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Modélisation par la méthode des éléments finis (FEM)
Modélisation, Fabrication, Caractérisation
Introduction
Rappelons que les cristaux phononiques (CP) sont des structures périodiques avec au moins deux matériaux de masses volumiques différentes. Ils possèdent un domaine de fréquences interdites pour la propagation des ondes. Les phénomènes mis en jeu sont en général dépendants, et proches de la bande interdite lorsque la longueur d’onde est proche de la périodicité. Face à cette limite, les chercheurs se sont orientés pendant cette dernière décennie vers d’autres concepts qui font intervenir les résonnances locales, et ceci lorsque la période du CP est inférieure à la longueur d’onde.
L’apparition des bandes interdites dans un matériau peut s’expliquer en général par deux mécanismes qui sont la diffraction de Bragg, et les résonnances locales. La diffraction de Bragg donne naissance à des interférences destructives lorsque la longueur d’onde d’excitation 𝜆0 est du même ordre de grandeur que la période 𝑎 des inclusions introduites dans le matériau c’est-à-dire lorsque 𝜆0 ≅𝑎. Il est possible d’obtenir des bandes interdites à des fréquences inférieures au seuil de la diffraction de Bragg sans faire varier la taille de la maille élémentaire : c’est le mécanisme de résonances locales.
C’est dans ce contexte que se situe la problématique de mon stage. En effet, mes travaux portent sur l’interaction des ondes élastiques de surface (SAW) avec des structures de type piliers, et qui sont arrangés suivant différentes symétries cristallographiques. Les piliers constitueront les résonateurs de la structure étudiée.
Modélisation par la méthode des éléments finis (FEM)
Nous cherchons tout d’abord à localiser les bandes d’arrêt pour un CP composé de piliers cylindriques en nickel sur un substrat semi-infini en tantalate de lithium. Pour cela le plus simple est de tracer les diagrammes de bandes, partant de la méthode de calcul choisie. Nous décrivons la démarche à suivre pour obtenir ces diagrammes de bandes.
Il existe plusieurs méthodes de modélisation des CP, notamment la méthode des différences finies (FDTD, pour Finite Difference Time Domain), la méthode de développement par ondes planes (PWE, pour Plane Wave Expansion) et la méthode d’éléments finis (FEM, pour Finite Element Method).
Le logiciel de simulation adaptable à mon étude est celui par élément finis. Nous avons donc choisi de nous tourner vers ce type de modélisation. Toutes les simulations que nous montrerons par la suite sont réalisées avec Matlab sous environnement Comsol Multiphysics® 3.4.
La méthode par éléments finis utilise une interpolation polynômiale des champs acoustiques entre les différents noeuds du maillage. Elle permet d’obtenir aussi bien la structure de bandes que la transmission à travers un CP. Son principal défaut réside dans la durée des calculs, surtout quand il s’agit d’une structure complexe en transmission, pour laquelle les maillages peuvent rapidement atteindre plusieurs centaines de milliers de noeuds.
Calcul de la structure de bandes
Le logiciel de simulation par éléments finis que nous venons d’introduire permet la modélisation de systèmes complexes mettant en jeu différents phénomènes physiques. Dans notre cas, il nous faut pouvoir prendre en compte l’effet piézoélectrique, donc un couplage entre phénomènes électrique et mécaniques, ce qui est possible avec le module piézoélectrique du module acoustique du logiciel.
La structure que je souhaite modéliser est un substrat semi-infini en tantalate de lithium (𝐿𝑖𝑇𝑎𝑂3) sur lequel est déposé un arrangement périodique carré de cylindres de nickel (𝑁𝑖). La figure 2.1 présente la structure dans l’espace tridimensionnel où la direction 𝑍 est parallèle aux axes des cylindres. Le pas du réseau étant 𝑎, le rayon des cylindres est 𝑟, la hauteur des cylindres est ℎ𝑝 ,et ℎ l’épaisseur du substrat.
Pour obtenir la structure de bandes d’un CP, je vais chercher à obtenir les fréquences propres de la structure en fonction du vecteur d’onde. Pour cela, je conçois ma structure, ensuite j’applique des conditions aux limites fixes afin d’éliminer les modes de surface de la surface inférieur du substrat. Il est bien entendu qu’on s’intéresse uniquement aux modes se propageant à la surface supérieure contenant les résonateurs. Par ailleurs, puisqu’un système semi-infini présente un milieu de propagation à la fois pour les modes de surface et les modes de volume, j’ai utilisé le « Cône du son ».
