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MODELISATION PHYSIQUE DE LA CONSOLIDATION DES SOLS
INTRODUCTION
L’application des ordinateurs et les besoins de l’industrie aéronautique sont à l’origine du développement rapide de la mécanique des structures entre 1950 et 1960. C’est à cette époque que Turner, Martin et Topp (1956) introduise le concept d’éléments finis en représentant un milieu continu élastique à deux dimensions par un assemblage de panneaux triangulaires sur lesquels les déplacements sont supposés variés linéairement (Dhatt et Touzot, 1984). Peu après, Argyris et Kelsey (1960) (cité par Atwa et al, 2000) systématisent l’utilisation de la notion d’énergie dans l’analyse des structures et, dès les années 60, la méthode des éléments finis est reconnue comme un outil général de résolution d’équations aux dérivés partielles dans le domaine des structures, partie de la mécanique des milieux continus.
Le succès de la méthode des éléments finis dans le domaine de la géotechnique s’explique par les possibilités que cette méthode offre pour l’analyse du fonctionnement des ouvrages, des structures et des terrains, et pour l’évaluation des champs de déformations et de contraintes sous diverses sollicitations. Plus précisément, l’analyse par la méthode des éléments finis permet de modéliser les aspects essentiel suivants : l’hétérogénéité du comportement des matériaux, la géométrie des ouvrages et leurs environnements, l’interaction entre les terrains et les structures (mise en place d’un revêtement de tunnel, influence des ouvrages anciens sur une nouvelle construction, l’intersection des galeries souterraines).
METHODOLOGIE A SUIVRE POUR L’ELABORATION D’UN MODELE EN GEOTECHNIQUE
Le souci de reproduire aussi fidèlement que possible le comportement rhéologique des sols fins a conduit un bon nombre de chercheur à mettre au point des modèles plus ou mois complexes1 ; en ce qui nous concerne, nous nous somme limité au modèle des sols fins.
MODELE DE FONCTIONNEMENT D’UN OUVRAGE
Pour un ouvrage donné, l’utilisation d’un code de calcul par élément finis (CESAR-LCPC) permet de construire un model de fonctionnement capable de décrire d’une manière plus au mois approché le comportement observé de cette ouvrage. Ce modèle de fonctionnement fait appel à trois domaines des sciences de l’ingénieur :
La mécanique des milieux continus apporte un cadre mathématique pour cette modélisation en assimilant la matière à un milieu continu et en permettant la définition des notions de déformation, de contrainte et de lois de comportement.
La rhéologie, par l’étude expérimentale de comportement des matériaux, permet de formuler et de valider une description mathématique de comportement d’un échantillon de volume représentatif. Cette description se traduit par des lois de comportement exprimant, en tout point matériel, de formation et leurs accroissements respectifs.
Le calcul numérique fournit les moyens de résoudre d’une manière approximative des équations aux dérivées partielles décrivant le problème physique qui est posé : ces moyens sont constitués, d’une part, par la méthode des éléments finis et, d’autre part, par algorithme de résolution adapté au problème mathématique.
ELABORATION D’UN MODELE DE FONCTIONNEMENT
Dans le domaine de la géotechnique, l’utilisation d’un code de calcul par éléments finis requient la connaissance d’un certains nombres d’informations concernant la structure du site (sondage et reconnaissance des différentes couches de sol, l’état initial mécanique et hydraulique, présence de discontinuités), le comportement des matériaux (prélèvement d’échantillons et essais de laboratoire, essai in situ), la nature des sollicitations appliquées, la géométrie de l’ouvrage considéré ou des travaux envisagés. Ces informations permettent de réaliser la modélisation du problème posé et de faire toutes les hypothèses simplificatrices sur le comportement des matériaux, les lois de chargement et la géométrie de problème physique.
D’une manière plus générale, l’ingénieur chargé d’étudier un projet qui décide d’utiliser la méthode des éléments finis doit se poser les questions suivantes et y répondre avant d’élaborer toute modélisation :
L’hypothèse d’un milieu continu est-elle acceptable à l’échelle du calcul envisagé ?
Comment représenter les éventuelles discontinuités du milieu ?
