Soutenance mémoire
Présentation et analyse des unités de raisonnement troncs
ANALYSE
Au chapitre précédent, nous avons explicité le processus de planification et de réalisation de l’expérimentation. Nous avons ainsi recueilli des données audiovisuelles et écrites afin d’analyser le raisonnement déployé par les élèves. Nous avons choisi de nous concentrer sur le discours des groupes d’élèves et c’est pourquoi nous avons transcrit l’intégralité des discussions pour chaque groupe à chacune des quatre séances29. Bien que nous nous soyons servie des enregistrements vidéo pour mieux comprendre le discours, l’analyse des données a été principalement réalisée par l’intermédiaire de l’analyse du texte transcrit (protocoles verbaux).
Dans ce chapitre, nous présentons d’abord la méthodologie de l’analyse des protocoles verbaux, soient les étapes suivies et les outils construits. Ensuite, nous dégageons une structure globale du raisonnement covariationnel suggérant une nouvelle organisation des unités de raisonnement selon le rôle de ces unités au sein du raisonnement déployé par les élèves visés lors de l’expérimentation. Nous terminons par une analyse détaillée du raisonnement axée sur la description des unités de raisonnement mobilisées et de l’articulation de ces unités dans la dynamique du raisonnement.
Méthodologie de l’analyse
Pour motiver l’expression orale spontanée des élèves donnant accès au raisonnement, nous avons choisi de les faire travailler en équipe. Ce dispositif a donc favorisé la construction collective d’un raisonnement. Considérant que ce raisonnement n’est pas égal à la somme des raisonnements de chaque élève, les groupes d’élèves constituent les entités observées sans distinction des individus. Ce choix ne nuit pas à l’obtention de résultats pertinents dans la mesure où notre intérêt est de mieux comprendre comment le raisonnement covariationnel peut être déployé par des élèves dans des situations spécifiques et non d’évaluer les apprentissages individuels des élèves.Afin d’analyser le raisonnement covariationnel déployé par les groupes d’élèves en situation, nous avons procédé à une analyse de protocoles verbaux, c’est-à-dire à une analyse du discours. Comme nous l’avons indiqué précédemment ce discours peut donner accès au raisonnement dans la mesure où il offre la possibilité de dégager la logique de la succession des idées communiquées. Afin de dégager cette logique, nous avons suivi, en partie, une méthodologie apparentée à l’analyse inductive générale telle que décrite par Blais et Martineau (2006). Le processus de réduction des données visait donc à « donner un sens » au corpus de données brutes que constituaient les transcriptions des discussions entre les élèves. Le sens, attribué a posteriori par notre interprétation, peut alors être considéré comme « une construction mentale qui s’effectue à l’occasion d’une expérience, laquelle est mise en relation avec des expériences antérieures » (Blais et Martineau, 2006, p.3). Nous nous sommes effectivement immergée dans les données afin leur donner un sens. Cette expérience nous a permis d’associer une logique au raisonnement des élèves à partir des a priori sur le déploiement d’un raisonnement covariationnel explicité dans notre grille d’analyse comprenant treize unités de raisonnement (section 2.4.2.3) et dans l’analyse a priori des situations (Annexe 6). Nous avons ainsi procédé à une analyse interprétative et émergente au sens de Blais et Martineau (2006).Concrètement, nous avons suivi plusieurs étapes pour le traitement des données en vue de leur interprétation. Nous expliquons donc globalement ces étapes puis, nous présentons les divers tableaux d’analyse que nous avons construits afin de tirer les fils organisant l’analyse détaillée du raisonnement. Il est à noter que ces tableaux, au-delà de leur caractère instrumental, constituent en eux-mêmes des résultats de cette recherche puisqu’ils ont été élaborés tout au long du processus d’analyse pour permettre de donner un sens aux données recueillies. C’est donc en réponse à la nature spécifique de ces données, à la perspective inductive choisie pour leur analyse et aux questions de recherche que ces outils ont été construits.
