Modélisation numérique du comportement mécanique de structures en élastomère

La demande sans cesse croissante du monde industriel pour des pièces mécaniques élaborées répondant à la fois à des critères de faible coût d’entretien, de performance en termes de légèreté, de résistance, de sécurité en conditions extrêmes d’utilisation, induit la mise en oeuvre, combinés ou non, de matériaux au comportement complexe et ce, à leurs limites mécaniques. Cette escalade technologique conduit à la mise au point de pièces et de matériaux performants pour l’utilisation à laquelle ils sont destinés, mais peut avoir, par des propriétés non attendues en réponse à une sollicitation non étudiée, des conséquences fâcheuses.

Les matériaux élastomères n’échappent pas à cette règle. En effet, par leur élaboration de plus en plus complexe – et relevant bien souvent du secret industriel – en vue d’accroître leurs propriétés intrinsèques (haut pouvoir de déformation et pour bon nombre un caractère amortissant), ils ne présentent plus un comportement dominant, mais bien souvent des comportements faisant intervenir à la fois hyperélasticité, plasticité, viscosité, endommagement (par rupture de chaînes ou réarrangement), et présentant de plus une forte sensibilité aux conditions de pression et de température. De plus, possédant un point de fusion assez bas, il est tentant de les allier à d’autres matériaux aux propriétés mécaniques différentes et d’ainsi obtenir un assemble mécanique présentant simultanément les avantages de ses différents constituants. Cependant, le prix à payer pour de telles pièces est souvent élevé, car elles présentent les caractéristiques inhérentes aux assemblages fortement hétérogènes.

Variables thermodynamiques et loi de comportement

Variables d’état

De manière générale, la connaissance de l’état en un point d’un matériau dépend de l’histoire de la transformation en tout point. Cette description est bien souvent trop générale pour être appliquée. Pour cette raison, nous choisissons de limiter notre étude au cadre défini par l’hypothèse H. I.1.

Hypothèse I.1
Dans ce qui suit, nous adoptons la méthode de l’état local, telle qu’elle est exposée dans [Lemaître et Chaboche, 1985] : la connaissance en un point d’un certain nombre de variables permet de complètement déterminer l’état thermodynamique en ce point. Les dérivées par rapport au temps de ces variables n’interviennent pas dans la définition de l’état, l’évolution sera donc considérée comme une succession d’états d’équilibre.

Sous cette hypothèse, deux types de variables sont distinguées :

– Les variables observables qui sont directement accessibles par la mesure. Par la suite nous considérerons comme variable thermodynamique observable, le couple (“mesure de déformation” + température). Ce choix équivaut à considérer le couple (¯¯F,T), car les mesures de déformation sont uniquement des fonctions du gradient de la transformation ;
– Les variables internes qui sont introduites pour décrire les phénomènes complexes tels que la plasticité, l’endommagement ou encore la viscosité. Suivant la complexité du phénomène auquel elles se rapportent, ces variables seront de différents types, scalaire ou tensoriel. On pourra montrer que l’introduction de variables internes scalaires sera quelquefois insuffisante pour la description de phénomènes complexes tels que la viscosité non linéaire [Sidoroff, 1974], obligeant la mise en place de variables cachées de type tensoriel.

Par la suite, l’écriture des lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, nous conduit aux équations d’équilibre dans chacune des trois descriptions. D’un point vue thermodynamique, la combinaison de l’équation de conservation de l’énergie et du second principe permet d’aboutir à l’expression de l’inégalité de Clausius-Duhem. Afin de rendre cette dernière exploitable, le cadre de l’état local est adopté (H. I.1). Il repose sur la définition de variables d’état, observables ou cachées, qui par leur connaissance en un point, à un instant donné, définit complètement le matériau en ce point à cet instant. Admettant, de manière classique, l’existence d’un potentiel thermodynamique énergie libre de Helmoltz qui dépend des variables précédemment définies, nous aboutissons à une expression de l’inégalité de Clausius-Duhem propre à chacune des descriptions sthéniques. Il est alors possible de factoriser ces dernières sous une forme de produit flux\forces thermodynamiques, ces grandeurs étant elles même reliées entre elles par le biais des différentes lois d’état. L’hypothèse d’une dépendance unique de la dissipation vis à vis des phénomènes thermique et mécanique (H. I.2) puis celle d’un découplage des effets de ces derniers (H. I.3) sont postulées. Par la suite, une description des matériaux standards généralisés (H. I.5) permet de d’écrire que les forces thermodynamiques mécaniques et thermiques suivent une règle de normalité par rapport à un potentiel de dissipation respectivement mécanique ou thermique. Les lois complémentaires ainsi obtenues expriment l’évolution des différentes variables internes.

