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Structure et rhéologie de la lithosphère
Les informations disponibles sur la structure de la terre interne sont obtenues grâce à la sismologie. Les variations de vitesse de propagation des ondes de compression et de cisaillement, liée aux propriétés élastiques et la densité du matériau qu’elles traversent, permettent de définir la croûte dont l’épaisseur varie de 5 km à 60 km selon qu’elle soit océanique ou continental, le manteau supérieur (jusqu’à 410 km) et inférieur (670 km à 2900 km), le noyau composé d’une partie solide (2900-5150 km) et d’une graine solide au centre de la Terre. La lithosphère continentale est constituée de la croûte et de la partie superficielle du manteau supérieur. Ces deux couches sont délimitées par la discontinuité de Mohorovicic et la limite inférieure de la lithosphère est traditionnellement caractérisée par l’isotherme 1300°C. La croûte est composée d’une partie supérieure fragile et d’une partie inférieure ductile. La croûte supérieure est généralement modélisée par un comportement plastique caractérisé par un critère d’écoulement en fracturation ou en friction. Les critères d’écoulement en fracturation sont de type Byerlee (1970) et permettent de relier les contraintes normales et cisaillantes. Deux types de critère d’écoulement en friction sont principalement utilisés, les critères indépendants de la pression dérivés des critères classique de Tresca (1864) et de Von Mises (1913) et les critères dépendants de la pression tels que : Mohr-Coulomb, Griffith (1921), Drucker-Prager (1962), ou Murrel (1963). Le calcul des propriétés mécaniques de la lithosphère continentale s’appuie généralement sur les propriétés mécaniques du quartz pour la partie crustale et de l’olivine pour la partie mantellique. Dans le cadre de cette étude, nous nous intéresserons uniquement à la modélisation mécanique du manteau supérieur, la rhéologie de la croûte est négligée dans cette première approche.
Critère d’écoulement – Approche cristallographique
Cette approche est similaire à la précédente. Il s’agit toujours de définir une surface de charge mais en prenant explicitement en compte certains paramètres microstructuraux en utilisant la théorie de la plasticité cristalline. Ainsi, la texture cristallographique (orientation et distribution des orientations du polycristal) ou la texture morphologique (forme des grains) peuvent être utilisées. L’approche permettant la définition de loi de comportement dérivées de la plasticité cristalline a été utilisé par [Ning and Aifantis, 1996] pour la simulation de déformation d’acier inoxydable soumis à des charges complexes de type traction-torsion. En considérant que l’anisotropie mécanique est le résultat de la déformation à l’échelle de l’agrégat induite l’évolution de la texture, une fonction de distribution des orientations cristallines (FDO) qui va permettre de décrire de manière statistique une texture par une fonction mathématique est définie. Un tenseur de texture est ensuite calculé directement à partir de la FDO ou indirectement à partir d’équation d’évolution pour les tenseurs d’orientation et de fonctions de fermeture. [Khan and Cheng, 1996; 1998] ont développé un modèle constitutif dérivé de cette approche qui a été utilisée pour la simulation de mise en forme d’alliages de cuivre sous chargement non-proportionnel. Les prédictions d’état de contraintes-déformations obtenus sont en corrélations avec les données expérimentales existantes. Même si ce type de méthode est physiquement plus réaliste que la méthode précédente, puisqu’elle inclut des données d’anisotropie cristalline plutôt que des fonctions empiriques, elle présente l’important désavantage de ne pas prendre en compte l’évolution de la texture au cours de la déformation. Les données microstructurales sont uniquement utilisées pour l’approximation initiale de la surface de plasticité du matériau. Pour prendre en compte l’effet d’évolution des orientations cristallographiques, Darrieulat et al. [Darrieulat and Piot, 1996] proposent de représenter la FDO par une ensemble discret de fonction de distribution (composantes de texture) définies dans l’espace des orientations [Lucke et al., 1981; Lucke et al., 1986]. A partir de cette méthode, il est possible de décrire analytiquement la surface d’écoulement à partir du tenseur de Schmid des systèmes de glissement et de la contrainte déviatorique. Arminjon et al. [Arminjon and Bacroix, 1991; Arminjon et al., 1994] proposent une approche où la surface de plasticité, définie dans l’espace des vitesses de déformation, est reliée à la texture. Une version étendue de cette méthode a été appliquée à des alliages d’aluminium et des aciers [Vanhoutte et al., 1989; Vanhoutte, 1994; Hiwatashi et al., 1996]. Enfin, Darrieulat et Montheillet [Darrieulat and Montheillet, 2003] utilisent une représentation où chaque composante de texture est associée à une équation d’écoulement quadratique. Le comportement du polycristal est ensuite décrit par une équation d’écoulement quadratique de type Hill calculé à partir des équations d’écoulements quadratiques de chaque composante de texture en utilisant deux hypothèses de moyenne. Ce modèle a servi à décrire le comportement d’agrégats de cristaux orthotropes cubiques. La méthode d’interpolation contrainte-déformation développée par Habraken et Duchene [2004] consiste à décrire uniquement une portion « utile » de la surface de charge délimitée par 5 tenseurs de contraintes relativement proches. Ces méthodes permettent de recalculer périodiquement la surface d’écoulement plastique à différentes étapes de calcul. Cependant, l’évolution de textures au cours de la déformation doit être connue « à priori » car ces méthodes ne la prédisent pas.
