Formes explicites pour le polynôme de Frobenius-Euler généralisé d’ordre supérieur

Préliminaires

On obtient plusieurs relations de récurrence et formes explicites. Ces dernières permettent d’écrire les nombres r-Whitney s-associés en termes de nombres r-Whitney s-associés d’ordre inférieur et les nombres r-Whitney s-associés en termes de nombres r-Whitney (s − 1)-associés en utilisant dans la preuve la fonction génératrice exponentielle et la transformée binomiale. En suite on établit des identités combinatoires qui permettent d’écrire les nombres r-Whitney s-associés en termes de nombres r-Stirling s-associés en utilisant la matrice de Riordan. Dans la seconde section, on définit les polynômes r- Dowling s-associés et on donne leurs principales propriétés, ainsi on donne des relations de récurrence et formes explicites permettant d’écrire les polynômes r-Dowling s-associés en termes de nombres r-Dowling s-associés d’ordre plus petit et les polynômes r-Dowling s-associés en termes de polynômes r-Dowling (s−1)-associés en utilisant dans la preuve la fonction génératrice exponentielle, la transformée binomiale et la méthode de la matrice d’Euler Seidel. On donne aussi des résultats sur les nombres de Whitney s-associés et les polynômes de Dowling s-associés comme des cas spéciaux. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une formule explicite pour les po- lynômes de Bernoulli généralisés de paramètre m en termes de polynômes de Whitney généralisés.

On donne aussi une relation entre les nombres de Bernoulli généralisés et les nombres de Catalan et on génère le coefficient du nombre de cosécantes hyperboliques en termes du nombre de Bernoulli généralisé. En outre, on donne une formule explicite pour les polynômes d’Euler généralisés en termes de polynômes de Whitney gééralisés et on génère le coefficient de la sécante hyperbolique en termes du nombre d’Euler généralisé. On traite ainsi les polynômes de Frobenius-Euler généralisés H(m) n (x, _|_) d’ordre _ (dans C avec _ 6= 1) et les polynômes de Frobenius-Genocchi que nous exprimons en termes de polynômes de Whitney généralisés de seconde espèce. Ensuite, on introduit les polynômes de Whitney translatés de seconde espèce et on écrit les polynômes de Bernoulli généralisés, les polynômes d’Euler généralisés et les polynômes de Frobenius-Euler généralisés en termes des polynômes de Whitney translatés de seconde espèce. On complète ce chapitre par une relation de récurrence à trois termes pour calculer les polynômes de Frobenius-Euler généralisés H(m) n (x,_|_) d’ordre _. Nombres r-Whitney associés aux treillis de Dowling et polynômes r-Dowling Dans ce chapitre on présente les nombres r-Whitney associés aux treillis de Dowling, les nombres et polynômes r-Dowling et les nombres et polynômes r-Dowling ordonnés. On donne des formules explicites, des relations de récurrences, des identités combinatoires.

On trouve une relation reliant les nombres r-Whitney de première espèce aux nombres de Stirling de seconde espèce et une autre relation lie les nombres r-Whitney de seconde espèce aux nombres de Stirling de première espèce, on présente des identités qui lient les deux types de nombres r-Whitney aux coefficients binomiaux. On donne la fonction génératrice ordinaire de la suite des polynômes r-Dowling, on exprime les polynômes r-Dowling à l’aide des nombres r-Whitney de première espèce et à l’aide des nombres r-Whitney de seconde espèce et on prouve une relation entre les polynômes r-Dowling et ceux de r-Bell et aussi de Bell. Ainsi, on trouve une expression explicite lie les polynômes r-Dowling aux nombres r-Whitney de seconde espèce et polynômes r-Dowling précédents, nous donnons une formule explicite pour les polynômes r-Dowling liés aux nombres r-Whitney de première espèce, nous les exprimons également en une famille de bases spécifiques. On trouve une formule explicite et une relation de récurrence des polynômes r-Dowling ordonnés, on donne une relation lie les polynômes r-Dowling ordonnés aux polynômes r-Bell ordonnés. On étudie aussi les nombres et polynômes r-Eulériens de Dowling et on déduit que les polynômes r-Dowling ordonnés sont liés aux nombres r-Eulériens de Dowling.