Le cône du son permet d’isoler les modes qui se propagent dans le volume d’un milieu, qui sera dans notre cas le tantalate de lithium. Les limites de ce cône, suivant les différentes directions de propagation, sont déterminées en calculant les plus faibles vitesses des modes de volume. Ainsi, tous les modes de volume ayant une vitesse dépassant ces limites tombent dans le cône. Ce dernier constitue ainsi une zone radiative associée aux ondes de volume qui se propagent dans le substrat. dans les trois directions de l’espace.
Compte tenu de la périodicité de la structure dans les directions 𝑋 et 𝑌 de l’espace, nous avons limité notre domaine de calcul à la cellule unitaire en tenant compte des conditions de périodicité, appelées conditions de Bloch, qui portent sur les déplacements dans chaque direction et sont appliquées comme indiqué sur la figure 2.2.
Choix des matériaux
Le choix d’un matériau par rapport à un autre dépend de l’application visée (La vitesse de propagation, la type d’onde, le coefficient de couplage électromécanique). Dans notre cas on a choisi le tantalate de lithium.
La structure cristalline du tantalate de lithium (figure 2.5) est décrite comme un empilement de plans composés de trois atomes d’oxygène, deux plans formant un octaèdre. L’arrangement des cations au sein des octaèdres se présente sous la forme d’une séquence de tantalate libre.
Le tantalate de lithium est un matériau fortement anisotrope sur le plan de la propagation d’ondes acoustiques, présentant de ce fait des variations de vitesses de propagation conséquentes suivant les axes considérés. Il bénéficie néanmoins des propriétés de symétrie des matériaux de la classe cristallographique trigonale 3𝑚 à laquelle il appartient. Il est transparent à des longueurs d’onde comprise entre 400 𝑛𝑚 et 4500𝑛𝑚, son point de fusion se situe à 1650°𝐶 et il a une densité de 7,465×103𝑘𝑔𝑚3⁄.
Le tantalate de lithium est un cristal biréfringent uniaxe. Il possède des propriétés non linéaires, ferroélectrique, pyroélectrique, photo-élastique, piézoélectrique uniques, combinées avec une bonne stabilité mécanique et chimique.
Une fois le matériau choisi, ces paramètres varient d’une coupe cristallographique à une autre. Notre objectif est la démonstration des bandes interdites pour les ondes de surface dans un CP composé de piliers en nickel disposés avec un arrangement carré sur une plaque de tantalate de lithium. Par ailleurs, étant donné que la génération des ondes acoustiques de surface se fait avec des sources à base de peignes interdigités, et afin de réduire au maximum le nombre de doigts utilisés dans le dispositif, il est préférable d’utiliser un matériau à fort coefficient de couplage électromécanique.
Influence de la symétrie du réseau
La propagation des ondes élastiques dans les matériaux structurés est différente de celle dans les matériaux homogènes. Dans les matériaux homogènes les ondes de surface sont généralement non dispersives. En revanche dans un matériau structuré qu’on qualifiera d’inhomogène, la propagation des ondes peut présenter des singularités : forte dispersion, vitesse de groupe négative, branche plate dans le diagramme de bandes et la présence de bandes interdites.
Par ailleurs, ce type de bandes interdites ne dépend ni de la périodicité ni de la symétrie du CP. En effet, et à titre d’exemple, nous pouvons citer les travaux de Yu Du [Yu 2016]. Ce dernier a démontré cet effet pour les ondes acoustiques de surface, différentes symétries du réseau ont été considérées, à savoir un réseau carré, et un réseau triangulaire. Lors de cette étude il a relevé le comportement des bandes interdites en fonction de ces différentes symétries.
Méthode de modélisation en transmission
On va chercher maintenant à modéliser la transmission d’ondes acoustiques à travers un CP fini : il faut donc réaliser non plus une analyse des fréquences propres mais une analyse harmonique. Comme on modélise un CP fini il n’est plus possible d’utiliser les mailles élémentaires définies dans le paragraphe 2.2 avec leurs conditions de périodicité. J’ai utilisé donc ici une cellule élémentaire plus grande regroupant plusieurs mailles élémentaires.
Dans mon cas, je souhaite réaliser un CP fini dans la direction de propagation dans la direction orthogonale à la propagation (dans le plan). La cellule est constituée d’une ligne de mailles élémentaires comportant autant de mailles que nous le souhaitons dans la direction de propagation.
J’ai procédé de la même façon que précédemment : en commençant tout d’abord par dessiner la structure. Cette structure se compose d’une cellule élémentaire représentant le CP à laquelle j’ai appliqué une source linéaire vibrante à la surface. En effet, les conditions aux limites qu’on impose rendent la source infiniment longue. La source génère ainsi des ondes se propagent dans le plan avec des phases suivant la direction y. On ajoute aussi de chaque côté des PML (𝑃𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑙𝑦 𝑀𝑎𝑡𝑐ℎ𝑒𝑑 𝐿𝑎𝑦𝑒𝑟𝑠), des zones qui n’ont pas d’existence physique, mais qui servent à éviter les réflexions parasites pouvant être causées par le maillage. Ces couches absorbantes ont été appliquées de part et d’autre ainsi qu’au-dessous de la structure. La structure finale correspond à la Figure 2.11.