Le codage des données
Afin de condenser les données collectées, soit les transcriptions complètes des discussions, nous avons procédé à un codage à partir de la grille d’analyse initiale (voir section 2.4). Les segments de texte présentant en soi une signification spécifique ont été repérés puis associés aux unités de raisonnement. Les discussions des élèves représentant le principal biais pour l’analyse de leur raisonnement, nous avons considéré tous les sujets abordés (en lien avec la réalisation de tâches) comme des éléments jouant un rôle dans le raisonnement. À partir du moment où un extrait de discussion nous est apparu en lien avec l’une des unités de raisonnement de la grille d’analyse, nous en avons tenu compte comme d’un élément prenant part au développement du raisonnement covariationnel. La longueur moyenne des segments codés est de l’ordre d’une phrase comprenant une vingtaine de mots. Il est à noter que la plupart des segments, lorsqu’on les sort de leur contexte, sont difficiles à interpréter. En fait, ils sont porteurs de sens dans la mesure où l’on considère la question posée aux élèves et l’ensemble des éléments de la discussion au sein de laquelle ils prennent part. C’est pourquoi dans notre analyse, l’interprétation des segments codés nécessitera une re-contextualisation.Le raffinement de la grille d’analyse initiale a eu lieu tout au long du repérage des unités de raisonnement afin de rendre compte des nuances au sein d’une même unité de raisonnement. La comparaison du codage réalisé individuellement par trois codeurs a permis la validation, la précision ou le rejet de l’association entre un segment de texte et une certaine déclinaison d’une unité de raisonnement à divers moments. Les choix faits par l’équipe et leurs justifications ont été notés dans un journal de bord tenu par la chercheuse. À la fin du processus de codage, nous avons obtenu la grille finale d’analyse dans laquelle les unités de raisonnement et leurs éventuelles sous-unités associées sont décrites (voir Annexe 13). Nous avons, de plus, construit plusieurs tableaux permettant de rendre compte des résultats quant à divers aspects révélés par le codage des transcriptions. Ces tableaux, ainsi que la grille finale d’analyse, le journal de bord, les vidéos et les productions écrites des élèves constituent l’ensemble des sources d’information ayant servi pour l’analyse et l’interprétation du raisonnement déployé par les élèves.
La construction de tableaux d’analyse
Afin de répondre à nos questions de recherche, nous avons élaboré plusieurs tableaux d’analyse rendant compte de certains résultats révélés par le codage. Chaque tableau présente une synthèse des données en vue de faciliter leurs analyses et interprétations qui seront présentées dans les sections suivantes.Dans cette section, nous présentons les tableaux construits et donnons des indications sur la façon de les lire à partir d’extraits. La plupart des tableaux complets se trouvent à l’Annexe 12. Nous invitons toutefois le lecteur à ne pas s’engager d’entrée de jeu dans leur lecture approfondie laquelle s’avérera plus pertinente lors de la présentation des analyses et interprétations aux sections suivantes.
