Observabilité des systèmes hyperboliques de lois de conservation avec terme source

Formulation du problème

La notion d’observabilité est déterminante pour l’analyse et l’observation des systèmes. Cette propriété caractérise la possibilité de reconstruire l’état initial d’un système à partir de la connaissance de la dynamique du système et de sa (ses) sortie(s) sur un intervalle de temps fini. L’étude de l’observabilité des systèmes d’EDO est établie à travers une abondante littérature. La condition nécessaire et suffisante d’observabilité la plus classique pour les systèmes d’EDO linéaires est la condition de Kalman (voir par exemple [Chen95]) et pour les systèmes EDOs non linéaires, la condition est celle du rang de la matrice des dérivées de Lie (voir par exemple [Shauying73]). L’observabilité des systèmes à paramètres distribués (EDP) continue de cristalliser les intérêts compte tenu du nombre de systèmes physiques concernés et de la spécificité de chacune des EDP [Goatin06], [Gugat03], [Kurzhanski03],[Buranasing013]. Particulièrement pour les systèmes hyperboliques, de nombreux auteurs ont obtenus des résultats qui concernent les aspects théoriques de l’observabilité et qui englobent :
– le placement de capteurs dans le but de fournir les informations sur les sorties du système contrôlé [Benhadid012],[Khapalov07] ;
– la détermination d’une solution unique au problème de Cauchy lié au système [Kato85], [Hsiao93], [Amadori99], [Christoforou06] ;
– la détermination d’une solution unique au problème mixte ou problème de Cauchy associé aux conditions aux limites sans flux du système [Li09] ;
– la détermination des conditions pour la synthèse d’un estimateur stable en présence de perturbations [Bastin016], [Di Meglio013], [Vasquez011].

Observabilité exacte

Les systèmes hyperboliques modélisent la propagation des ondes. Une extrapolation temporelle des mesures est faite dans la définition de l’observabilité des systèmes hyperboliques puisqu’elle nécessite un temps minimum à cause de la vitesse de propagation des ondes. Ceci n’est pas le cas pour les systèmes à dimension finie où les conditions d’observabilité sont indépendantes du temps. On parle alors d’observabilité exacte.

Définition 1.2. Observabilité exacte. Le système (1.6) est dit exactement observable dans le domaine Ωo (Ωo ⊂ Ω) si et seulement si la solution w = w(t, z) ∈ Ωo est uniquement déterminée par les mesures (1.14) sur un intervalle de temps fini T > 0.

Les résultats sur l’observabilité exacte des systèmes hyperboliques de dimension n sont basés sur la théorie des semi-groupes [Higgins92] avec l’existence d’une solution C1 semi-globale unique au problème mixte (1.6), (1.2) et (1.13) (voir [Li09], Theorem 2.1).

Forme caractéristique et conditions aux limites

La plupart des applications impliquant des EDP concernent des domaines avec des limites. Les conditions relatives à la solution d’une EDP donnée à une limite sont dites conditions aux limites. La connaissance des conditions aux limites permet de fournir toutes les informations nécessaires au niveau des limites du domaine d’étude afin de compléter la définition du comportement du système. Le nombre de conditions aux limites qui peuvent être imposées dépend du système physique et ne peut pas être spécifié arbitrairement. Pour les EDP hyperboliques, l’idée principale est qu’elles représentent la propagation des ondes à une vitesse finie. Il est donc nécessaire de réécrire l’EDP sous une forme qui rend perceptible ce phénomène.

Condition d’hyperbolicité et forme caractéristique

Définition 1.3. Système strictement hyperbolique. Le système (1.6) est strictement hyperbolique si pour tout w ∈ Ω, la matrice jacobienne (1.7) possède 2 valeurs propres réelles distinctes

λ1 (w) 6= λ2 (w) (1.16)

Les valeurs propres de S (w) sont solutions de l’équation
P = det (S (w) − λ(w)I2) = 0 (1.17)

avec I2, la matrice identité d’ordre 2. Les valeurs propres (1.16) sont toutes réelles si et seulement si le déterminant D du polynôme P obtenu en développant (1.17) :

P = λ2 (w) − λ(w) (s11(w) + s22(w)) + s11(w)s22(w) − s12(w)s21(w)

est strictement positif, c’est-à-dire
D = (s11(w) + s22(w))2 − 4 (s11(w)s22(w) − s12(w)s21(w)) > 0 (1.18)

Conditions aux limites de Dirichlet

Les conditions aux limites de Dirichlet spécifient les valeurs que la solution d’une EDP doit vérifier sur les limites du domaine d’étude. A chaque limite, certaines ondes se propagent dans le domaine d’étude tandis que d’autres se propagent hors du domaine [Colombo05]. Les ondes se propageant vers l’extérieur du domaine d’étude ont un comportement entièrement défini par la solution aux limites et aucune condition aux limites n’est nécessaire pour elles. Les ondes qui se propagent vers l’intérieur dépendent des champs extérieurs au domaine de la solution et nécessitent donc des conditions aux limites pour compléter la description de leur comportement. Chaque valeur propre λ1(v) ou λ2(v) représente la vitesse caractéristique à laquelle se propage une onde particulière. À une limite z, certaines vitesses caractéristiques décrivent les ondes sortantes, alors que d’autres décrivent les ondes entrantes. Le comportement des ondes sortantes est complètement déterminé par les données contenues à l’intérieur et à la limite du domaine d’étude Ω, tandis que le comportement des ondes entrantes est spécifié par des données externes aux limites de Ω.

