Poteau à variation par tronçons

Poteau à variation par tronçons

Les type de flambement

Le flambement peut se manifester sous diverses formes selon les spécificités de la section transversale. Ainsi, on distingue [17] :
 Flambement par flexion, où la pièce comprimée quitte sa position initialement rectiligne pour fléchir dans un des plans principaux d’inertie de la section droite ;
 flambement par torsion, pour lequel l’axe longitudinal de la pièce comprimée conserve sa position initialement rectiligne, tandis que chaque section transversale tourne autour de cet axe ;
 flambement par flexion-torsion, qui consiste en un flambement interactif associant les deux types de flambement précités et se manifeste donc sous la forme de formations conjointes de flexion et de torsion.
Pour chacun des trois modes d’instabilité, la figure (I.3) montre le déplacement de la section droite à mi-longueur d’une barre soumise à un effort de compression supposé appliquer au centre de gravité,On donne pour chaque type de flambement la charge critique associée :
 pour le flambement par flexion (charge critique d’Euler) :
Le flambement par torsion se manifeste dans les éléments à section doublement symétrique et présentant une grande raideur flexionnelle associée à une faible raideur torsionnelle.
Le flambement par flexion-torsion est déterminant dans le cas des barres à section ouverte et à parois minces ‘’donc à faible raideur torsionnelle’’ présentant un centre de gravité nettement distinct du centre de cisaillement. Le tableau (I.1) présente le mode de flambement pour chaque type des sections et la contrainte critique à calculer.
La présence ou non des imperfections modifient le comportement au flambement, on distingue :
 le flambement par bifurcation : il se produit dans les barres supposées parfaites avec des charges appliquées au centre de gravité. La barre dans ce cas reste rectiligne si la charge appliquée demeure inferieure à la charge critique. Si la charge critique est dépassée alors la barre prend soudainement une autre position d’équilibre par déformation latérale.
 Le flambement par divergence : Il est caractérisé par le fait essentiel que la poutre se dérobe à l’effort normal de compression en fléchissant transversalement. Il se déclenche à cause de la flexion initiale (courbure initiale (figure I.4a), charge excentrée (figure I.4b), charge transversale (figure I.4c), etc.) l’effort normal de compression accentue, comme on s’en rend compte en se plaçant en configuration déformée. Ces deux types de flambement seront développés au chapitre II
Lorsqu’il s’agit des arcs et des treillis de faible hauteur un autre type de flambement peut se produire appelé :
 flambement avec point limite : un changement de position d’équilibre, se produisant avec un claquement sec peut avoir lieu quand le trajet initialement stable perd sa stabilité dès que l’on atteint localement une valeur maximum de la charge, appelée « point limite » du système (figure I.5). D’après ce schéma on peut constater que le comportement d’un système non-parfait est semblable à celui d’un système parfait.
 le flambement élasto-plastique : lorsque la charge critique dépasse la limite d’élasticité (бcr>fy) (figure I.6). L’établissement d’une théorie du flambement en domaine élasto-plastique est difficile et il n’y a pas aujourd’hui, de solution analytique générale. Au cours de flambement élasto-plastique les fibres situées du coté concave de la courbure sont sollicitées par des contraintes uniformes de compressions donc le module d’élasticité à considérer est le module tangent Et, tandis que pour les fibres du coté convexe, c’est le module de Young E qui entre en jeu par déchargement élastique (figure I.6).
La contrainte critique est donnée par la formule suivante :

Les dangers du flambement

Le flambement est l’une des premières causes de sinistres des structures, parce qu’il affecte essentiellement les poteaux, l’élément porteur principal de bâtiment. Ces sinistres ont été à l’origine de grandes catastrophes comme l’effondrement du pont de Québec (1907, 74 mort, photo (I.1).
Dans une structure, le flambement d’un élément comprimé provoque des grandes déformations dues à la non linéarité géométrique, et par conséquent, il engendre une chute de la force supportée. Cela modifie le cheminement des forces dans la structure et peut causer l’instabilité des autres éléments. Les contreventements sont les plus exposées à ce type de risque. Pour l’éviter soit on dimensionne les éléments comprimé pour résister, soit en considère que les éléments tractés participent à la résistance.
On peut améliorer la résistance au flambement d’un élément par plusieurs façons. La réduction du rapport d’élancement par l’augmentation des dimensions se traduira par une charge ultime plus élevée. Cela peut aussi être fait en répartissant le matériau de manière différente le long de l’élément.
Une autre manière d’améliorer la résistance au flambement d’un élément est de lui fournir des maintiens supplémentaires afin de modifier le mode de flambement. La charge critique élastique d’un poteau en compression axiale bi-articulé par ex, est augmentée d’un facteur 4 si on ajoute un appui simple à mi-hauteur. En plus, limiter la capacité au déplacement et à la rotation des noeuds modifie le mode de flambement.

