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Les indices géomagnétiques et solaires
Un indice consiste en une suite de valeurs discrètes destinées à fournir une information résumée, pertinente et fiable sur l’évolution au cours du temps d’un phénomène. Nous allons considérer l’indice planétaire d’activité magnétique Kp, l’indice d’activité du courant annulaire Dst et l’ indice de flux radio solaire F10.7. L’indice Kp sert spécialement à sélectionner lesjournées calmes tandis que les deux autres indices sont utilisés comme paramètres d’entrée dans le modèle CM4.
L’indice planétaire d’activité magnétique Kp
L’indice Kp a été introduit par Bartels en 1949. Il est établi à partir des mesures effectuées en 13 stations, de latitude comprise entre 44° et 60°. Du fait des conditions géopolitiques qui prévalurent lors de la création de cet indice (guerre froide), les stations sont inégalement réparties à la surface du globe : 11 sont situées dans l’hémisphère Nord (4 en Amérique du Nord et 7 en Europe), et 2 dans l’hémisphère Sud (Australie et Nouvelle Zélande). Les indices K (Bartels et al., 1939) de chacune des stations sont d’abord standardisés à l’aide de tables établies par Bartels à partir d’un échantillon de référence, afin de suprimer les effets des variations avec le temps universel et la saison sur l’activité magnétique. Pour chaque intervalle tri-horaire, la valeur de l’indice Kp est la moyenne arithmétique des indicesK standardisés. Il est exprimé sur une échelle de 0 à 9, avec une résolution de 1/3. Pour les valeurs non entières les symboles + et – sont utilisés . Ainsi 5- correspond à 4 2/3, et 5+ à 5 1/3.
L’indice Kp caractérise les effets du vent solaire sur le champ géomagnétique. Il quantifie sur une période de 3 heures le niveau de perturbation engendré par la composante instable du champ horizontal. Chaque niveau d’activité est en relation quasi logarithmique avec l’amplitude de la perturbation correspondante. Les indices mesurés toutes les trois heures permettent de discriminer les véritables perturbations du champ géomagnétiquedes variations produites par les courants ionosphériques. Ils intègrent à la fois les effets des courants alignés et ceux du courant annulaire, et fournissent ainsi une bonne estimation du niveau planétaire moyen de l’activité magnétique d’origine magnétosphérique.
Les valeurs tri-horaires de Kp sont publiées régulièrement dans le Bulletin Mensuel du SIIG (Service International des Indices Géomagnétiques) et également disponibles sur le site ftp://ftp.ngdc.noaa.gov/STP/GEOMAGNETIC_DATA/INDICES/KP_AP/ du NGDC (National Geophysical Data Center). Ces valeurs sont rangées par intervalles de rotations solaires de 27 jours, comptées depuis le 08 février 1832 (exemplefigure 1.4a).
L’indice d’activité du courant annulaire Dst
L’indice Dst (Disturbed storm time) caractérise l’activité du courant annulaire, situé dans le plan équatorial de la magnétosphère à une distance de ~3 à 5 R T (rayon terrestre). Il traduit l’effet des courants quasi symétriques circulant à haute altitude et vers l’Ouest provoquant la « phase principale » de la dépression mondiale dans la composante horizontale du champ durant les orages magnétiques. Il a été introduit par Sugiura et Poros en 1969. Les valeurs de Dst s’expriment en nanoTeslas. Depuis 1970, les valeurs horaires sont publiées dans la série des IAGA Bulletins N°32. Sugiura et Kamei ont récemment recalculé unesérie homogène de valeurs horaires du Dst pour les années 1957-1986, en utilisant les donnéesde quatre stations. Ces valeurs sont publiées dans le IAGA Bulletin N° 40 . Les valeurs horaires du Dst valables pour l’Année Géophysique Internationale, basées sur les données de huit stations sont publiées dans le volume 35 desAnnals of the IGY. Les valeurs provisoires du Dst sont publiées régulièrement dans le Bulletin mensuel du SIIG, et dans Solar Geophysical Data.