La géométrie du milieu présente – elle- des symétries planes ou une symétrie de révolution ? Le milieu possède – il une dimension privilégiée ? Si oui, est-il possible de simplifier le maillage compte tenu des chargements appliqués à des conditions aux limites imposées ? Autrement dit, le problème peut-il être modélisé en déformation plane ou en déformation axisymétrique ?
Si les sols peuvent être prélevés d’une manière satisfaisante, de quels essais en laboratoire dispose-t-on pour caractériser le comportement des matériaux : essais œdométrique, essais triaxiaux en compression, en extension, avec une phase de déchargement ?
Les chemins de contraintes probables aux alentours de l’ouvrage ont-ils été reproduits par les essais de laboratoire ?
Quel choix effectuer pour les lois de comportement des matériaux ?
La détermination des paramètres est-elle possible et si oui est-elle satisfaisante ?
Quel peut être l’intervalle de variation de ces paramètres ?
Les essais en place montrent-ils une forte variation spatiale des propriétés des matériaux ? L’état initial mécanique des matériaux et l’état initial hydraulique sont-ils bien connus ? Quel choix effectuer pour la loi de chargement ? Est-il possible de modéliser les conditions d’exécution de l’ouvrage et de phasage des travaux ?
Les réponses à ces questions constituent le choix de l’ingénieur en fonction des informations dont il dispose.
MODELISATION ET RECONNAISSANCE GEOTECHNIQUE
Les ouvrages réels et leur environnement présentent rarement une géométrie tridimensionnelle simple. Cependant, l’existence de symétries ou d’une direction prépondérante par rapport aux autres permet souvent de réduire le problème bidimensionnel ou à un problème à symétrie de révolution. Pour qu’il soit possible de simplifier la modélisation, il faut également que les conditions aux limites et la loi de chargement vérifient ces mêmes symétries. Ces simplifications permettent de diminuer fortement le nombre des éléments et des nœuds du maillage et de réduire le coût des calculs.
Il convient également de savoir définir de manière judicieuse les limites géométriques du domaine modélisé. Ces limites doivent se situer à une distance telle que la perturbation apportée par les chargements n’y produise qu’un déplacement ou une variation de charge hydraulique négligeable.
Le maillage d’éléments finis doit de plus respecter la stratification du sol et les éventuelles discontinuités mises en évidence par les reconnaissances. Par ailleurs, la connaissance de l’état initial est fondamentale si le comportement envisagé pour les matériaux est non linéaire.
MODELISATION ET LOIS DE CHARGEMENT
En géotechnique, les sollicitations monotones imposées aux terrains et aux ouvrages sont principalement dues aux forces volumiques permanentes (poids propre), à des chargements extérieurs liés aux travaux réalisés (surcharge, injection, précontrainte, forces de déconfinement,…) ou encore à des chargements spécifiques (gonflement de certains sols, retrait du béton, écoulement des fluides, effet mécanique d’une champ de température,…) que l’on traite comme des champs de forces volumiques imposées.Une modélisation réaliste de la construction d’un ouvrage impose de prendre en compte l’histoire des travaux, et de distinguer différentes étapes dans la construction. Dans quelques cas très particuliers, la construction d’un ouvrage peut être modélisée en considérant le maillage du milieu final et en appliquant progressivement le poids des terrains de manière incrémentale. Ce type de calcul conduit à des résultats différents d’une véritable modélisation par étapes car, à tout instant, la rigidité du maillage complet intervient dans les calculs. Cette approche n’est réaliste et exacte que pour modéliser des essais en centrifugeuse sans qu’il y ait apport ou enlèvement de matériaux.Si le comportement des matériaux est élastique, la modélisation d’une construction conduit à la même distribution de contraintes et de déformations quel que soit l’ordre dans lequel les étapes de construction sont réalisées. Lorsque le comportement des matériaux est irréversible (plastique), les résultats de la modélisation dépendent de l’ordre dans lequel les étapes de construction sont réalisées.
