
IV.2.2 Chargement axial
IV.3 Bride conique
IV.3.1 Description du problème
IV.3.2 Chargement radial
IV.4 Comparaison avec un code de calcul – Assemblage boulonné
IV.5 Comparaison avec un code de calcul – Bride rivetée
V – ASSEMBLAGES PAR LIAISONS AVEC MAILLAGES NONCOMPATIBLES
V.1 Principes généraux de la connexion de maillages
V.1.1 Méthodes générales
V.1.2 Méthodes de décomposition de domaine
V.2 Approche proposée
V.2.1 Problème à l’étape locale
V.2.2 Discrétisations
V.2.3 Résolution de l’étape globale
V.2.4 Construction des matrices de projection
V.3 Comparaison sur un exemple simple
V.4 Exemple – Assemblage boulonné
V.4.1 Problème
V.4.2 Comparaison
V.5 Conclusions
VI – COMPORTEMENT DE L’ APPROCHE CONTRAST SUR CALCULATEUR PARALLÈLE
VI.1 Version parallèle de l’algorithme
VI.2 Exemple – différentiel automobile
VI.3 Conclusions et perspectives
CONCLUSIONS
BIBLIOGRAPHIE

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