Conclusion et perspectives

Dans cette thèse, on a présenté quelques résultats théoriques sur les nombres r- Whitney associés aux treillis de Dowling, les nombres et polynômes r-Dowling, les nombres et polynômes r-Dowling ordonnés et les nombres et polynômes r-Eulérien de Dowling. Ces nombres ont une place importante dans le domaine de la combinatoire. Un autre type de nombres combinatoires que nous avons étudiés sont les nombres r-Whitney s-associés et les nombres et polynômes de Dowling s-associés. On a déduit une formule explicite pour les polynômes de Bernoulli généralisés et les polynômes d’Euler généralisés en termes des polynômes de Whitney généralisés de seconde espèce et en termes des polynômes de Whitney translatés de seconde espèce. Aussi, on a déduit une formule explicite pour les polynômes de Frobenius-Euler généralisés d’ordre supérieur et les polynômes de Frobenius-Genocchi en termes des polynômes de Whitney de seconde espèce généralisés et en termes de polynômes de Whitney translatés de seconde espèce. On a conclut une relation de récurrence pour calculer les polynômes de Frobenius-Euler généralisés d’ordre supérieur. Dans les perspectives de notre travail, plusieurs axes de recherche ne semblent prometteurs. Nous proposons quelques problèmes : • Zeros, log concavité et unimodalité des nombres r-Whitney s-associés. • Les congriences mod(pl), l _ r, des polynômes r-Dowling s-associés D (s) m,mp+r(n,x). • Il serait d’étudier les différents propriétés des nombres de Lah-Whitney s-associés et des nombres de Lah r-Whitney s-associés.

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Table des matières

Introduction
1 Préliminaires
1.1 Notations
1.2 Relation d’équivalence, ensembles ordonnés, treillis
1.2.1 Relation d’équivalence
1.2.2 Ensembles ordonnés
1.2.3 Treillis
1.2.4 Fonction de Möbius, polynôme caractéristique
1.3 Dénombrement
1.3.1 Transformée binomiale
1.4 Fonctions génératrices
1.5 Nombres de Stirling, nombres et polynômes de Bell et nombres et polynômes de Bell ordonnés
1.6 Nombres r-Stirling, nombres et polynômes r-Bell, nombres et polynômes r-Bell ordonnés
1.7 Matrice de Riordan
1.8 Fonction Gamma
1.9 Série hypergéométrique
1.10 Nombres harmoniques et généralisations
1.11 Nombres et polynômes de Bernoulli
1.11.1 Nombres de Bernoulli généralisés
1.12 Nombres de Catalan
1.13 Matrice d’Euler Seidel
1.14 Nombres de Whitney associés aux treillis de Dowling
1.14.1 Treillis de Dowling
1.14.2 Nombre de Whitney de première et de seconde espèce
1.15 Nombres et polynômes de Dowling
1.16 Nombres et polynômes de Dowling ordonnés
1.16.1 Exemples et tables
1.16.2 Nombres et polynômes Eulériens de Dowling
2 Nombres r-Whitney associés aux treillis de Dowling et polynômes r– Dowling 43
2.1 Nombres r-Whitney de première et de seconde espèce
2.1.1 Fonctions génératrices
2.1.2 Orthogonalité
2.1.3 Identités combinatoires
2.2 Nombres et Polynômes r– Dowling
2.2.1 Fonctions génératrices
2.2.2 Quelques identités
2.3 Nombres et polynômes r-Dowling ordonnés
2.3.1 Fonctions génératrices
2.3.2 Identités combinatoires
2.4 Nombres et polynômes r-Eulériens de Dowling
3 Transformé binomiale et nombres r-Whitney 69
4 Nombres r-Whitney s-associés et nombres et polynômes r-Dowling sassociés
4.1 Nombres r-Whitney s-associés
4.1.1 Relations de récurrence et expressions explicites
4.1.2 Identités combinatoires
4.2 Polynômes r-Dowling s-associés
4.2.1 Fonctions génératrices
4.2.2 Relations de récurrence et expressions explicites
5 Formes explicites pour le polynôme de Frobenius-Euler généralisé d’ordre supérieur
5.1 Introduction
5.1.1 Les premières valeurs des polynômes de Whitney généralisés de seconde espèce
5.2 Formule explicite pour le polynôme de Bernoulli généralisé de paramètre
5.3 Formule explicite pour le polynôme d’Euler généralisé
5.4 Formule explicite pour le polynôme de Frobenius-Euler généralisé
5.5 Formule explicite pour le polynôme de Frobenius-Genocchi d’ordre supérieur
5.6 Qu’en est-il des nombres de Whitney translatés
5.6.1 Les polynômes de Bernoulli généralisés
5.6.2 Les polynômes d’Euler généralisés
5.6.3 Les polynômes de Frobenius-Euler généralisés
5.7 Relation de récurrence pour les polynômes de Frobenius-Euler généralisés d’ordre supérieur
5.7.1 Les premiers termes de A
Conclusion et perspectives