L’indice Dst est actuellement calculé à partir des moyennes horaires de la composante horizontale H calculées en un réseau de 4 observatoires suffisamment distants de l’électrojet auroral et de l’électrojet équatorial, et régulièrement répartis en longitude. En chaque station, la ligne de base est la somme de la variation séculaire et de la variation diurne. Elle est estimée à partir des valeurs de H mesurées durant les 5 joursles plus calmes (jours Q internationaux) de chaque mois : leurs valeurs moyennes annuelles sont utilisées pour estimer la contribution de la variation séculaire (polynôme du second degré en fonction du temps universel), et les variations diurne moyennes pour chaque mois pour estimer la variation diurne (double série de Fourier en fonction du temps local et du numéro du mois). Les valeurs horaires de Dst sont également disponibles sur le site ftp://ftp.ngdc.noaa.gov/STP/GEOMAGNETIC_DATA/INDICES/DST/ du NGDC.
L’indice de flux radio solaire F10.7
Cet indice n’est pas un indice d’activité magnétosphérique au sens propre, mais un indice d’activité solaire. L’activité du Soleil gouverne ’apportl d’énergie dans l’environnement ionisé de la Terre. Cet indice peut donc se révéler très utilepour les études magnétosphériques et de météorologie de l’espace, et il est indispensable ommec paramètre d’entrée à certains modèles de la haute atmosphère terrestre.
L’indice de Flux Radio Solaire Décimétrique représente l’intensité du flux radio solaire à la fréquence de 2800 MHz, soit une longueur d’onde de 10.7 cm . Il est mesuré, à raison d’une valeur par jour, en unités de flux solaire, où chaque unité est égale à 10 Watts m Janskys, l’unité de mesure standard en radioastronomie. Le rayonnement radio à 10.7 cm de longueur d’onde présente une légère variation d’intensité. Ce flux d’énergie trouve son origine dans les régions éloignées de la chromosphère solaire et dans la basse couronne, en réponse à l’activité des taches solaires. Les niveaux d’intensité radio sont mesurés en sélectionnant trois sources : dans une zone non perturbée de la surfacesolaire, dans une région active se développant et dans une région plus intense que le niveau journalier mais de courte vie. La densité du flux radio solaire est mesurée quotidiennement près d’Ottawa à midi local (17h00 TU). Ces valeurs sont ensuite corrigées du gain de l’antenne, de l’absorption atmosphérique et de la température du fond du ciel.
Il existe encore d’autres indices mais les trois indices que nous venons de décrire sont suffisants pour modéliser le champ externe. Considérons d’abor la partie dominante du champ externe qui est la variation diurne.
Modélisation de la variation Sq
En raison de la présence de pics très nets sur lesspectres des inégalités horaires, la variation diurne devrait être facile à modéliser. Néanmoins,elle dépend aussi de l’activité magnétique d’origine magnétosphérique. Selon un ouvrage classique (Chapman et Bartels, 1940), la notion d’activité magnétique est décrite comme suit : « Les enregistrements magnétiques d’un observatoire montrent que, certains jours, les trois éléments du champ présentent des variations douces et régulières, tandis que d’autres jours, les variations sont plus ou moins irrégulières. Les jours de la première catégorie sont dits magnétiquement tranquilles ou calmes ; les jours de la seconde catégorie sont appelés magnétiquement actifs ou perturbés. Le niveau d’activité magnétique ou de perturbation varie de jour en jourdans une large proportion, et quelques jours semblent entièrement exempts de perturbation. » Mais excepté dans des périodes d’activité intense ou orages magnétiques, il est évident d’après les magnétogrammes que la perturbation est superposée à une variation journalière « régulière» notée SR (voir figure 2.1a). La partie parfaitement régulière (sans aucune perturbation) de SR est appelée variation Sq (Sq : Solar quiet).
a) allure des valeurs moyennes horaires des journées calmes 1993 : année d’activité solaire moyenne 1996 : année d’activité solaire minimale 2000 : année d’activité solaire maximale
b) variation diurne obtenue en prenant comme niveau-zéro les valeurs des heures locales nocturnes de 20h à 3h.
Rappelons que le terme « régulière » a un double sens : d’abord une variation est dite régulière lorsqu’elle est douce ; ce premier sens est donc relatif à la morphologie de la variation. Mais ce terme est également relatif à la répétition dans letemps d’une variation (sens temporel). Ainsi une variation est dite régulière lorsqu’elle se produitde nouveau et chaque fois à des intervalles fixes dans le temps. La variation Sq de chaque mois est ordinairement définie par la variation représentée par la série des valeurs moyennes horaires, en temps local, pour les cinq jours les plus calmes internationaux de ce mois. Cette variation Sq est donc parfaitement définie d’un point de vue statistique. Par contre, elle est déterminée par rapport à un niveau de référence ou niveau zéro (Mayaud, 1967) dont la définition est plus problématique.