Le déversement

Définition et historique

Les pièces soumises à flexion simple au tour de l’axe d’inertie principale maximale de leur section transversale sont affectées par un phénomène d’instabilité, dénommé déversement (figure I.7), dès lors que l’inertie principale minimale est sensiblement inférieure à l’inertie principale maximale. Cette circonstance est rencontrée pour la grande majorité des profils utilisés en construction métallique. L’instabilité en cause n’est rien d’autre que le flambement latéral de la partie de la section transversale soumise, du fait de la flexion, à des contraintes de compression. Par rapport au flambement, le déversement présente néanmoins des spécificités importantes :
 D’une part, la partie tendue du profil exerce sur la partie comprimée des effets stabilisateurs, ce qui conduit à assimiler le phénomène à un flambement en milieu élastique,
 D’autre part, le plus souvent, la compression, tout comme le moment de flexion qui la génère, n’est pas uniforme sur la longueur de la pièce.
Ces particularités rendent généralement complexe l’établissement des solutions aux problèmes du déversement. On notera en particulier que, du fait de la distance qui sépare la partie tendue de la partie comprimée, le flambement latéral de cette dernière s’accompagne inévitablement d’une torsion de la poutre autour de son axe longitudinal : toutes les caractéristiques de la section transversale sont ainsi impliquées dans la déformée de déversement et, en particulier, les inerties de torsion pure et de gauchissement.
L’intérêt de dimensionner des poutres résistantes au déversement étant évident, plusieurs chercheurs se sont penchés sur ce problème dans le but de pouvoir proposer des formules approchées de dimensionnement aux ingénieurs et projecteurs du domaine de la construction métallique. Cependant, le problème apparait encore plus complexe que celui des poteaux.
En 1905 TIMOSHENKO [25] a élaboré les formules théoriques de déversement d’une poutre simplement appuyée ensuite, il a étudié l’influence des conditions d’appui sur la charge critique du déversement.
On note aussi les formules de A.N. DINNIK (1913) pour des poutres maintenues latéralement et les formules de F. Stussi pour les poutres en I avec courbure initiale [6].
BRAHAM (1998) utilise l’approche de MERCHANT-RANKINE, c’est-à-dire sur le concept de multiplicateur des charges. Il valide cette méthode à travers des résultats de simulation numérique pour différentes variations de hauteur d’âme, pour différentes longueurs et aussi pour les conditions d’appuis. Cette approche à été utilisée dans les différentes normes Européennes (comme dans l’additif 80 pour le déversement par exemple), au même titre que des formulations « d’AYRON-PERRY », sur lesquelles sont basées les formules actuelles de l’Eurocode 3 pour le flambement et le déversement [6].
Pour le déversement des poutres à section variable, FOGEL et KETTER [6] étudient le comportement plan sous effort normal et moment d’extrémité d’une poutre à section variable. En faisant des approximations polynomiales sur la variation de l’inertie dans le sens de la flexion. Ils proposent de résoudre mathématiquement les équations obtenues, et présentent les résultats sous forme d’abaques.
Signalons pour finir les travaux de Saka [10], qui propose un algorithme d’optimisation des portiques constitués de poutres en I doublement symétriques à hauteur d’âme linéairement variable. En retenant le critère de résistance au déversement, pour le moins discutable du code américain [2], il cherche à minimiser le poids de la structure.
Il y a diverses études théoriques du comportement des poutres, basées sur les principes de la mécanique des Milieux Continus. En 1965, BAZANT propose une théorie de la torsion non uniforme et des équations d’équilibre pour les poutres à parois minces et section variable [17].
BROWN propose des tables permettant de calculer la charge critique de déversement de tels éléments, pour différentes conditions d’appui et différents niveaux d’application de charges. Il utilise la méthode des différences finies pour résoudre les équations différentielles [6] .
BAPTISTA (2002) utilise un modèle numérique « éléments finis » basé sur l’étude des déformations globales des sections, capable de rendre compte du comportement non linéaire géométrique et matériel des poutres à parois minces et section variable. Il propose des expressions polynomiales pour calculer les valeurs de charges ultimes et critiques de tels poteaux, dont les coefficients sont issus du lissage des résultats numériques obtenus [5].
BOISSONNADE (2002) propose une formulation « éléments finis » à travers un élément de poutre à section variable. Il conclue que le déversement des poutres à inertie variable est différent de celui d’une poutre avec section équivalente. Il développe même une nouvelle formule d’interaction pour les éléments comprimés fléchis [6].