Enfin, on introduit la notion d’état intermédiaire. Cette dernière constitue pour une bonne partie, les bases du modèle mécanique utilisé par la suite. Le cas particulier des matériaux isotropes et incompressibles est exhibé puisque représentatif du comportement des élastomères étudiés dans le chapitre suivant. Un découplage de l’énergie libre permet de rapprocher un modèle s’appuyant sur la notion d’état intermédiaire à un généralisation non linéaire de modèles rhéologiques.

Comportement et Modélisation des Elastomères 

Les élastomères appartiennent à la famille des hauts polymères, c’est-à-dire qu’ils sont constitués de chaînes macromoléculaires plus ou moins longues, avec ou sans ramifications. Ceci leur confère un point de fusion assez bas permettant une mise en forme aisée, une faible rigidité et une grande déformabilité. Ces propriétés font qu’il sont de plus en plus présents dans les industries aéronautique, automobile, du bâtiment… Ils sont utilisés sous forme de caoutchoucs (i.e. pratiquement sous forme brute), matières plastiques, vernis… Pour se restreindre à des utilisations mécaniques, on pourra citer leur emploi :
– dans des pièces se substituant à des ensembles mécaniques complets, tels que les bras élastomériques développés dans l’industrie aéronautique, composés de baguettes de composites noyées dans une matrice élastomérique dont le rôle est, sur un hélicoptère, de remplacer les trois articulations d’une pale ;
– en tant que matrice de multimatériaux ; cette technologie est notamment utilisée dans la fabrication de lamifiés métal-élastomère, ou encore dans les pneumatiques ;
– dans des pièces qui mettent à profit leur grande déformabilité telles que les DIAS d’Ariane V chargés de transmettre les charges de poussée à la structure en l’isolant des oscillations ;
– sur de nombreux mécanismes exploitant le pouvoir amortissant de certains d’entre eux.

Il est possible de distinguer deux grandes familles d’élastomères, les caoutchoucs à usage général et ceux à usage spécifique. A l’état initial, l’élastomère est dans un état caoutchoutique, c’est-à-dire que les chaînes macromoléculaires peuvent glisser les unes sur les autres (c’est l’état, entre autre, du caoutchouc naturel). Ces libertés de déplacement permettent au matériau de subir de grandes déformations sans rupture. Cependant, les macromolécules étant indépendantes les unes des autres, le retour à l’état initial ne peut se faire sans une intervention extérieure, en vue d’augmenter ou d’établir son pouvoir de recouvrement élastique. Des liaisons entre les chaînes sont mises en place, créant ainsi un réseau tridimensionnel qui solidarise les chaînes entre elles. C’est ce qu’on appelle la vulcanisation ou réticulation des élastomères.

Ce traitement confère alors à notre matériau trois plages de comportement, dépendant de la température d’utilisation. FIG. II.1 est représentée l’évolution du module d’Young en fonction de la température. Bien que schématisées, les transitions brutales d’un état à l’autre sont assez représentatives de la réalité. A des températures assez basses, on est en présence d’un palier de comportement i.e. les caractéristiques du matériau sont pratiquement indépendantes de la température. L’élastomère ne possède pas encore ses propriétés de haute déformabilité et de faible rigidité : il est en état vitreux, le module d’Young est de l’ordre du Gpa et a un comportement fragile. Une augmentation de la température conduit le matériau dans une zone de transition vitreuse que l’on a l’habitude de centrer (à ±25%) autour de la température de transition Tg. Dans cette zone, une partie des liaisons commence à rompre, ce qui permet ainsi un glissement d’une partie des chaînes les unes par rapport aux autres. Le comportement de l’élastomère est alors viscoélastique et les coefficients matériau sont fortement dépendants de la température. Enfin, si la température est bien au dessus de Tg, le matériau se trouve alors dans un état caoutchoutique. Le comportement en début de zone s’apparente à de l’hyperélasticité ou de la visco-hyperélasticité avec un module de Young égal à environ 1/1000e de celui de l’état vitreux. En fin de zone, on est en présence d’un écoulement.