Niveau zéro et choix des journées calmes
Nous devons d’abord sélectionner les journées calmes car l’allure de la variation diurne n’est effectivement nette que pour des journées calmes. Nous pouvons ensuite choisir le niveau zéro correspondant. A titre d’illustration, l’allure des valeurs moyennes horaires des journées calmes observée sur lafigure 2.1a nous permet de prendre comme niveau zéro une courbe passant par les heures locales nocturnes de 20 heures à 03 heures l ocales, que nous appelons « niveau nocturne ». Ce choix est tout à fait conforme à la caractéristi que de la variation diurne que l’on considère comme pratiquement nulle pendant la nuit, comme nous voyons sur la figure 2.1b (voir égalementfigure 1.1a).
Comme les valeurs nocturnes peuvent varier considérablement d’une nuit à l’autre, nous ne pouvons pas utiliser simplement une interpolation mais nous utilisons plutôt une spline d’ajustement des valeurs de nuit pour déterminer le niveau de référence de chaque composante. La variation du niveau de référence est essentiellement d’origine magnétosphérique. C’est un niveau fondé sur les valeurs nocturnes mais valable aussi le jour. Nous appelons « résidus horaires » la différence entre les moyennes horaires et le niveau de référence correspondant. Les figures 2.2a et 2.2c nous montrent l’allure du niveau de référence de haquec composante respectivement pour les mois d’avril 2000 (qui contient des journées très perturbées mais aussi des journées très calmes) et décembre 2000 (qui estprincipalement constitué par des journées plus ou moins perturbées). Remarquons qu’il y a une bonne corrélation entre le niveau de référence et l’indice Dst (§ 2.1.2). Ce dernier estdonc indispensable pour la modélisation complète du champ externe, en particulier, le champ d’origine magnétosphérique. Nous en parlerons un peu plus au cours de l’étude du modèleCM4 (§ 2.3.2).
Le choix des journées calmes pour la modélisation ed la variation Sq ne peut pas se faire seulement en considérant des valeurs de l’indice planétaire Kp (§ 2.1.1) les plus faibles, mais il faut également tenir compte de l’allure des résidushoraires sur les trois composantes. Prenons l’exemple du mois d’avril 2000 de la figure 2.2b : les dix jours ayant les plus faibles valeurs de Kp sont par ordre de Kp croissants : 26, 14, 22, 18, 25, 15, 23, 13, 12, 11 (voir figure 2.2e). Or l’allure des résidus horaires pour chacun d’eux n’est pas toujours régulière. C’est par exemple le cas de la composante X de la journée du 26 (premièr journée la plus calme selon Kp). Il en est de même pour les composantes Y et Z de la journée ud 14 (deuxième journée la plus calme selon Kp).
Comparaison avec un modèle global
Le modèle de Sq établi avec des séries de Fourier récédentp est fait spécialement pour la station TAN. La variation Sq varie dans l’espace, plus particulièrement en fonction de la latitude. Pour deux stations situées à la même latitude magnétiquet des longitudes différentes, les extrema ont lieu sensiblement aux mêmes heures locales. Pour bien comprendre la variation de Sq à l’échelle planétaire, nous allons parler d’abord de son origine. En 1889, Schuster montra que la variation Sq provenait pour deux tiers environ de sources se trouvant dans la haute atmosphère et pour un tiers de sources internes résultant d’un effet d’induction dans les masses conductrices du Globe. Il est possible de calculer une infinité de systèmes de courants qui rendent compte d’une variation geom_util/sq1.shtml d’origine externe, mais si l’on fait l’hypothèse que les courants circulent dans une nappe horizontale d’altitude fixée, la solution devient nique.
Il est admis actuellement que la variation Sq est causée par des systèmes de courants électriques circulant principalement dans les couches E et F de l’ionosphère. Ces systèmes de courants existent en permanence, quelle que soit la variabilité jour à jour de leur déplacement en latitude, de leur forme et de la fluctuation de l’intensité de leurs courants autour d’une valeur moyenne. Leur existence permanente, jointe au fait qu’ils restent dans une position approximativement fixe par rapport au Soleil, provoque l’occurrence journalière régulière (Wasserfall, 1953, Mayaud, 1967). Néanmoins, au cours de chaque rotation de la Terre, ces systèmes de courants peuvent changer de forme, varier en intensité ou se déplacer en latitude ; et, de fait, les variations jour à jour de l’un ou l’autre de ces paramètres causent la variabilité jour à jour de la variation SR qui se distingue donc de la variation théorique Sq. Mais cette variabilité, parce qu’elle s’effectue seulement autour d’une valeur moyenne, ne masque pas la propriété spécifique du phénomène et peut être modélisée à l’aide d’un modèle global.