Couplage modèle polycristallins et méthode EF
Une alternative à la définition de critère de plasticité permettant le calcul de déformation macroscopique est l’intégration directe d’un modèle polycristallin dans un modèle EF. L’intégration directe de la plasticité cristalline dans une méthode EF, suggéré par [Peirce et al., 1982; Asaro, 1983] et développée par [Becker, 1991; Kalidindi et al., 1992; Beaudoin et al., 1995; Marin and Dawson, 1998] consiste à utiliser une loi polycristalline comme loi de comportement du matériau à chaque point d’intégration du maillage EF. Cette méthode présente l’avantage de prendre en compte l’hétérogénéité du comportement mécanique cristallin, induite par son orientation cristalline, au sein du polycristal permettant ainsi de donner de meilleurs résultats en termes de prédiction d’anisotropie mécanique. De plus, la prise en compte de l’évolution de la texture au cours de la déformation est implicite. Néanmoins, ce type de méthode est très coûteux en temps de calcul. En effet, celui-ci est directement lié au nombre d’orientations cristallines définies à chaque point d’intégration du maillage EF [Bérhingier, 2006]. Cette méthode a montré de bons résultats pour l’étude de la mise en forme de plaques métalliques [Dawson et al., 2003]. Différentes méthodes ont depuis été développées pour réduire le temps de calcul prohibitif de ce type de couplage en limitant le nombre d’orientations nécessaires au calcul. [Zhao et al., 2001] et [Raabe et al., 2002] proposent une méthode de composante de texture qui consiste à définir mathématiquement un petit ensemble d’orientations par une Gaussienne permettant de représenter l’ensemble de la texture. Bérhingier et al. [Beringhier et al., 2007; Loge et al., 2007] développe une méthode de distribution de la texture initiale autour de particules Lagrangiennes, revenant à distribuer la texture sur plusieurs éléments voisins, et permettant de réduire considérablement le temps de calcul dans le cadre d’une loi polycristalline élastoviscoplastique appliqué à des matériaux de haute symétrie. [Kalidindi et al., 2004; Kalidindi and Duvvuru, 2005] présentent une méthode dite de « Microstructure Sensitive Design » qui consiste à discrétiser les orientations cristallographiques sous la forme d’un développement en série de Fourrier de la texture initiale [Bunge, 1993]. Les coefficients issus de la décomposition en série de Fourrier de la FDO permettent de représenter la texture comme un point dans l’espace de Fourrier de dimension infini. Pour chaque grain constitutif, les coefficients de Fourier correspondant à, leur orientation sont calculés et les contraintes monocristallines résultantes de la déformation macroscopique imposée sur le polycristal sont calculées dans l’espace de Fourier par des techniques de régression linéaire. La contrainte polycristalline est ensuite déduite en utilisant une hypothèse de Taylor. Enfin, Kalidindi et al. [2005] calcule l’évolution des textures en utilisant une loi de transformation linéaire donnant l’évolution des coefficients de Fourrier pour un incrément donné [Bunge and Esling, 1984]. Ce type d’approche a été utilisé pour des matériaux FCC [Duvvuru et al., 2006; Houskamp et al., 2006] et plus récemment hexagonaux compacts [Fast et al., 2008].
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Table des matières
I -Introduction générale
Références bibliographique
II – Mécanismes de déformations de l’olivine, anisotropie mécanique et modélisation numérique
1 Structure et rhéologie de la lithosphère
2 Mécanismes de déformation de l’olivine
2.1 Cristallochimie de l’olivine
2.2 Comportement mécanique du monocristal d’olivine
2.3 Comportement mécanique du manteau lithosphérique
3 Intégration de l’anisotropie mécanique
3.1 Critère d’écoulement – Approche empirique
3.2 Critère d’écoulement – Approche cristallographique
3.3 Modèles polycristallins
3.4 Couplage modèle polycristallins et méthode EF
3.5 Méthode EF2
4 Conclusion
Références bibliographiques
III – Méthodes de couplage FEM / Modèle polycristallin
1 Présentation de Forge2005®
1.1 Formulation du problème mécanique
1.2 Discrétisation du problème
1.2.1 Discrétisation spatiale
1.2.2 Discrétisation temporelle
1.3 Résolution du système
2 Présentation du modèle VPSC
2.1 Equation mécanique monocristalline et polycristalline
2.2 Résolution du modèle VPSC
2.3 Remaillage
3 Stratégie de couplage EF/VPSC
3.1 Présentation
3.2 Avantage et inconvénients des couplages fort et faible
4 Couplage faible, couplage fort et modèle « découplé »
4.1 Validation des méthodes de couplage
4.2 Choix de la méthode de couplage
4.3 Validation du remaillage
5 Conclusion
Références bibliographiques
IV – A multi-scale approach to model the anisotropic deformation of lithospheric plates soumis à Geochemistry, Geophysics, and Geosystems (G3)
V – Multiscale modeling of the effect of preexisting lithospheric-scale wrench faults on the deformation of continental plates en préparation pour Geochemistry, Geophysics, and Geosystems (G3)
VI – Crystal-scale control on plate tectonics: anisotropy induced reactivation of lithospheric faults soumis àNature, en correction
VII –Conclusion générale
Références bibliographique
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