Remarque 1.12. Pour certains systèmes physiques, le nombre de conditions aux limites requis peut changer avec le temps, varier avec la position sur la frontière. Ceci nécessite un traitement aux limites qui tient compte des changements spatiaux et temporels de la solution ou un ajustement du nombre et du type de conditions aux limites [Thompson90] .

Dans cette thèse, on intéresse aux systèmes physiques pour lesquels un ensemble de conditions aux limites peut être spécifié pour tous les temps.

Les premiers travaux sur la définition des conditions aux limites classiques (dîtes de Dirichlet) pour les EDP hyperboliques sont connus sous le nom de condition uniforme de Kreiss [Kreiss70]. Dans [Benabdallah87], l’approche par la méthode de viscosité est introduite. Elle définit un ensemble de conditions aux limites admissibles qui vérifient une inégalité aux limites du domaine d’étude. Une technique de sélection des conditions aux limites admissibles par la résolution du problème de Riemann est développée dans [Dubois88] et [Meier012]. Bien que ces approches fournissent les conditions aux limites adéquates, elles demeurent difficile à implémenter. L’idée de l’utilisation de la caractéristique principale des EDP hyperboliques, pour définir les conditions aux limites est développée dans [Guailya013] inspirée des travaux de [Thompson90]. Un algorithme simple et général pour déterminer les conditions aux limites correctes fondées sur l’idée des caractéristiques entrantes et sortantes est proposé. Le choix des conditions aux limites pour le système (1.6) est basé sur cette approche. Le but est de donner une approche structurée pour la détermination du nombre de conditions aux limites pour un système hyperbolique de lois non conservatives du premier ordre défini en (1.6), en utilisant les relations entre les variables caractéristiques v et les variables primitives w. Le principe repose sur la théorie selon laquelle le nombre de conditions aux limites qui doivent être spécifiées à une limite donnée est égal au nombre d’ondes entrantes à ce point.

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Table des matières

Introduction générale
1 Systèmes à paramètres distribués
1.1 Définitions et classification
1.2 Exemples
1.3 Identification des paramètres, commande et estimation d’état
1.4 Synthèse d’observateurs
1.5 Sur le diagnostic à base de modèles
2 Objectifs de la thèse et champs applicatif
3 Contributions et organisation de la thèse
3.1 Contributions de la thèse
3.2 Organisation de la thèse
Chapitre 1 Observabilité des systèmes hyperboliques de lois de conservation avec terme source
1.1 Formulation du problème
1.1.1 Définition de la classe de systèmes considérés
1.1.2 Exemples de systèmes de distribution de flux
1.1.3 Observabilité
1.1.4 Observabilité exacte
1.2 Forme caractéristique et conditions aux limites
1.2.1 Condition d’hyperbolicité et forme caractéristique
1.2.2 Conditions aux limites de Dirichlet
1.2.3 Conditions aux limites sans flux
1.3 Le problème mixte : problème de Cauchy avec les conditions aux limites sans flux
1.3.1 Problème de Cauchy
1.3.2 Existence et unicité de la solution au problème mixte
1.4 Observabilité exacte frontières d’une ligne de transport de flux
1.4.1 Observation des deux côtés
1.4.2 Observation d’un côté
1.5 Systèmes de distribution de flux
1.5.1 Réseaux de systèmes hyperboliques de lois de conservation avec terme source
1.5.2 Conditions internes
1.5.3 Observabilité des réseaux en configurations étoile
1.5.4 Observabilité des réseaux ramifiés ou quelconques
1.6 Conclusion
Chapitre 2 Observateurs à dérivées partielles pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation avec terme source
2.1 Formulation du problème
2.2 Observateurs avec injection de l’erreur d’estimation aux frontières
2.2.1 Systèmes hyperboliques linéaires
2.2.2 Systèmes hyperboliques non linéaires
2.3 Observateurs robustes avec injection de l’erreur d’estimation aux frontières
2.3.1 Systèmes hyperboliques linéaires
2.3.2 Systèmes hyperboliques non linéaires
2.4 Observateurs robustes de type Luenberger
2.4.1 Systèmes hyperboliques linéaires
2.4.2 Systèmes hyperboliques non linéaires
2.5 Conclusion
Chapitre 3 Diagnostic de défauts d’un système de distribution de flux. Application à un réseau d’eau
3.1 Formulation du problème
3.1.1 Modélisation du système
3.1.2 Modélisation des défauts système
3.2 Diagnostic de défauts système
3.2.1 Génération de résidus
3.2.2 Résidus de détection et seuils adaptatifs
3.2.3 Estimation et localisation de défauts
3.3 Application au diagnostic de fuites sur le système de distribution d’eau de Polytech’Lille
3.3.1 Description du système et modèle mathématique
3.3.2 Observabilité du système de distribution d’eau
3.3.3 Synthèse de l’observateur
3.3.4 Détection de fuites
3.3.5 Estimation et localisation de la fuite
3.4 Conclusion
Conclusion générale

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