En 1989, Campbell et al. ont établi un modèle global pour pouvoir calculerla variation Sq en tout point du globe. Ils ont utilisé les données de 99 bservatoires se trouvant principalement sur des continents en sélectionnant des journées très calmes (valeurs d’indice Kp inférieures à 3) depuis 1934. L’année 1965, qui est une année d’activité solaire minimale, en contient le plus grand nombre. Les observatoires sont regroupés selon les régions ou l’hémisphère où ils se trouvent, plus particulièrement selon la latitude (Campbell et Schiffmacher, 1985, 1988). La plupart des données disponibles pour les 99 observatoires considérés, sont des valeurs échantillonnées avec un pas de 2.5 minutes, mais il y en a également quelques uns qui n’ont que des valeurs horaires. La contribution lunaire est éliminée en utilisant neu méthode décrite par Matsushita et Campbell (1972). Pour une année donnée et pour un observatoire, chaque composante (H, D ou Z) est représentée à l’aide de 40 coefficients sur le modèle des équations 2.1. Un lissage de ces coefficients est ensuite utilisé pour déterminer lavariation Sq en tout point de chaque groupe d’observatoires, en particulier suivant la latitude . Enfin, un développement en harmoniques sphériques permet d’obtenir la variation Sq en tout point du globe. Ce modèle est désigné par WDCA/SQ1 et valable de 1940 à 2005. Il est bien sûr plus adapté aux journées calmes et aux années d’activité solaire minimale. Le programme correspondant s’appelle SQ1MODEL.EXE et est disponible auprès du National Geophysical Data Center (NGDC) http://www.ngdc.noaa.gov/seg/ . Nous avons choisi les quinze premiers jours (contenant plusieurs journées consécutivement calmes) du mois d’avril 1996 (annéed’activité solaire minimale) pour pouvoir comparer les résultats. Nous voyons sur lafigure 2.6 que la variation Sq obtenue par le modèle global de Campbell et celle que nous avons calculée par la méthode des séries de Fourier (méthode de Malin et Winch) présentent pratiquementles mêmes sens de variation. Cependant, le modèle global produit une petite variation plus ou moins importantes pendant les heures nocturnes : -4nT environ sur X, 3nT sur Y et –3nT s ur Z. Les variations calculées par les deux modèles ont sensiblement les mêmes amplitudes maximales et la même position du maximum pour la composante Z. Par contre, nous observons un petit décalage sur la position du maximum pour les deux autres composantes : 2 heures 15 minutes environ sur X et 45 minutes sur Y. Nous avons pratiquement les mêmes amplitudes de variation sur la composante X mais la variation calculée par le modèle global est plus faible à cause de la petite variation nocturne et du déphasage mentionnés ci-dessus. Sur la composante Y, nous observons un décalage constant, d’environ 6nT, entre les extrema déterminés par lesdeux modèles, et la variation calculée par le modèle global est la plus petite. En outre, les deux courbes ne sont pas identiques à cause de la petite variation nocturne. Pour l’instant, nous n’a vons pas d’explication précise sur l’origine de ces petites anomalies, en particulier le petit déphasage observé sur X et Y, mais il est très probable que ceci est dû à l’insuffisance des données de TAN introduites dans le modèle car la qualité d’un modèle dépend évidemment des donnéestiliséesu.
Variations de longue période dans ρ
Les variations de longue période non modélisée parCM4 sont d’origine interne δBi (O, h) et externe be (O, h) ; il est notoirement difficile de les séparer directement. Tout ce que nous savons est que la première variation (variation séculaire)est régulière (au sens morphologique du terme) et que la seconde présente un caractère relativemen aléatoire et devant être en relation avec le cycle solaire de 11 ans (Gavoret et al., 1986). Par conséquent, en calculant la moyenne annuelle glissante de ρ(O, h) centrée sur l’heure h, et pour les heures nocturnes des journées calmes afin de diminuer l’effet indésirable des perturbations externes de courte période, nous obtenons la somme de ces deux variations de longue période, soit: r (O, h) r i (O, h) r B b e (O, h) (3.4)
La variation de(O, h) durant la période de 1994 à 2004 est représentée urs les figures 3.3 à 3.6 (la signification de K’ est expliquée au paragraphe3.1.2). Nous y voyons une bonne corrélation avec le nombre de Wolf lissé R(h) , à un facteur multiplicatif près, plus particulièrement sur les deux composantes horizontales. Les valeurs de R(h) sont disponibles auprès du Sunspot Index Data Center à l’adresse http://sidc.oma.be/html/sunspot.html.