MODELISATION ET ESSAIS DE LABORATOIRE
Les essais de laboratoire permettent de caractériser le comportement d’un élément de volume représentatif de chaque matériau et de simuler certains chemins de contraintes ou de déformations types que l’on suppose suivis aux alentours des régions les plus sollicitées. La rhéologie fournit des lois de comportement dont le choix, la détermination des paramètres et la validation doivent être réalisés à partir des résultats des essais de laboratoire.Cependant, bien souvent, les essais classiques de laboratoire ne sont pas parfaitement adaptés au modèle de fonctionnement envisagé car ces essais ne tiennent pas compte du problème général de la rotation des contraintes principales dans un massif de sol au cours du changement. Mais, même sans considérer cet aspect, il est évident que, par exemple, les chemins de déformations suivis sous un remblai de grande longueur sont des chemins en déformations planes; par conséquent, les informations déduites d’essais sur les éprouvettes cylindriques ne peuvent être directement utilisées. Il convient alors de construire le modèle de fonctionnement et de déterminer les paramètres mécaniques en toute connaissance de cause et de bien connaître les chemins de sollicitations suivis.A ces difficultés viennent s’ajouter quelques incertitudes dues à la difficulté de prélever les sols dans des conditions optimales, voire à l’impossibilité de prélever certains sols. Par ailleurs, certains matériaux utilisés couramment ne peuvent être étudiés à l’aide d’un appareil triaxial (encochements, par exemple). Les paramètres de comportement de tels matériaux ne peuvent être estimés qu’à partir d’essais simplifiés de grandes dimensions en déduits d’expériences antérieures.
MODELISATION ET LOIS DE COMPORTEMENT
La détermination des paramètres mécaniques des lois de comportement est effectuée en interprétant les résultats des essais de laboratoire, essais œdométiques et essais triaxiaux pour l’essentiel. Les valeurs de ces paramètres ont une influence considérable sur les résultats d’un modèle de fonctionnement. Mais certains de ces paramètres peuvent avoir une influence importante pour le comportement de l’ouvrage et ne guère modifier la simulation des essais de détermination en laboratoire. La détermination des paramètres mécaniques reste donc une affaire délicate et il convient d’adapter les essais au modèle de fonctionnement envisagé.Pour la pratique courante des éléments finis, l’ingénieur utilise des lois plus simples (lois élastiques, lois élastoplastiques parfaites de Mohr-Coulomb et de Drucker-Prager). Si l’on ne connaît pas très bien le comportement des sols étudiés, l’erreur que l’on peut ajouter en considérant ces lois n’est souvent pas excessive par rapport à celle introduite par la méconnaissance des sols en place et de leur état initial.Il faut également être conscient des limites des lois de comportement utilisées: en effet, certaines de ces lois ont été construites à partir d’essais réalisés sous faibles contraintes ou pour des sollicitations monotones uniquement. L’extrapolation des domaines de validité des lois de comportement est donc une opération difficile, qui peut conduire à des erreurs de modélisation.
MODELISATION ET RESULTATS DES CALCULS PAR ELEMENTS FINIS
D’une manière générale, des écarts du simple au double entre les résultats des calculs et les mesures sur site doivent être reconnus possibles dans la plus part des études courantes de géotechnique. Ces écarts proviennent seulement pour partie des lois de comportement des sols et de la technique de résolution numérique: les données fournies par la reconnaissance géotechnique du site est toujours une source d’incertitudes. Ce type d’incertitudes a naturellement moins d’influence quand on fabrique au préalable l’objet du calcul, comme dans le cas des essais en centrifugeuse ou des essais dans des chambres d’étalonnage.Par ailleurs, l’étude des résultats de quelques calculs (Atwa, et al, 2000) montre que, même lorsqu’une modélisation représente d’une manière globalement satisfaisante le comportement d’un ouvrage, il existe des endroits dans le massif du sol où le comportement est mieux modélisé et d’autres où il l’est moins bien. Une étude plus détaillée de la variation des caractéristiques mécaniques du sol, combinée avec un maillage plus fin, devrait dans la plupart des cas permettre une amélioration des résultats.