On ajoute les conditions périodiques dans la direction perpendiculaire à la propagation, comme indiqué sur la Figure 2.11 pour une maille carrée :
Résultats
Dans cette partie je vais présenter les différents résultats de simulation numérique pour les trois échantillons ainsi que leurs coefficients de transmission, et leurs champs de déplacements. En effet le calcul des courbes de dispersion permet de déterminer les conditions d’existence ou non des bandes interdites. Il permet aussi de préciser leur position et leur largeur ainsi que l’existence de toutes les branches de dispersion, quelle que soit leur symétrie ou leur polarisation. Il est intéressant alors de pouvoir estimer la transmission des ondes acoustiques à travers une structure finie composée d’un nombre limité dans une direction donnée.
A partir des figures ci-dessous, j’ai pu conclure que les trois structures étudiées présentent deux bandes interdites. De plus, au niveau du coefficient de transmission, j’ai pu remarquer une atténuation complète de l’onde dans l’intervalle correspondant exactement aux ouvertures des bandes interdites. Ceci est donc une mise en évidence de l’existence des bandes interdites pour les modes ayant des longueurs d’ondes inférieures à la périodicité.
Design, fabrication et caractérisation des réseaux de piliers sur la surface de tantalate de lithium
Le substrat choisi est le tantalate de lithium (𝐿𝑖𝑇𝑎𝑂3) coupe 36Y avec une propagation suivant x. les piliers sont constitiés de nickel (𝑁𝑖) arrangés suivant un réseau carré. Deux transducteurs à éléctrodes interdigités sont déposés à la surface du substrat permettant l’excitation et la détection large bande des ondes de surface. Les mesures éléctriques ont été réalisées à l’aide d’un test sous pointes. Les transducteurs sont conçus pour couvrir toute la plage des fréquences [50−260]𝑀𝐻𝑧.
Réalisation des transducteurs à peignes interdigités
Les transducteurs interdigités ont montré leurs capacités à générer des ondes guidées sur un substrat piézoélectrique, sous différentes configuration. Dans notre cas Farhan Moh Razip a choisi des peignes à pas variables (larges bandes spectrales) afin d’obtenir une largeur de bande assez grande avec une dynamique acceptable.
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Table des matières
Introduction générale
Introduction
1.1 / La technologie SAW pour le filtrage RF en téléphonie mobile
1.2 / Le filtre RF dans un téléphone mobile : à quoi ça sert ?
1.2.1 / Architecture d’un système de réception et d’émission radio
1.3 / Histoire des dispositifs SAW
1.4 / Généralités sur les ondes élastiques et la piézoélectricité
1.4.1 / Contraintes
1.4.2 / Déformation
1.4.3 / Relation Contraintes Déformation : Loi de Hooke
1.4.4 / Pour les matériaux isotropes
1.4.5 / Pour les cristaux
1.4.6 / Couplage électrique mécanique : Milieu piézoélectrique
1.5 / Différents types d’ondes
1.5.1 / Ondes de volume
1.5.2 / Ondes de surface de type Rayleigh ou R
1.5.3 / Ondes de Lamb
1.6 / Propagation des ondes dans les milieux périodiques
1.6.1 / Loi de Bragg
1.6.2 / Zone irréductible de Brillouin
1.7 / Les Cristaux phononiques
1.7.1 / Applications des cristaux phononiques à bandes interdites de Bragg
1.7.2 / Bandes interdites à résonance locale
Conclusion
Introduction
2.1/ Modélisation par la méthode des éléments finis (FEM)
2.2/ Calcul de la structure de bandes
2.3/ Choix des matériaux
2.4/ Structures de bandes et de bandes interdites
2.5/ Influence de la symétrie du réseau
2.6/ Influence des paramètres géométriques
2.6.1/ Effet de l’épaisseur du pilier sur la bande interdite
2.6.2/ Effet du rayon du pilier sur la bande interdite
2.7/ Méthode de modélisation en transmission
2.8/ Résultats
2.9/ Design, fabrication et caractérisation des réseaux de piliers sur la surface de tantalate de lithium
2.9.1/ Réalisation des transducteurs à peignes interdigités
2.9.2/ Réalisation des piliers de nickel
2.10/ Caractérisation électrique
Conclusion
Conclusion générale et perspectives
Références
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