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Table des matières
Résumé
Abstract
Table des matières
Liste des figures
Liste des sigles
Liste des abréviations
Remerciements
Introduction
CHAPITRE I : PROBLÉMATIQUE
1.1 Le passage de l’étude des fonctions au secondaire à l’étude des fonctions en calcul différentiel
1.2 Les enjeux didactiques du passage de la notion de fonction à celle de dérivée
1.2.1 Dérivée et taux de variation
1.2.1.1 Différentes conceptions du taux de variation
1.2.1.2 Du taux de variation au quotient différentiel
1.2.2 Dérivée et variable
1.2.3 Dérivée, fonction et registres de représentation
1.2.3.1 L’obstacle d’une conception procédurale de la fonction développée au sein du registre symbolique
1.2.3.2 Le potentiel du registre graphique pour donner un sens à la dérivée
1.2.3.3 L’articulation de différents points de vue pour l’étude des propriétés des fonctions et de la dérivée
1.2.3.4 Un regard sur la fonction par la covariation
1.2.4 Synthèse : vers une approche covariationnelle de la fonction pour favoriser le passage de la fonction à la dérivée
1.3 Les enjeux historiques et épistémologiques du passage de la fonction à la dérivée
1.3.1 Une perspective historique sur le développement de la notion de fonction
1.3.1.1 Le monde grec (-500,400) : étude des relations entre quantités
1.3.1.2 Le Moyen-âge : émergence d’une approche dynamique à travers l’étude du mouvement
1.3.1.3 Le XVIIe siècle : mise en forme de la fonction et du calcul infinitésimal
1.3.1.4 Le XVIIIe siècle : introduction à l’analyse infinitésimale d’Euler
1.3.1.5 XIXe et XXe siècles : quelques remarques
1.3.2 Reconstruction d’un sens à la notion de fonction en lien avec l’émergence de la notion de dérivée
1.3.2.1 Quelques enjeux épistémologiques de la construction de la notion fonction
1.3.2.2 Contexte épistémologique du passage de la fonction à la dérivée
1.3.3 Synthèse
1.4 L’objectif de la recherche
CHAPITRE II : CONTEXTE THÉORIQUE
2.1 L’idée de covariation et les contextes de son exploitation dans la recherche en didactique des mathématiques
2.1.1 La perception des variations concomitantes de deux grandeurs chez les enfants
2.1.2 La représentation graphique d’une situation au début du secondaire
2.1.3 L’introduction des fonctions exponentielles à la fin du secondaire
2.1.4 La covariation comme une conception « à travers le temps » de la fonction chez des élèves de niveau collégial
2.1.5 Synthèse
2.2 De la covariation à l’approche covariationnelle de la fonction
2.3 Le développement du raisonnement covariationnel dans le cadre d’un travail sur la covariation
2.3.1 Le cadre d’analyse du développement du raisonnement covariationnel de Carlson
2.3.1.1 Fondements théoriques et contexte de construction du cadre d’analyse de Carlson
2.3.1.2 Description du cadre d’analyse du raisonnement covariationnel de Carlson
2.3.1.3 Résultats obtenus lors de l’exploitation du cadre d’analyse de Carlson
2.3.2 Ébauche d’un questionnement issu de l’analyse des travaux de Carlson
2.4 Proposition d’un cadre d’analyse du déploiement du raisonnement covariationnel chez des élèves du secondaire
2.4.1 Fondements théoriques pour l’analyse du déploiement d’un raisonnement en situation
2.4.2 Mise en évidence d’unités de raisonnement et de leur articulation lors du déploiement d’un raisonnement covariationnel en situation
2.4.2.1 Le problème de la voiture
2.4.2.2 Synthèse de la démarche de résolution du problème de la voiture
2.4.2.3 Des unités de raisonnement associées au raisonnement covariationnel et leur possible articulation en situation
2.5 Questions spécifiques de la recherche
CHAPITRE III : MÉTHODOLOGIE
3.1 La construction des situations
3.1.1 Mise en évidence de certaines caractéristiques des situations exploitées dans des recherches antérieures sur la covariation
3.1.2 Le choix des caractéristiques des situations
3.1.3 La structure du questionnement
3.1.4 Les objectifs et le contenu du questionnement
3.1.5 Validation des situations
3.2 Les modalités de la collecte de données
3.2.1 La sélection des lieux et les caractéristiques des sujets d’étude
3.2.2 Le recrutement des sujets d’étude
3.2.3 Le déroulement des séances de travail et les modalités de la collecte de données
CHAPITRE IV : ANALYSE
