Soutenance mémoire
PRÉPARATIoN MATHÉMATIQUE DES ENSEIGNANTS
RÉsoLUTION DE PROBLÈMES GÉOMÉTRIQUES
Les activités de résolution de problèmes géométriques cherchent aussi à développer progressivement le raisonnement, la visualisation et à appliquer les connaissances et les Exemple: Tous les parallélogrammes sont des trapèzes. Argumentation anticipée : Le carré, le rectangle, le losange sont des parallélogrammes. Le cairé possède une paire de côtés parallèles, alors il est un trapèze. Le rectangle possède une paire de côtés parallèles, alors il est un trapèze. Le losange possède une paire de côtés parallèles, alors il est un trapèze. Le parallélogramme possède une paire de côtés parallèles, alors il est un trapèze.
Cadre théorique démarches acquises. L’importance de ces activités s’explique par le rôle heuristique que ces dernières permettent de faire jouer aux figures géométriques. (Duval, 1995) L’ analyse de recherches portant sur les difficultés des élèves dans la résolution de problèmes géométriques qui emploient le dessin (Yaldmanskaya, 1959; Zykova, 1955; Zhuravlev, 1950), démontre que la démarche de recherche de la solution dépend du niveau de visualisation et de conceptualisation. Il s’agit de la reconnaissance et de l’identification des éléments (indiqués ou supposés) nécessaires à la résolution d’un problème géométrique, de la capacité de tirer des informations supplémentaires de l’observation visuelle (visualiser les éléments non-tracés et les procédures permettant la résolution d’un problème) et de déterminer les conséquences logiques de certaines données. En effet, il n’est pas toujours facile de «voir» sur une figure les relations ou les propriétés en relation avec un énoncé ou une consigne, «f…] une figure ne représente une situation géométrique que dans la mesure où la signfication de certaines unités figurates et de certaines de leurs relations sont explicitementfixées au départ » (Duval, 1995, p.18 8).
La recherche de Yaldmanskaya (1971) a prouvé que la lecture d’un dessin dépend directement de différentes formes et de niveaux des processus de l’analyse, de la synthèse, et de l’abstraction. La capacité d’établir ces rapports, de comparer des figures en vérifiant si elles ont des éléments homologues congrus (segments, angles, arcs, etc.) et si elles ont des éléments appartenant aux différents concepts (par exemple, le même segment peut être la base d’un triangle, une bissectrice d’angle, une diagonale d’un losange, etc.) est nécessaire à la résolution de problèmes géométriques. Cela permet à l’élève d’obtenir à partir du dessin les nouvelles données, qui ne sont pas directement incluses dans la condition du problème. Ainsi, souligne I’ auteure, la capacité de «lire un dessin» dépend directement du degré auquel le processus de perception est commandé par la pensée ou par diverses connexions possibles entre les abstractions sensorielle et conceptuelle.
La recherche de la dimension psychologique pour interpréter la composition du dessin est d’intérêt théorique et pratique, puisque les difficultés associées à l’interprétation sont souvent à la base de l’incapacité de résoudre des problèmes de la géométrie.
REGISTRES DE REPRÉSENTATION
Les activités visant l’appréhension des figures, le raisonnement, la conceptualisation, la résolution de problèmes requièrent l’utilisation de différents systèmes d’expression et de représentation: les images, le langage naturel, l’écriture symbolique pour les objets géométriques et les relations entre eux, des graphes, des réseaux, des diagrammes et des schémas, etc. «E…] il n y a pas des actes cognitifs (comme l’appréhension conceptuelle d’un objet, la discrimination d ‘une dfférence ou la compréhension d ‘ttne inférence,) sans le recours à une pluralité au moins potentielle de systèmes sémiotiques, recours qui implique leur coordination pour le sujet lui-même >, remarque Duval (1995, p. 5).
Les activités qui travaillent le même objet dans ses différentes représentations, selon Duval (1995), développent les capacités cognitives de l’apprenant, ses représentations mentales et permettent une meilleure compréhension des objets géométriques. Toute confusion entre l’objet et sa représentation entraîne une perte de compréhension et les connaissances acquises deviennent alors vite inutilisables en dehors de leur contexte d’apprentissage: soit par nonrappel soit parce qu’elles «[…] restent des représentations « inertes » ne suggérant aucun traitement producteur » (ibidem, p. 2)
CoNsTRucTIoN DES FIGURES
À travers les activités de construction, l’enseignement de la géométrie cherche à favoriser le développement progressif d’une capacité de représentation des figures, du langage géométrique et du raisonnement, des techniques de construction, à rationaliser des actions et à développer les opérations mentales nécessaires à la résolution de problèmes exigeant la construction. Les techniques géométriques (tracer, continuer le tracé, tracer la perpendiculaire, tracer la droite parallèle, mesurer, reporter la mesure, trouver le milieu, inscrire (ou circonscrire), trouver l’ensemble de points (lieu géométrique) équidistants d’un point, de deux ponts, de trois points, de deux côtés, etc.) en utilisant différents outils de construction (la règle, l’équerre, le compas, le rapporteur d’angles) et l’emploi du langage symbolique sont aussi importantes pour le développement des compétences visuelles et langagières des élèves. Elles favorisent la visualisation des relations entre les propriétés et Figure 9. Classification des triangles (diagramme de Venn)
Analyses préalables
permettent de leur associer plusieurs termes géométriques nouveaux ou découverts dans les activités expérimentales précédentes (de pliage, de partage des figures, etc.) Il s’agit de la coordination de différents types d’activité participant au développement de la pensée géométrique et de la construction des connaissances indispensables pour passer au niveau supérieur (de déduction formelle) et à la démonstration des théorèmes visée par l’enseignement de la géométrie au secondaire.