MODELISATION ET VERIFICATION D’UN CALCUL PAR ELEMENTS FINIS
Avant d’interpréter les résultats d’un calcul par éléments finis, il est impératif de procéder à quelques vérifications simples, notamment lorsque le comportement des matériaux est non-linéaire. Il convient (comme le signale Atwa 1996), en premier lieu, de vérifier le bon déroulement des calculs non linéaires à chaque étape, à partir des informations relatives au processus itératif. Si la convergence est atteinte pour un rapport du déséquilibre final au déséquilibre initial inférieur à 0,1 % au grand maximum, on peut dire que le calcul a bien convergé pour cet incrément. Si la convergence n’a pu être atteinte pour la tolérance et le nombre maximal d’itérations demandés, il faut s’assurer de la décroissance régulière des différents critères de convergence pour conclure à une possibilité de convergence pour un nombre supérieur d’itération. Par contre, si les critères de convergence augmentent d’une itération à l’autre au bout d’un certain nombre d’itération, on peut conclure sans peine à une divergence du calcul, qui correspond à la rupture de l’ouvrage ou du sol de la fondation dans un problème de géotechnique.Pour certaines modélisations, l’application de formules de calcul de tassement permet de vérifier l’ordre de grandeur des déplacements obtenus lorsque le chargement est constitué par des charges de surface (cas des remblais ou des fondations).
MODELISATION ET DOMAINE DE VALIDITE
D’une manière générale, la validation d’un modèle de calcul comprend plusieurs étapes distinctes. En premier lieu, il convient de valider la loi de comportement en étudiant sa capacité à représenter le comportement d’une éprouvette de matériau sous diverses sollicitations. Cette étape permet d’avoir une idée du domaine de la loi considérée. La deuxième étape consiste à valider la programmation de la loi dans le programme de calcul; des comparaisons avec des solutions analytiques et des simulations d’essais triaxiaux suffisent en général pour conclure à une bonne programmation.La dernière étape consiste à modéliser un ouvrage et comparer les résultats numériques aux mesures réalisées sur l’ouvrage considéré (ouvrage réels, modèles physiques ou non). Cette étape fonde véritablement la validation du modèle de calcul: autrement dit, cette loi (s) de comportement, la méthodologie de détermination des paramètres et la façon dont l’ingénieur modélise l’ouvrage.Chaque ouvrage étant un peu un cas particulier, tant par ses caractéristiques que par celles du sol de fondation, la recherche du domaine de validité du modèle de calcul est un problème très délicat. En effet, dans la démarche de validation, il est impossible de tester toutes les combinaisons de calcul et toutes les configurations de problèmes et seuls quelques problèmes types peuvent être étudiés.
PRATIQUE DE LA MODELISATION
La pratique des éléments finis est également souvent le fruit d’une collaboration entre le client qui demande les calculs, l’ingénieur « géotechnicien » qui analyse les données géotechniques disponibles et l’ingénieur « calculateur » qui va réaliser la modélisation et les calculs par éléments finis. L’analyse des résultats et leur interprétation devraient être, elles aussi, le fruit d’une telle collaboration. Lorsque de telles collaborations ne sont pas possibles et que la personne chargée des calculs n’a pas une expérience suffisante en géotechnique, ont peut aller au devant de sérieux problèmes. La seule manière de se prémunir contre le risque de mal poser le problème et de mal interpréter les résultats serait de bien appliquer des « règles du jeu » connues et validées, autrement dit des principes de modélisation bien établis pour chaque type d’ouvrage. Ces principes devraient aider à minimiser le rôle de l’utilisateur dans la démarche de modélisation et rendre, par la même, les résultats des calculs plus fiables.
MODELISATION THEORIQUE DE LA CONSOLIDATION DES SOLS.