Aspect expérimental du déversement

Considérons une poutre mince, dont les appuis sont encastrés vis-à-vis de torsion et quelconque vis-à-vis de la flexion (figure I.8)

Aspect théorique de déversement

Cas de référence : Le cas de référence pour le déversement est la poutre de longueur L à section uniforme doublement symétrique, soumise à des moments d’extrémité M, égaux mais de signes contraires, appliqués rigoureusement dans le plan de forte inertie de la section (figure I.9).

Les dangers du déversement

Pratiquement, les ingénieurs et les calculateurs sont très avertis des dangers du flambement. En revanche, et concernant les pièces fléchies, les calculs se limitent très généralement à un simple dimensionnement en flexion (simple ou déviée), sans vérification du risque de déversement.
Souvent les calculateurs apprécient mal le risque du déversement (une poutrelle qui déverse se vrille, mais reste en place, du fait de ses liaisons avec d’autres éléments, pense-t-on généralement).
En fait, les désordres provoqués par le déversement peuvent être légers (poutres déformées, bacs acier déchirés), mais également graves (effondrement partiels ou totale).
Actuellement, il semble que de tels désordres aient tendance à se multiplier, avec le développement sur le marché des profilés minces (tôles pliées, de faible épaisseur) qui tendent à prend la place des profilés laminés habituels pour ce qui concerne les pannes, les lisses et certaines poutres.
Ci- dessous la photographie d’un bâtiment qui s’est effondré en totalité sous une charge de neige minime (40 daN/m2), du fait du déversement des poutres de portiques (Omégas en tôle pliée), qui en basculant ont provoqué l’effondrement totale de la structure. Les poutres avaient dimensionnées en flexion simple, sur la base de fy= 235 MPa, alors qu’une contrainte de 70Mpa avait généré le déversement.

Le voilement

Définition

Le voilement correspond à une déformation accidentelle affectant généralement une pièce de grande surface mais surtout de faible épaisseur sous l’action d’efforts supérieurs à la charge admissible (figure I.13).
Toujours à la recherche de l’économie dans la construction des poutres, on a le plus souvent cherché à augmenter l’inertie en éloignant le plus possible la matière du centre de gravité et en éliminant au maximum la matière dans les régions les moins sollicitées.
Les profilés laminés normalisés (IPE, HEA…) sont peu sensibles au voilement, leurs âmes étant surdimensionnées. En revanche, les âmes des profilés reconstitués soudés sont très sensibles au voilement. Il s’agit des poutres ou caissons d’ouvrages d’art, des parois de réservoirs, de silos…

Les types de voilement

Voilement locale par compression

Les rapports largeur sur épaisseur des parois des sections usuelles, désignés élancement géométriques, varient dans des proportions très importantes. Lorsque ces parois sont sollicitées en compression, ceci a une incidence directe sur le niveau de la ruine. En effet, ce phénomène d’instabilité et assimilable à un flambement, dans la direction normale à la paroi, des fibres longitudinales (figure I.14a).
Si l’élancement géométrique est faible (paroi compacte) le voilement locale intervient alors que l’acier a déjà subi d’importantes déformations plastiques après avoir atteint le niveau de contrainte correspondant à la limite d’élasticité. En revanche, lorsque la paroi présente un élancement particulièrement élevé, la ruine par voilement locale peut intervenir très tôt, avant même que le niveau apparent de contrainte dans cette paroi ait atteint la limite d’élasticité (figure I.14b) [4].