Il est évident que les propriétés de l’élastomère vont dépendre de sa vulcanisation, de sa composition mais aussi en grande partie, de la nature des adjonctions qui vont y être incorporées. Ces charges seront, dans la plupart des cas, des noirs de carbone ou des silices. Une description plus approfondie de leurs effets sera faite au § II.1.4 concernant les approches micromécaniques du comportement.

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Table des matières

Introduction
Chapitre I Grandes Déformations et Cadre Thermodynamique
I.1 Introduction
I.2 Formalisme et grandes déformations
I.2.1 Définitions et description du mouvement
I.2.2 Mesure des déformations
I.2.3 Vitesse de déformation
I.2.4 Description des efforts
I.2.5 Equations d’équilibre
I.3 Cadre thermodynamique
I.3.1 Principes fondamentaux
I.3.2 Variables thermodynamiques et loi de comportement
I.4 Lois de comportement
I.4.1 Généralités
I.4.2 Principe d’objectivité
I.4.3 Isotropie du matériau
I.4.4 Lois d’évolution et potentiel de dissipation
I.5 Notion d’état intermédiaire
I.5.1 Introduction
I.5.2 Généralisation à un phénomène quelconque
I.5.3 Principe d’invariance des fonctions constitutives
I.5.4 Cas des matériaux isotropes
I.5.5 Conséquences thermodynamiques
I.5.6 Etats intermédiaires et modèles rhéologiques
I.5.7 Milieux incompressibles
I.6 Conclusion
Chapitre II Comportement et Modélisation des Elastomères
II.1 Etat de l’art
II.1.1 Introduction et généralité sur les élastomères
II.1.2 Comportement hyperélastique
II.1.3 Comportement viscoélastique
II.1.4 Effet MULLINS et endommagement
II.2 Choix du modèle
II.2.1 Essais expérimentaux
II.2.2 Détermination du modèle
II.2.3 Identification du modèle et des paramètres mécaniques
II.3 Mise en oeuvre numérique
II.3.1 Formulation variationnelle
II.3.2 Discrétisation spatiale par la méthode des éléments finis
II.3.3 Discrétisation temporelle
II.3.4 Intégration locale
II.3.5 Choix des éléments finis
II.3.6 Validation
II.4 Conclusion
Chapitre III Couplages thermo-mécaniques des élastomères
III.1 Introduction
III.2 Présentation des résultats expérimentaux
III.3 Aspects théoriques du couplage
III.3.1 Equations générales pour un milieu à n configurations intermédiaires incompressibles
III.3.2 Particularisation du modèle
III.4 Identification des paramètres mécaniques en fonction de la température
III.4.1 Introduction et présentation de la démarche
III.4.2 Résultats d’identification
III.5 Traitement et résolution numérique
III.5.1 Cas général
III.5.2 Cas particulier d’une sollicitation mécanique périodique
III.5.3 Analyse du modèle
III.6 Comparaison des résultats numériques et expérimentaux
III.6.1 Essais de type 2, température d’enceinte à 27◦C
III.7 Conclusion
Chapitre IV Assemblage de structures une à une invariantes dans une direction
IV.1 Introduction
IV.2 Méthodes de sous structuration
IV.2.1 Méthode classique
IV.2.2 Méthode de sous structuration multi-niveaux
IV.3 Assemblage de structures une à une invariantes par translation
IV.3.1 Introduction
IV.3.2 Organisation des calculs
IV.4 Modélisation du bras élastomérique
IV.4.1 Présentation de la pièce et des cas de chargement étudiés
IV.4.2 Choix des sous structures et des discrétisations spatiales
IV.4.3 Résultats sur les différents cas de chargement
IV.4.4 Facteur de perte de la structure dans le cas d’un chargement de traînée
IV.5 Conclusion
Conclusion

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