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INTRODUCTION
1. PROBLÉMATIQUE
1.1. CONTEXTE DE CHANGEMENT DE PROGRAMMES
1.2 PRÉPARATIoN MATHÉMATIQUE DES ENSEIGNANTS
1.2.1 Lacunes dans la formation mathématique et géométrique des maîtres et futurs maîtres du
primaire
1.2.2. Difficultés en apprentissage de la géométrie
1.3 FoRMATIoN DIDACTIQUE DES ENSEIGNANTS
1.3.1 Enjeux de la formation didactique
1.3.2 Modèles de formation
1.3.3 formation didactique envisagée
1.4 OBJET DE LA RECHERCHE
2. CADRE ThÉORIQUE
2.1 CADRE GÉOMÉTRIQUE
2.1 .1 Éléments principaux de l’étude géométrique au primaire
2.1.1.1 Visualisation
2.1.1.2 Développement du langage
2.1.1.3 Raisonnement
2.1.1.3.1 Activités d’exploration visant la classification des objets
2.1.1.3.2 Justification des énoncés
2.1.1.3.3 Résolution de problèmes géométriques
2.1.2 Niveaux de pensée géométrique
2.1.3 Registres de représentation
2.1.3.1. Registre des figures
2.1.3.2 Registre discurf
2.1.3.3 Coordination de registres de représentation
2.1.4 Implication pour le dispositif de formation géométrique
2.2 CADRE DIDACTIQUE
2.2.1 Notion de situation-problème
2.2.1.] Problème et résolution de problèmes
2.2.1.2 Typologie de problèmes
2.2.1.3 Situation-problème
2.2.2 Situation comme modèle d’apprentissage
2.2.2.1 Implication pour le dispositjfdefonnation
2.3 PRÉcIsIoNs DES OBJECTIFS DE RECHERCHE
3. MÉTHODOLOGIE
3.1 CoNTExTE DE LA RECHERCHE ET PARTICIPANTS
3.2 INGÉNIERIE DIDACTIQUE À DEUX NIVEAUX
3.3 ANALYSES PRÉALABLES
3.3.1 Analyse des difficultés
3.3.2 Analyse du contenu de l’enseignement au primaire
3.3.2 Analyse des programmes
3.3.3 Analyse de différentes ressources pour l’enseignement
3.4 CHoIx DU CONTENU DE FORMATION
3.4.1 Contenu géométrique
3.4.2 Contenu didactique
3.5 CoNCEPTIoN DE LA FORMATION
3.6 ExPÉRIMENTATION
3.6.1 Cueillette des données
3.6.2 Analyse des données (niveau micro)
3.7 ANALYSE DES RÉSULTATS (INGÉNIERIE DE FORMATION)
4. ANALYSES PRÉALABLES
4.1. ANALYSES DES DIFFICULTÉS EN GÉOMÉTRIE
4.2. ANALYsE DU CONTENU DE L’ENSEIGNEMENT AU PRIMAIRE
4.2.1 Niveau visuel
4.2.2 Niveau descriptif/analytique
4.2.3 Niveau abstractionlrelationnel
4.2.3.1 Ctassjfications
4.2.3.2 Construction des figures
4.2.3.3 Résolution de problèmes
4.3. ANALYSiS DES PROGRAMMES
4.3.1 Analyses de la description des compétences
4.3.2 Analyse de la description du contenu notionnel du PfEQ (2002)
4.4 ANALYSE DE DIFFÉRENTES RESSOURCES POUR L’ENSEIGNEMENT
4.4.1 But de l’activité
4.4.2 Choix de représentations
4.4.3 Analyse des énoncés
4.4.4 Pertinence de schémas de classification
5 CONCEPTION DE LA FORMATION
5.1 DÉMARCHE
5.2 TYPES DE SITUATIONS ET OBJECTIFS VISÉS
5.2.1 Situations d’observation
5.2.1.1 Exempte de situation de formation (démarche d’observation)
5.2.1.1.1 Savoirs visés
5.2.1.1.2 Conduites visées
5.2.1.1.3 Construction d’un outil d’analyse
5.2.2 Situations de manipulation
5.2.2.1 Exempte de situation de nwn4,ulation
5.2.3 Situations de construction
5.2.3.1 Exemple de situation de construction
– Aspect géométrique
– Conduites anticipées
– Aspect didactique d’organisation
– Savoirs didactiques visés
5.2.4 Situations « géométriques »
5.2.5 Résolution de problèmes
5.2.5.1 Exempte de ta démarche visée
5.2.5.2 Exemples de problèmes
5.2.6 Situations d’analyse
5.2.7 Situations de conception
5.3 ANALYSE A PRIORi DU DISPOSITIF DE RECHERCHE
5.3.1 Étapes préalables au déroulement du dispositif
5.3.2 Description du dispositif
6. RÉSULTATS
6.1 FoRMATIoN GÉOMÉTRIQUE DES ÉTuDIANTS
6.2 RÔLE DE L’INGÉNIERIE DE FORMATION
6.2.1 Rôle des situations de construction
6.2.2 Rôle des situations d’analyse
6.3 FORMATION DIDACTIQUE DES ÉTUDIANTS
6.3.1 Emploi de connaissances géométriques
6.3.2 Emploi de connaissances didactiques
7. CONCLUSION
7.1 OBJECTIFS ET RÉSULTATS DE LA RECHERCHE
7.2 LIMITES DE LA RECHERCHE
7.3 APPORTS ET PERSPECTIVES DE LA RECHERCHE
RÉFÉ1UNCES
ANNEXES
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