BASES THEORIQUE DE LA CONSOLIDATION DES SOLS
Le formalisme théorique de la consolidation des sols saturés est posé depuis plus de quatre-vingts ans par la théorie unidimensionnelle de Terzaghi (1923) et le principe des contraintes effectives (Terzaghi, 1925). La généralisation de cette théorie s’est développée grâce notamment aux travaux de Rendulic (1936) et a la théorie tridimensionnelle de Biot (1941,1955).La consolidation, étant un phénomène couplant les deux aspects, mécanique et hydraulique, du comportement des massifs du sol, doit en toute rigueur être traitée par une résolution simultanée des équations correspondantes.Le phénomène de consolidation est totalement décrit si l’on écrit pour chacun des deux aspects du comportement du sol, une équation générale d’équilibre et une loi de comportement adaptée (figure 2.1). La solution de ces équations ne dépend alors plus que des conditions aux limites du massif et des conditions de chargement imposées.Du point de vue mécanique, l’équation d’équilibre, écrite en contraintes effectives, permet d’intégrer le rôle de la pression interstitielle dans l’équilibre mécanique de l’élément considéré. Cette équation est associée à une loi de comportement décrivant les déformations du squelette en fonction de la variation de contrainte qu’il subit, et combinée avec les conditions aux limites et les conditions initiales du domaine étudié, pour aboutir au système d’équations qui permet de décrire l’aspect mécanique du phénomène de consolidation.Pour l’aspect hydraulique, c’est l’équation de conservation de la masse d’eau qui régit l’équilibre hydraulique du milieu. L’écoulement est décrit par la loi de Darcy, qui relie la vitesse de déplacement de l’eau interstitielle à l’intérieure du sol au gradient de la charge hydraulique.La loi de Darcy est utilisée avec l’équation de la conservation de la masse d’eau et les conditions aux limites et initiales du massif, pour décrire l’aspect hydraulique du phénomène de la consolidation.Le traitement de la consolidation passe par une résolution simultanée du système d’équations relatives aux deux composantes mécaniques et hydrauliques de la réponse du milieu encaissant. Le couplage s’effectue principalement à travers les variables communes aux deux phénomènes, à savoir la pression interstitielle uw et la déformation volumique εv.Par ailleurs, le couplage peut être approfondi en considérant l’évolution des paramètres caractéristiques du sol et du fluide interstitiel en fonction de l’évolution de l’état du sol. Dans ce cas deux domaines, deux types de relations sont aujourd’hui bien établis en mécanique des sols : la diminution de la perméabilité du sol avec celle de l’indice des vides, et la diminution de la compressibilité du fluide interstitiel avec l’accroissement de la pression qu’il subit.Différentes relations entre la variation de la perméabilité du sol et celle de l’indice des vides ont été établies. L’une des premières relations présentée est celle de Lambe et Whitman (1969) cité par (Atwa, 1996), définie par corrélation de résultats expérimentaux pour différent types de sables.Dans le cas des argiles, l’expérience montre que le logarithme du coefficient de perméabilité k vari proportionnellement à l’indice des vides e (Poskitt, 1969 ; Mesri et Rokhsar, 1974) cité par (Atwa, 1996), La relation reliant « k » à « e » peut se mettre sous la forme : Log(k/kr) = (e-er)/CK Où kr et er désignent la perméabilité de référence et l’indice des vides correspondant, et CK une constante du sol.Les résultats expérimentaux de Magnan et al. (1983) et Tanevas et al. (1979 et 1983) vérifient cette relation. A titre d’exemple, des expériences effectuées sur l’argile molle de Cubzac-les-ponts (France) ont donnés les valeurs de CK variant entre 0.4 et 0.9 et un rapport CK/CC compris entre 0.55 et 0.85 (CC est l’indice de compression œdométrique).
Par ailleurs, la prise en compte de la compressibilité du fluide aw associée à la pression qu’il subit uw améliore la précision du couplage (Dang et Magnan, 1977). En effet, l’hypothèse d’un sol saturé est une idéalisation théorique ; un faible pourcentage d’air existe dans tout type de sol, notamment dans les sols argileux : de plus, l’eau n’est pas un matériau tout à fait incompressible.
Des relations entre aw et uw ont été publiées par Hilf (1948), Skempton et Bishop (1954), Chang et Duncan (1983), qui ont utilisé les lois de Boyle et de Henri pour définir la compressibilité du mélange eau-air en fonction des pressions interstitielles appliquées. Dang et Magnan (1977) ont établi un abaque définissant la compressibilité du fluide aw en fonction de la pression uw et du degré de saturation Sr (figure 2.2).