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Table des matières

Dédicaces
Remerciements
Résumé
Liste des notations
Liste des figures
Liste des tableaux
Table des matières
INTRODUCTION
I. REVUE DE LITTERATURE SUR LES MODES D’INSTABILITE
I.1 Introduction
I.2 Notion de la stabilité
I.3 Les origines des phénomènes d’instabilité élastique
I.4 Le flambement
I.4.1 Définition et historique
I.4.2 Les type de flambement
I.4.3 Les dangers du flambement
I.5 Le déversement
I.5.1 Définition et historique
I.5.2 Aspect expérimental du déversement
I.5.3 Aspect théorique de déversement
I.5.4 Les dangers du déversement
I.6 Le voilement
I.6.1 Définition
I.6.2 Les types de voilement
I.6.2.1 Voilement locale par compression
I.6.2.2 Voilement par cisaillement
I.6.3 Analyse expérimentale du voilement
I.6.4 Analyse théorique du voilement
I.7 Conclusion
II. REVUE DE LITTERATURES SUR LES MODES DE CALCUL ET D’ANALYSE DU PROBLEME DU FLAMBEMENT
II.1 Introduction
II.2 Méthodes de calcul de la charge critique
II.2.1 La méthode d’Euler
II.2.1.1 La formule d’Euler
II.2.1.2 Longueur de flambement
II.2.1.3 Etude des cas simples par la méthode d’Euler
II.2.2 La méthode énergétique
II.2.3 La méthode des approximations successives
II.2.4 La méthode itérative de Newmark
II.2.5 Méthodes numériques
II.2.5.1 Méthode des différences finies
II.2.5.2 Méthode des éléments finis
II.3 Resistance de barreaux réels
II.3.1 Imperfection géométrique
II.3.1.1 Excentricité du chargement
II.3.1.2 Barre déformée initialement
II.3.2 Imperfections structurales
II.3.3 Effets combinés des imperfections
II.4 Conclusion
III. METHODES DE CALCUL DU FLAMBEMENT DES ELEMENTS A SECTION VARIABLE
LINEAIRE
III.1 Introduction
III.2 Avantages des profilés à inertie variable
III.3 Hypothèses et notation
III.4 Longueur de flambement équivalent
III.4.1 Méthodes basées sur 􀜣􀯠􀯜􀯡 et 􀜫􀯠􀯜􀯡
III.4.1.1 Etude de Carter et Gere
III.4.1.2 Etude de Galéa
III.4.1.3 Etude de Shiomi et Kurata
III.4.1.4 Etude de Mendera
III.4.1.5 Méthode adoptée par le LFRD
III.4.1.6 Méthode adoptée par le SSRC
III.4.2 Méthodes basée sur 􀜣􀯠􀯔􀯫et 􀜫􀯠􀯔􀯫
III.4.2.1 Etude de Mendera
III.4.2.2 Etude de Butler et Anderson
III.4.2.3 Méthode adoptée par le CSN
III.4.2.4 Méthode adoptée par le TGL
III.4.2.5 Etude de Jaspart
III.5 Aire et moment d’inertie équivalents
III.5.1 Etude de Mendera
III.5.2 Etude de Lind
III.5.3 Etude de Fraser
III.5.4 Méthode adoptée par le DIN
III.6 Flambement des poteaux comprimés et fléchis à inertie variable
III.6.1 Etude de Shiomi et Kurata
III.6.2 Etude de Butler et Anderson
III.6.3 méthode adoptée par le SSRC
III.7 Conclusion
IV. ETUDE PARAMETRIQUE
IV.1 INTRODUCTION
IV .2 Hypothèse de calcul
IV.3 Principe d’étude
IV.4 Description des méthodes de calculs
IV.4.1 La Méthode des différences finies
IV.4.2 Méthode basé sur les fonctions de Bessel
IV.4.3 Méthode basé sur les abaques de Carter et Gere
IV.4.4 Méthode basée sur l’utilisation d’un logiciel (éléments finis)
IV.5 Comparaison des résultats obtenus par les 4 méthodes précédentes
IV.6 Etude de généralisation des résultats
IV.6.1 Conclusion
IV.7 Etude de la déformée
IV.7.1 Poteau bi-articulé
IV.7.2 Poteau articulé-encastré
IV.7.3 Poteau bi-encastré
IV.7.4 Poteau encastré-libre
IV.7.5 Conclusion
IV.8 Calcul de la charge critique en fonction de la formule de variation de l’inertie
IV.8.1 Définition des étapes de la résolution
IV.8.2 Les résultats
IV.8.3 Conclusion
IV.9 Effet de la rigidité des noeuds sur la charge critique du flambement
IV.9.1 les résultats
IV.9.1.1 Poteau à hauteur d’âme variable (plan de forte inertie)
IV.9.1.2 Poteau à largeur des semelles variable (plan de forte inertie)
IV.9.1.3 Poteau à largeur des semelles variable (plan de faible inertie)
IV.9.1 Conclusion
IV.10 Poteau à variation par tronçons
IV.10.1 Principe d’étude
IV.10.2 Poteau encastré libre
IV.10.3 Poteau double articulé
IV.10.4 Comparaisons avec le modèle (2)
IV.10.5 Comparaisons avec le modèle (3)
IV.10.6 Description des résultats
IV.11 Exemple de calcul de l’effort critique
IV.11.1 Méthodes du chapitre IV
IV.11.2 Méthodes analytiques du chapitre III
IV.11.3 Calcul de l’effort critique d’un poteau encastré élastiquement
IV.11.3 Conclusion
Conclusion Générale
Références bibliographiques
Annexe A : Fonction de Bessel
Annexe B : Valeurs de coefficient c en fonction de 􀟥

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