Principe de courbe-squelettisation 

OPTIMISATION TOPOLOGIQUE ADAPTATIVE

Introduction

Comme mentionné dans le chapitre précédent, ne pas avoir de restrictions quant à la forme et au type d’éléments contenus dans la solution fmale confère à l’optimisation topologique un avantage certain par rapport aux autres techniques d’ optimisation. Ce chapitre introduit une nouvelle stratégie permettant l’amélioration de la qualité des résultats d’optimisation topologique en ce qui concerne notamment la valeur finale de la fon ction objectif et la description de la frontière structurelle. Pour ce faire, la méthode d’optimisation topologique par distribution de la matière en utilisant la méthode SIMP va d’abord être décrite. Le résultat à la fin du processus d’optimisation, encore appelé résultat brut de l’optimisation, est par la suite ajusté à travers un procédé automatique de raffinement et de déraffinement adaptatifs.

Hypothèses

Plusieurs hypothèses circonscrivent le cadre de ce travail. En effet, l’on considère que la forme initiale du modèle à optimiser, au même titre que les conditions aux limites et de chargement auxquelles il est sujet, sont connues et bien définies. On considère également le matériau employé comme isotrope, ce qui fait que les solutions physiques de type composites ne sont pas admises, car l’ interprétation des densités intermédiaires sous forme de composites demanderait d’appliquer une technique d’homogénéisation qui est hors de notre cadre d’étude.

Méthode SIMP

La méthode SIMP, pour Solid Isotropie Material with Penalization, est une des méthodes d’optimisation topologique les plus documentées dans la littérature. Elle consiste en une répartition de la densité de matière dans les éléments du maillage d’un modèle sous certaines contraintes afIn d’en dégager la fonne la plus rigide. Ce faisant, elle procède à la distribution d’une quantité donnée de vide dans le modèle. Cette porosité du matériau est mesurée à l’aide de la densité de matière pC X, Y, z) qui varie de 0 à 1, où 0 représente le vide absolu (absence de matière) et lIe matériau plein (absence de porosité).
Dans tous les exemples de ce document, la méthode SIMP aura pour objectif une minimisation de la compliance, autrement dit une maximisation de la rigidité globale du modèle considéré, sujette à une contrainte volumique.
La Figure 3-1 présente l’ algorithme de la méthode SIMP qui sera détaillée dans la suite de cette section.

Modélisation et conditions mécaniques

Que ce soit pour un nouveau produit ou pour un produit préexistant, l’application de la méthodeSIMP commence par une modélisation dans un logiciel de CAO. Modéliser revient à décrire de façon simplifiée un système ou problème à l’aide notamment d’une représentation physique, géométrique ou mathématique appelée modèle. De manière générale, plus une modélisation est précise, plus les simulations seront proches du comportement réel du produit considéré. Une bonne approximation de la forme réelle, particulièrement de la zone de non-design (voir sous-section 3.3.2 suivante), est importante. Après obtention du modèle géométrique initial, on applique les conditions mécaniques qui comprennent les conditions aux limites, les chargements et les caractéristiques du matériau utilisé.
La Figure 3-2 montre un modèle cas test de type passerelle employé à titre illustratif pour présenter l’ensemble de la méthodologie développée. La passerelle a pour dimensions globales 5,6m x Sm x 25m. Sur la figure sont également présents les conditions aux limites en déplacements imposés au niveau des culées et le chargement sous forme de pression uniformément répartie en travée. Le chargement est Py = -10 kN 1m2 . Le module d’Young du matériau utilisé est de E = 69 GPa et le coefficient de Poisson de v = 0,3. La fraction volumique conservée est f = 5%.