4.1 Méthodologie de l’analyse
4.1.1 Le codage des données
4.1.2 La construction de tableaux d’analyse
4.2 Structure globale de la grille finale d’analyse
4.2 Structure de l’analyse détaillée du raisonnement covariationnel déployé par les élèves
4.3 Présentation et analyse des unités de raisonnement racines
4.3.1 Description de l’unité U1 (identifier une relation fonctionnelle)
4.3.2 Résultats globaux du repérage de l’unité U1
4.3.3 Description de l’unité U2 (considérer une relation fonctionnelle sous l’angle de la variation)
4.3.4 Résultats globaux du repérage de l’unité U2
4.3.5 Les moments d’apparition de U1 et U2
4.3.5.1 Analyse de moments de mobilisation de U1 et U2 apparaissant dans le contexte du traçage d’un graphique
4.3.5.2 Analyse des moments de mobilisation de U1 et U2 apparaissant dans le contexte du changement de la fonction étudiée
4.3.5.3 Analyse des moments de mobilisation de U1 et U2 apparaissant dans le contexte de la recherche d’une grandeur intermédiaire ou de rechange (pichet)
4.3.5.4 Analyse des moments de mobilisation de U1 et U2 apparaissant dans le contexte de l’interprétation de « varier de la même façon »
4.3.6 L’articulation des unités U2 et U3
4.4 Présentation et analyse des unités de raisonnement troncs
4.4.1 Description de l’unité U3 (décrire le comportement de la fonction)
4.4.2 Résultats globaux du repérage de l’unité U3
4.4.3 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3a
4.4.3.1 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3a(f)
4.4.3.2 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3a(g)
4.4.3.3 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3a(g’)
4.4.3.4 Les cas particuliers de U3a
4.4.4 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3b
4.4.4.1 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3b(f) et U3b(g)
4.4.4.2 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3b(g’)
4.4.4.3 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U3b(f)-
4.4.4.4 Les codes particuliers de U3b
4.4.5 L’articulation des sous-unités U3a(g’) et U3b(g)
4.4.6 Description de l’unité U4 (décrire le comportement de la fonction dérivée)
4.4.7 Résultats globaux du repérage de l’unité U4
4.4.8 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U4
4.4.8.1 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U4a
4.4.8.2 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U4b
4.4.8.3 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U4c
4.4.8.4 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U4d
4.4.8.5 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U4e(f)
4.4.8.6 Analyse des verbalisations des élèves pour exprimer U4e(g) et U4e(g’)
4.4.9 L’articulation des unités U3 et U4
4.5 Unités de raisonnement branches
4.5.1 Description des unités U5, U6 et U7
4.5.2 Résultats globaux du repérage des unités U5, U6 et U7
4.5.3 Analyse des verbalisations associées à l’unité de raisonnement U5
4.5.3.1 Premier niveau de mobilisation de U5 (N1)
4.5.3.2 Deuxième et troisième niveaux de mobilisation de U5 (N2 et N3)
4.5.3.3 Quatrième niveau de mobilisation de U5 (N4)
4.5.3.4 Analyse de la trajectoire du raisonnement lors de la mobilisation de U5 dans le contexte du pichet
4.5.3.5 Mobilisation de U5 dans le contexte de l’échelle
4.5.4 Analyse des verbalisations associées à l’unité de raisonnement U6
4.5.5 Analyse des verbalisations associées à l’unité de raisonnement U7
4.5.5.1 La mobilisation de U7 : les références à la notion de « taux de variation »
4.5.5.2 La mobilisation de U7 : les références aux notions de « vitesse » et d’« accélération »
4.6 Les unités de raisonnement liées à l’étude quantitative des accroissements concomitants
4.7 Synthèse et réponses aux questions spécifiques de la recherche
4.7.1 À propos de l’actualisation des unités de raisonnement et des questions auxquelles répond leur mobilisation
4.7.1.1 Les unités racines
4.7.1.2 Les unités troncs
4.7.1.3 Les unités branches
4.7.2 À propos de l’articulation des unités de raisonnement et de l’influence de certaines variables didactiques
4.7.2.1 Les particularités du contexte du pichet
4.7.2.2 Les particularités du contexte de l’échelle
4.7.2.3 Le jeu sur les grandeurs
CHAPITRE V : CONCLUSIONS
Bibliographie
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