(O, h) est généralement faible sur Z sauf à partir de 2003 où nous observons une variation prononcée. Au passage, ceci illustre la nécessitéedréactualiser les modèles géomagnétiques pour qu’ils soient à jour et utilisables en permanence. Cette procédure est prévue pour les futurs modèles de champ géomagnétique, apportant de plus esd améliorations importantes (Olsen et al., 2005). Dans notre cas, le modèle CM4 est tout à fait suffisant car les données des stations de répétition de Madagascar les plus récentes datented2001. Cherchons maintenant une manière de modéliser le champ(O, h) .
Applications aux données réelles
Notre objectif est bien sûr d’obtenir une précisionaussi bonne que possible sur les données réduites. Rappelons que le modèle CM4 a été établiàpartir des valeurs moyennes horaires, et qu’il est réputé valable essentiellement pour lesournéesj calmes. L’indice Dst lui aussi est un indice horaire et nous avons travaillé sur des valeurs horaires jusqu’ici. Or, les données à traiter sont des valeurs instantanées rapportées à des heures et minutes quelconques. Par conséquent, pour mieux atteindre notre but, nous devons aussi examiner le passage d’une valeur horaire à une valeur instantanée ou vice-versa.
Valeur horaire et valeur instantanée
Presque tous les modèles existant du champ géomagnétique ont été établis à partir des valeurs horaires. Par contre, le passage d’une valeur horaire à une valeur instantanée n’est pas encore abordé. Cette étude nécessite évidemment une sériecontinue de valeurs minutes. Nous désignons par valeur horaire la valeur horaire moyenne du champ à un instant h qui correspond généralement à la minute 30 de l’heure en cours etnous avons au maximum 24 valeurs horaires dans une journée. Et nous désignons par valeur instantanée la valeur du champ à une minute t et nous avons au maximum 1440 valeurs instantanées dans une journée. Etant donné que l’indice planétaire Dst est un indice horaire, sa valeur à l’instant t quelconque s’obtient raisonnablement avec une spline d’interpolation. Ce qui fait que la valeur correspondante calculée par CM4 sera l’équivalent d’une valeur obtenue par une spline d’interpolation qui peut présenter une différence plus ou moins grande avec la vraie valeur instantanée. Pour éviter toute ambiguïté, notonsS t l’instant où la valeur correspondante du champ est obtenue par une spline d’interpolation et t l’instant qui correspond à une valeur minute instan tanée. t et t peuvent être tous deux une valeur minute quelconque de la journée. A titre d’illustration, B(O, t S ) et B(O, t) sont représentés sur la
figure 4.8 pour la journée du 20 novembre 2001 qui comprend à la fois une période calme et une r r période perturbée. Nous voyons sur cettefigure 4.8 que la différence entre B( O, t) et B(O, t S ) dépend principalement du niveau d’agitation magnétique. Notons cette différence instantanée par:
r r r B(O, t) = B(O, t) – B(O, tS ) (4.6)
Remarquons que tS = t maisr r B(O, tS ) ¹ B(O, t) . Par analogie avec les inégalités mensuelles, r journalières et horaires de la première partie de notre travail, nous allons appeler B(O, t) « inégalités minutes ». C’est la différence entreesl valeurs minutes instantanées et les valeurs minutes obtenues par interpolation des valeurs moyennes horaires avec une spline.