Subdivision en sous-domaines de design et de non-design

Une fois le problème modélisé et les conditions mécaniques (incluant conditions aux limites, chargements et caractéristiques du matériau) appliquées, on spécifie les sousdomaines de design et ceux de non-design. Cette subdivision du modèle initial est indispensable afin de garantir la fonctionnalité de la structure après optimisation. Le sousdomaine de design est l’espace qui sera optimisé, autrement dit dans lequel la matière sera répartie de manière optimale. Le sous-domaine de non-design est l’espace qui ne sera pas affecté par le processus d’optimisation, ou encore l’espace contenant les endroits fonctionnels du modèle. Dans la plupart des cas, les conditions aux limites et de chargement sont appliquées dans le sous-domaine de non-design. Le domaine initial et les sous-domaines de design et de non-design sont définis sous forme de modèle B-REP pour Boundary REPresentation [43]. Ce dernier représente un solide par ses frontières (sous forme d’un ensemble de surfaces appelées coquilles) et permet une définition précise de son intérieur, de son extérieur et de la frontière qui les sépare [118]. Un modèle B-REP possède deux types d’ information: la topologie (volume, faces, arêtes et sommets) et la géométrie (surfaces contenant les courbes délimitant les faces et contenant les lignes, puis les points délimitant les contours et formant les sommets). À condition que ces surfaces soient fermées, orientables, bornées, connectées et ne s’entrecoupent pas, le solide est représenté par l’union de ses faces.
La Figure 3-3 présente une illustration du résultat de la subdivision du modèle cas test en sous-domaines de design (en bleu) et de non-design (en rouge).

Maillage

La similitude étroite entre le modèle B-REP et la structure de données d’un maillage (tétraèdre, triangle, arête, noeud) est la pierre angulaire du processus de génération de ce dernier. Le maillage d’un domaine [119] est la discrétisation spatiale de ce dernier à l’aide d’éléments fmis bien définis, appelés mailles. L’étape de maillage est obligatoire et préalable à l’analyse par éléments finis. Dans un contexte de maillage automatique non structuré, en plus d’être généré automatiquement, le maillage doit respecter les spécifications des sous-domaines de design et de non-design, principalement pour assurer la continuité et la conformité au niveau de l’interface entre les deux sous-domaines [120].
Durant le maillage, les éléments fmis tétraédriques sont tagués comme appartenant soit au sous-domaine de design, soit à celui du non-design. En pratique, l’on défmit le modèleentier, puis le modèle de non-design. Le sous-domaine de design est obtenu automatiquement de manière implicite, comme la soustraction du non-design du modèle entier. Une méthode de maillage basée sur la méthode frontale [119] avait déjà été développée et implantée dans notre environnement de travail. Les lecteurs sont invités à lire les références [12, 13, 118, 120-122] pour plus amples détails.
La procédure, en 14 étapes, consiste en plusieurs transferts entre le modèle entier et le modèle de non-design. Elle peut être présentée ainsi qu’ il suit [12, 120] :
1. Générer les noeuds aux sommets du modèle entier
2. Transférer tous les noeuds de l’étape l , qui appartiennent à des sommets communs avec le non-design, sur lesdits sommets du non-design
3. Générer les noeuds sur le reste des sommets du non-design
4. Transférer les noeuds de l’étape 3 qui appartiennent aux arêtes communes avec le modèle entier sur lesdites arêtes du modèle entier
5. Mailler toutes les arêtes du modèle entier avec des segments, en tenant compte des noeuds créés à l’étape 4
6. Transférer les segments des arêtes de l’étape 5 qui appartiennent aux arêtes communes avec le non-design sur lesdites arêtes du non-design
7. Générer les segments sur le reste des arêtes du non-design
8. Transférer les segments de l’étape 7 qui appartiennent aux faces communes avec le modèle entier sur lesdites faces du modèle entier
9. Mailler toutes les faces du modèle entier avec des triangles, en tenant compte des segments créés à l’étape 8
10. Transférer les triangles des faces de l’étape 9 qui appartiennent aux faces communes avec le non-design sur lesdites faces du non-design
11.Mailler toutes les faces du non-design avec des triangles, en tenant compte des
triangles créés à l’ étape 10.
12. Mailler le non-design avec des tétraèdres
13. Transférer les tétraèdres de l’étape 12 au modèle entier
14. Mailler le modèle entier avec des tétraèdres, en tenant compte des tétraèdres créés à l’étape 13
La Figure 3-3 illustre le résultat de cette procédure sur le modèle cas test. TI s’agit d’une discrétisation uniforme en utilisant un écart nodal constant dg = 250mm. La partie de design est en bleu et la partie de non-design est en rouge.

