Soutenance mémoire
Modélisation mathématique de la malaria leishmanioses
Dynamique de population
Introduction général
L’espèce humaine constitue l’une des populations qui partagent ce monde. Elle n’est pas isolée mais est en étroite liaison avec les autres espèces que ce soient animal ou végétales. De ce fait, l’homme a toujours cherché à étudier, analyser, et à comprendre et prédire l’évolution de ces dernières pour améliorer les différents aspects de sa vie quotidienne. L’homme s’est intéressé également à l’étude de la dynamique des populations Microscopiques, c’est-à-dire l’évolution des petites particules (cellules, virus, bactéries….), les travaux de Louis Pasteur (1822-1895) étant certainement le meilleur exemple. Ils sont Considérés comme des pas majeurs dans l’histoire de l’humanité dans le but de contrôler les maladies infectieuses qui ont ravagées des milliers de personnes pendant des siècles. Ils ont permis d’améliorer la prévention, ainsi que l’immunisation et les traitements par les antibiotiques, et ont aidé à la disparition des différentes épidémies telles que le choléra, la peste ou encore la malaria et par conséquent, assuré les bonnes conditions pour l’évolution de l’espèce humaine et également de plusieurs autres espèces animales. Déjà, à la fin du 18ème siècle l’économiste Thomas Robert Malthus (17661834) a posé la question : » combien la terre peut-elle supporter d’individus et sous quelles conditions ? ». Cette période a connu l’apparition des premiers pas dans l’étude de la Dynamique des populations. Ces études ont porté sur des recherches générales sur la mortalité et la multiplication du gène humain avec l’hypothèse de la croissance des populations : « si le taux des natalités est supérieur à celui des mortalités, la population s’accroît géométriquement ou exponentiellement ». Ce phénomène a été étudié et modélisé mathématiquement par Malthus avec son célèbre énoncé : » population when scheked, increase on a geometrical ratio », et a abouti en 1798 au premier modèle en dynamique des populations appelé « modèle de la croissance exponentielle ». Depuis, les différents travaux effectués ont permis d’analyser et de comprendre le comportement et la dynamique des différentes populations, ce qui a conduit à des avancées considérables dans divers domaines. L’intérêt de l’étude de la dynamique des populations s’étend à l’explication et la prévision de l’évolution d’une population donnée pour différents objectifs, par exemple pour prévoir les futures crises et les éventuelles situations indésirables comme la célèbre doctrine économique malthusienne qui expliquait les causes de la crise économique et l’extrême pauvreté qui ont touché la population anglaise à la fin du 18ème siècle en proposant alors les solutions adéquates. La recherche en biologie reste encore un domaine de recherche très actif. On s’intéresse principalement aux phénomènes vitaux fondamentaux comme la constitution chimique de la cellule, les structures cellulaires ainsi que le fonctionnement général de l’organisme et même l’organisation des sociétés biologiques. Les expérimentations effectuées dans l’environnement réel d’étude qui est l’organisme vivant (in-vivo) ou dans un système biologique reproduit Artificiellement en laboratoire (in-vitro) ont joué un rôle important dans les siècles précédents. Actuellement, les enjeux sont devenus plus grands et les phénomènes étudiés sont plus difficiles et plus compliqués d’où la nécessité d’introduire de nouveaux outils de simulation qui garantissent les résultats dans des temps réduits. L’approche mathématique a été depuis longtemps utilisée pour modéliser la dynamique des populations dans le temps en s’appuyant sur les équations différentielles et les systèmes aux dérivées partielles. Elle a connu son véritable essor avec l’invention des ordinateurs et l’augmentation de la puissance de calcul.
Définition 1: une population est un ensemble d’individus d’une même espèce vivants dans des conditions définies. On peut citer à titre d’exemple : des bactéries cultivées dans une soucoupe, des mouches dans un laboratoire, des copépodes dans un bassin, des petits rongeurs dans une forêt, des carpeaux dans un lac, des chênes et même des mammifères supérieurs par exemple des singes ou des hommes dans un territoire donné. Parfois, un lieu donné est occupé par plusieurs populations interagissant entre elles, on dit dans ce cas qu’on a un peuplement ou bien une communauté. Cette notion concerne notamment les systèmes écologiques dans lesquels une forêt ou un lac comprennent plusieurs espèces vivantes que soient animales ou végétales.
Dynamique de populations
Les individus constituants les populations des différentes espèces dans ce monde, et ne sont pas statiques, mais ils sont dans une perpétuelle dynamique où chacun accomplie son cycle de vie (naissance, croissance, interaction, migration, reproduction, mort), par conséquent toute la population évolue dans le temps et dans l’espace en fonction de plusieurs facteurs comme le taux de croissance et de mortalité qui lui sont propres, ou bien en fonctions des différentes interactions avec les autres espèces (compétition, prédation), on parle alors d’une dynamique de la population
Modélisation mathématique en dynamique de population
Les problématiques en dynamique des populations sont très variées, on peut être intéressé par l’étude démographique d’une population, mais une population ne vit jamais en autarcie complète, nous nous intéressons alors beaucoup aux interactions entre populations Comme la compétition, le mutualisme, la prédation ou encore le parasitisme.
Modélisation de la croissance
La fin du 18ème siècle a connu l’apparition des modèles qui constituent les véritables fondements de la dynamique des populations et qui commencèrent par les recherches générales de Leonhard Euler (1707-1783) sur l’évolution du gène humain avec l’hypothèse qui dit que la population s’accroît géométriquement si le taux des natalités est supérieur à celui des mortalités. Les recherches effectuées par la suite par l’économiste Thomas Robert Malthus(1766-1834) ont abouti au premier modèle mathématique en dynamique des populations ,c’est le modèle de la croissance exponentielle. Suite à une extrême pauvreté qui a touché de nombreuses familles anglaises, en chercha les causes. Il s’est posé la question : quel serait l’accroissement naturel de la population si elle évoluait sans aucun facteur limitant ? Malthus estime que la cause en réside dans le fait que la population croit plus vite que la production, et il a trouvé que suivant un facteur dit malthusien λ, la population s’accroît géométriquement (exponentiellement), c’est-à-dire son effectif constitue une suite géométrique avec une raison égale à λ. Si P0 représente la population initiale
|
Table des matières
Introduction
Chapitre I : Dynamique de population
I.1 Introduction général
I.3 Dynamique de populations
I.4 Modélisation mathématique en dynamique de population
I.4.1 Modélisation de la croissance
I.4.2 La croissance logistique (le modèle de Verhulst)
I.5 Modélisation des interactions (l’équation de Lotka-Volterra)
I.5.1 Le modèle démographie
I.6 Traitement numérique du Modèle
Chapitre II Epédimiologie
II.1 introduction
A.2 Premier modèle mathématique en épidémiologie( Daniel Bernoulli)
A.3 Modèle déterministe général de Kermack & MC Kendrick
A.3.1 Etude du modèle Malaria
B.1 Introduction
B.2 Modélisation mathématique de la malaria leishmanioses
C.1 Introduction
C.2 modélisation mathématique
Conclusion et perspectives
Annexe :modele déterministe simple de Hamer
Bibligraphie
Télécharger le rapport complet