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Table des matières
Première partie : ANALYSE DU CHAMP EXTERNE À ANTANANARIVO POUR LA RÉDUCTION DES DONNÉES
Introduction
Chapitre 1 : Analyse des séries temporelles de TAN
1.1- Présentation des données disponibles
1.1.1- Les données historiques jusqu’en 1992
1.1.2- Les données depuis 1993
1.2- Méthodes d’analyse des séries temporelles
1.2.1- Comblement de lacunes
1.2.2- Analyse spectrale
1.3- Résultats et discussions
1.3.1- Inégalités horaires
1.3.2- Inégalités journalières
1.3.3- Inégalités mensuelles
Chapitre 2 : Modélisation du champ d’origine externe
2.1- Les indices géomagnétiques et solaires
2.1.1- L’indice planétaire d’activité magnétique Kp
2.1.2- L’indice d’activité du courant annulaire Dst
2.1.3- L’indice de flux radio solaire F10.7
2.2- Modélisation de la variation Sq
2.2.1- Niveau-zéro et choix des journées calmes
2.2.2- Formules
2.2.3- Comparaison avec un modèle global
2.3- Etude du modèle CM4
2.3.1- Données et systèmes de coordonnées
2.3.2- Paramètres et équations
2.3.3- Résultats préliminaires
2.3.4- Quelques corrections à faire
Deuxième partie : ÉLABORATION D’UNE BANQUE DE DONNÉES POUR LA MODÉLISATION RÉGIONALE
Introduction
Chapitre 3 : Adaptation du modèle CM4
3.1- Formulation du problème
3.1.1- Variations de longue période dans ρ r
3.1.2- Modélisation de ) h , O ( r r
3.1.3- Modélisation de la variation séculaire résiduelle
3.1.4- Variations de courte période dans ρ
3.2- Réduction des données des stations de répétition
3.2.1- Méthode classique
3.2.2- Approche fondée sur le modèle CM4
Chapitre 4 : Applications et résultats
4.1- Résultats préliminaires et discussions
4.1.1- Estimation de l’erreur commise
4.1.2- Discussions sur le champ réduit
4.2- Article : Repeat Station Data Reduction using the CM4 Model
4.3- Applications aux données réelles
4.3.1- Valeur horaire et valeur instantanée
4.3.2- Format de données et algorithme du programme
Chapitre 5 : Les données disponibles
5.1- Le réseau magnétique de répétition malgache
5.1.1- Historique
5.1.2- Les stations de répétition depuis 1983
5.1.3- Les données existantes
5.2- Contrôle de la qualité des données
5.2.1- Précision des mesures absolues
5.2.2- Comparaison avec des modèles globaux
Troisième partie : MODÉLISATION RÉGIONALE DU CHAMP MAGNÉTIQUE
Introduction
Chapitre 6 : Les méthodes de modélisation existantes
6.1- Méthodes usuelles
6.1.1- Modélisation globale
6.1.2- Modélisation polynômiale de surface
6.1.3- Modélisation en Harmoniques Sphériques Rectangulaires
6.2- Décomposition en Harmoniques dans un domaine conique fini
6.2.1- Géométrie et formulation du problème
6.2.2- Résolution des problèmes de conditions aux limites homogènes
6.2.3- Résolution des conditions aux limites non homogènes
6.2.4- Considérations numériques et limitations de la méthode
Chapitre 7 : Proposition d’un nouveau formalisme
7.1- Géométrie et système de coordonnées du nouveau problème
7.1.1- Paramètres géométriques et changement de repère
7.1.2- Coordonnées coniques elliptiques (r,v,w)
7.1.3- Expression des composantes du champ
7.1.4- Expression de l’opérateur laplacien
7.2- Résolution de l’équation de Laplace dans le nouveau domaine
7.2.1- Fonctions de Lamé de degré n entier
7.2.2- Fonctions de Lamé pour n(n+1) réel
7.2.3- Recherche des racines nq et n’q
7.2.4- Expressions des potentiels V1 et V2
7.3- Considérations numériques et problème inverse
7.3.1- Étude préliminaire
7.3.2- Mise en équation du problème inverse
7.3.3- Données utilisées et évaluation de l’erreur
7.3.4- Résultats et discussions
Conclusion
CONCLUSION GÉNÉRALE ET PERSPECTIVES
ANNEXES
Annexe A : Filtrage et décimation
Annexe B : Ajustement par une suite de polynômes orthogonaux
Annexe C : Inversion stochastique
Annexe D : Passage des coordonnées géodésiques (h, l, j) aux coordonnées géocentriques (r, l0, j)
Annexe E : Relations de récurrence pour le calcul des fonctions de Lamé généralisées
Annexe F : Normalisation des différentes fonctions utilisées
Annexe G : Coordonnées des aérodromes de Madagascar utilisés dans le problème inverse
LISTE DES FIGURES
LISTE DES TABLEAUX
BIBLIOGRAPHIE
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