Formulation du problème comme une distribution de matière

Considérons un élément mécanique à optimiser, notamment le modèle cas test. Ce dernier occupe un volume V dans l’espace et est subdivisé en sous-domaines.
Conséquemment à cette subdivision, la porosité sera redistribuée uniquement dans le domaine de design et le domaine de non-design aura une valeur de densité fixe égale à 1, c’est-à-dire absence de vide. Afin de procéder à la distribution optimale de la matière dans le domaine de design, pour chaque élément du maillage est assigné un matériau fictif différent selon sa densité. Pour éviter les problèmes d’ instabilité numérique en pratique on utilise 0 < Pvide = 0,001. La définition du module d’Young virtuel E(x,y,z) des matériaux liés à la distribution de densité p(x, y, z) se fait suivant la loi de pénalisation : Ë( x,y, z) = Eo· p( x,y,z y (3-1) Où Eo est le module d’Young réel du matériau et p est le coefficient de pénalisation.
La pénalisation a pour effet de rentabiliser la contribution à la rigidité globale des éléments de densité intermédiaire afin d’éviter la formation de microstructures à l’intérieur du domaine de design. La relaxation du problème d’optimisation, qui permet une distribution continue de la densité de matière entre 0 et 1, ne permet pas d’obtenir des résultats discrets, d’où l’ importance du facteur de pénalisation p . Comme le schématise la
Figure 3-4, plus le coefficient p va être élevé, plus les éléments de faible densité seront attirés vers 0 (le vide). Les éléments de densité élevée se rapprochent de 1 et constituent le modèle optimisé. Par exemple la densité p = 0,4 devient 0,4 ; 0,07 et 0,01 après l’application des coefficients de pénalisation 1, 3 et 5 respectivement.