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
CONTRIBUTION A L’ANALYSE NUMERIQUE DE LA CONSOLIDATION DES SOLS SATURES
1 1 CONSOLIDATION UNIDIMENSIONNELLE DE TERZAGHI
1.1 Introduction
1.2 Charges et deformations des massifs des sols
1.2.1 Généralities
1.2.2 Différents modes d’application des charges aux sols
1.2.3 Déformations observées sous des ouvrages réels
1.2.4 Tassement de sols argileux et tourbeux sur un tracé routier
1.2.4.1 Les tassements de la ville de Mexico
1.2.4.2 Tassement des bâtiments lors du creusement d’un tunnel
1.2.4.3 Exemple de tassement du métro d’Alger
1.2.5 Autres mouvements du sol
1.3 Objectifs des etudes de consolidation et de tassements
1.4 Consolidation des sols fins satures
1.4.1 Généralité
1.4.2 Hypotheses
1.4.3 Equation de la consolidation unidimensionnelle
1.4.4 Conditions aux limites et conditions initiales
1.4.4.1 Domaine de définition
1.4.4.2 Conditions aux limites
1.4.4.3 Conditions initiales
1.4.4.4 Forme adimensionnelle de l’équation différentielle
1.4.4.5 Solution de l’équation différentielle
1.4.5 Commentaires
1.5 Conclusion
2 MODELISATION PHYSIQUE DE LA CONSOLIDATION DES SOLS
2.1 Introduction
2.2 Méthodologie à suivre pour l’élaboration d’un modèle en géotechniqu
2.2.1 Modèle de fonctionnement d’un ouvrage
2.2.2 Elaboration d’un modèle de fonctionnement
2.2.3 Modélisation et reconnaissance géotechnique
2.2.4 Modélisation et lois de chargement
2.2.5 Modélisation et essais de laboratoire
2.2.6 Modélisation et lois de comportement
2.2.7 Modélisation et résultats des calculs par éléments finis
2.2.8 Modélisation et vérification d’un calcul par éléments finis
2.2.9 Modélisation et domaine de validité
2.2.10 Pratique de la modélisation
2.3 Modélisation théorique de la consolidation des sols.
2.3.1 Bases théorique de la consolidation des sols
2.3.2 Evolution récente du traitement de la consolidation dans les problèmes de la géotechnique
2.4 Conclusion
3 FORMULATION VARIATIONNELLE DE LA CONSOLIDATION AVEC SURFACE LIBRE
3.1 Introduction
3.2 Développement de l’approche pour le traitement de la consolidation
3.2.1 Equation de conservation de la masse d’eau
3.2.2 Notion de contrainte effective modifiée selon les principes de Bishop
3.3 Formulation pour une résolution numérique
3.3.1 Formulation variationnelle
3.3.1.1 Formulation variationnelle relative à l’aspect mécanique
3.3.1.2 Formulation variationnelle relative à l’aspect hydraulique
3.3.2 Prise en compte d’un comportement de sol non-linéaire
3.3.3 Représentation en equations matricielle
3.3.4 Intégration du problème dans le temps
3.4 Conclusion :
4 Modélisation Numérique De La Consolidation :De La Validation A L’application Pratique
4.1 Introduction
4.2 Consolidation unidimensionnelle d’une colonne sous un chargement de surface (Terzaghi)
4.2.1 Géométrie et données de modèle
4.2.2 Résultats et comparaison
4.3 Consolidation bidimensionnelle (Gibson)
4.3.1 Description géométrique et maillage
4.3.2 Données du problème
4.3.3 Résultats
4.4 Application au remblai B du cubzac les ponts
4.4.1 Comportement élastique isotrope
4.4.1.1 Résultats Des Calculs
a- Déplacements horizontaux
b- Tassements
c- Pression interstitielle
4.4.2 Comportement élastoplastique
4.4.2.1 Résultats Des Calculs
a- Déplacements horizontaux
b- Tassements
c- Pression interstitielle
4.4.3 Étude paramétrique
4.4.3.1 Influence de la perméabilité
a- Effet de la perméabilité sur les tassements
b- Influence de perméabilité sur les déplacements horizontaux
c- Influence de perméabilité sur les surpressions interstitielles
4.4.3.2 Influence de coefficient des terres aux repos K0
a- Effet de K0 sur les tassements :
b- Effet de K0 sur les déplacements horizontaux
c- Effet de K0 sur les surpressions interstitielles
4.5 Conclusion
CONCLUSION GENERALE
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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