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Table des matières

DÉDICACE 
REMERCIEMENTS 
RÉSUMÉ 
ABSTRACT 
TABLE DES MATIÈRES 
LISTE DES T ABLEAUX 
LISTE DES FIGURES 
LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS
CHAPITRE 1 INTRODUCTION 
1.1 Contexte
1.2 Problématique
1.3 Objectifs
1.4 Contributions
1.5 Organisation de la thèse
CHAPITRE 2 ÉTAT DES CONNAISSANCES
2.1 Introduction
2.2 Optimisation de formes
2.3 Optimisation topologique
2.3.1 Méthodes d’homogénéisation
2.3.2 Méthodes évolutionnaires
2.3.3 Méthodes Level-set
2.3.4 Méthode SIMP
2.4 Interprétation des résultats d’optimisation topologique
2.4.l Interprétation par découpage isovaleur
2.4.1.1 Interprétation par extraction d’isocontours
2.4.1.2 Interprétation par extraction d’isosurfaces
2.4.2 Interprétation à l’aide de sections transversales
2.4.3 Interprétation par approximation géométrique
2.5 Reconstruction de modèles en ingénierie inverse
2.6 Logiciels d’optimisation topologique
2.7 Vers une nouvelle méthode d’interprétation
2.7.l Limites des méthodes d’interprétation actuelles
2.7.2 Méthodologie proposée
2.8 Présentation des outils de la méthodologie
2.8.1 Méthodes de raffinement de maillage
2.8.2 Méthodes de lissage
2.8.3 Méthodes de squelettisation
2.9 Conclusion
CHAPITRE 3 OPTIMISATION TOPOLOGIQUE ADAPTATIVE 
3.1 Introduction
3.2 Hypothèses
3.3 Méthode SIMP
3.3 .1 Modélisation et conditions mécaniques
3.3.2 Subdivision en sous-domaines de design et de non-design
3.3.3 Maillage
3.3.4 F onnulation du problème comme une distribution de matière
3.3.5 Critère d’optimalité
3.3.6 Filtrage de la sensibilité de la compliance et de la densité
3.3 .7 Résultats de la méthode SIMP
3.3.8 Vers l’ interprétation des résultats de la méthode SIMP
3.4 Méthode SIMP adaptative
3.4.1 Principe de l’adaptation
3.4.2 Détennination des zones d’intérêt
3.4.3 Fonction d’adaptation du maillage
3.4.4 Paramètres de la fonction d’adaptation
3.4.5 Adaptation du filtrage de la densité
3.4.6 Critère d’arrêt de la méthode SIMP adaptative
3.4.7 Résultats de la méthode SIMP adaptative
3.4.7.1 Effet du paramètre de raffinement X
3.4.7.2 Effet du paramètre de déraffinement Enm
3.4.7.3 Effet du nombre de couches
3.5 Récapitulatif des résultats
3.6 Conclusion
CHAPITRE 4 TRANSFORMATION EN UNE STRUCTURE DE POUTRES DROITES 
4.1 Introduction
4.2 Hypothèses
4.3 Principe de la transfonnation
4.4 Conversion du modèle optimisé adapté
4.4.1 Extraction de l’enveloppe de la fonne optimisée adaptée
4.4.2 Lissage de l’enveloppe
4.4.3 Squelettisation
4.4.3.1 Principe de courbe-squelettisation
4.4.3.2 Contraction de l’enveloppe de la fonne adaptée
4.4.3.3 Création des points squelettiques
4.4.3.4 Connexion des points squelettiques
4.4.3.5 Élagage des triangles
Principe de courbe-squelettisation
4.4.4 Calcul du rayon des sections
4.4.5 Nonnalisation
4.4.6 Modèle CAO
4.5 Validation du modèle converti
4.5 .1 Modèle ID-3D
4.5.2 Raccordement du squelette (ID) au volume (3D)
4.5.3 Maillage du modèle converti
4.5.4 Résultats de l’étude multidimensionnelle
4.5.4.Résultats avec le raccordement par noeuds
4.5.4.2 Résultats avec le raccordement par triangles
4.6 Récapitulatif des résultats
4.7 Conclusion
CHAPITRE 5 RÉSULTATS ET DISCUSSION 
5.1 Introduction
5.2 Description de l’environnement de développement
5.3 Cas d’étude 1 : Support en forme de L
5.3.1 Résultats de la méthode SIMP adaptative
5.3 .2 Résultats de la conversion
5.3.3 Analyse des résultats
5.4 Cas d’étude 2 : Pont
5.4.1 Résultats de la méthode SIMP adaptative
5.4.2 Résultats de la conversion
5.4.3 Analyse des résultats
5.5 Cas d’étude 3 : Chaise
5.5.1 Résultats de la méthode SIMP adaptative
5.5.2 Résultats de la conversion
5.5.3 Analyse des résultats
5.6 Discussion générale
5.7 Conclusion
CHAPITRE 6 CONCLUSION ET PERSPECTIVES 
6.1 Perspectives d’applications
6.1.1 Boucles d’adaptation de la fraction volumique
6.1.2 Enveloppe de la forme optimisée extraite par isodensité
6.1.3 Autres applications potentielles
6.1.3.1 Utilisation d’autres méthodes d’optimisation topologique
6.1.3.2 Utilisation d’autres types de fonction
6.1.3.3 Utilisation d’autres types de profilés
6.2 Perspectives d’amélioration
6.2.1 Critère de choix des paramètres de l’adaptation
6.2.2 Critère de convergence et gradient de taille
6.2.3 Autres processus d’adaptation
6.2.3.l Remaillage partiel du modèle
6.2.3.2 Projection du résultat de l’optimisation
6.2.3.3 Contrainte sur la prescription de tailles
6.2.4 Post-traitement du squelette
6.2.5 Mini-poutres uniquement dans le cercle de l’interface
6.2.6 Lissage adapté à l’optimisation topologique
6.2.7 Squelettisation adaptée à l’optimisation topologique
6.2.8 Importation du modèle converti dans un logiciel de CAO
6.2.9 Conversion en modèles CAO des modèles optimisés volumiques
LISTE DES CONTRIBUTIONS SCIENTIFIQUES 
BIBLIOGRAPHIE

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