Modélisation flambement des plaques

Modélisation flambement des plaques

FLAMBEMENT DES STRUCTURE

Ce chapitre présent le phénomène de flambement et post-flambement, qui concernent les structures élancées, sont décrits dans une première section. Une attention particulière est portée aux structures raidies aéronautiques, notamment celles en matériaux composites. Dans une seconde section, la modélisation de ces structures est présentée et les équations qui gouvernent le flambement et le post-flambement sont formulées. Enfin, les deux dernières sections sont dédiées aux méthodes de résolution. Les méthodes semi-analytiques, rapides et peu coûteuses mais restreintes aux problèmes géométriquement et matériellement simple sont, d’une part, exposées. D’autre part, une revue de méthodes numériques éprouvées, basées sur les éléments-finis et adaptées à une grande diversité de problème, mais plus coûteuses, est établie.

Phénomène de post-flambement

L’étude du post-flambement, comme son nom l’indique, décrit le comportement d’une structure après un certain niveau de chargement appelé chargement critique de flambement. Le flambement, ou flambage, concerne toutes les structures dites “élancées”, qui présentent au moins une dimension très petite devant les autres. Dans le cas des plaques et coques, cette dimension est l’épaisseur. Pour les poutres, il s’agit des dimensions de la section, faibles devant la longueur. Le flambement des structures de base, plaques, coques et poutres est d’abord introduit. Ces structures de base s’assemblent pour former des structures raidies qui héritent de la sensibilité au flambement de leurs composants. Une attention particulière est donc porté ensuite à ces structures qui sont largement utilisées en aéronautique.

Problème de flambement

Le problème de flambement est caractérisé par une charge critique correspondant au point de bifurcation ou point limite de la branche d’équilibre, des modes de déformations et une évolution non-linéaire sur la branche d’équilibre en post-flambement. L’analyse linéaire de flambement est une première approche qui permet de déterminer les charges critiques et les modes de déformations associées. Cette approche ne renseigne pas sur l’amplitude des déformations mais est très utilisée pour le dimensionnement des structures dans le cas où le flambement n’est pas admissible

Réponse des structures raidies en post-flambement

Les structures élémentaires sont assemblées pour former ce que l’on appelle les structures raidies. Ces structures se retrouvent dans le génie civil et dans le transport, notamment aérien, et dans le spatial, pour leur haute résistance et leur faible masse. La plupart des structures raidies dans le secteur du transport sont en effet constituées d’une peau et d’un système de raidisseurs. Ce type d’assemblage permet de concevoir des structures à forts moments quadratiques pour un minimum de masse. L’étude de la sensibilité de ces structures au flambement, et de leur réponse en post-flambement fait l’objet de nombreux travaux

Flambement des coques

Sous certaines conditions de chargement, le chemin de l’équilibre de pré- flambement des coques minces élastiques peut devenir instable et en conséquence la coque peut subir une déformation de flambement et de post flambement. L’occurrence du flambement dans les coques minces est probable puisque le rapport d’épaisseur est très petit et certainement plus petit que d’autres éléments structuraux. La réponse des coques minces aux forces compressives est principalement très différente du comportement d’autres éléments structuraux tels que les montants, les poteaux – poutres et les plaques. La sensitivité à l’imperfection est un des caractères qui décrit le comportement d’une coque mince par rapport au comportement d’autres éléments structuraux. Qualitativement parlant, les sources de flambement de coque peuvent être : a- action des forces compressives (directe ou indirecte comme dans la flexion), b- champ de compression local ou global, c- conversion de l’énergie membranaire emmagasinée en énergie de flexion ; puisque la rigidité membranaire est plus élevée que la rigidité flexionnelle ainsi des déformations de flexion relativement grandes sont requises pour cette conversion ; en conséquence un événement drastique sous forme de flambement peut avoir lieu. Les coques réellement réalisées et/ou érigées ne sont jamais géométriquement parfaites. En outre un chargement idéalement parfait ne peut jamais être réalisé. Ceci est également le cas avec les autres formes structurales ; cependant il arrive souvent que les imperfections géométriques et de chargement peuvent avoir une influence décisive sur la capacité portante des coques alors qu’elles peuvent  avoir une importance mineure pour les autres structures .Les imperfections géométriques incluent tous les écarts dans la forme de l’élément de structure par rapport à la configuration géométrique idéalement supposée. Ainsi, un poteau légèrement courbé, en comparaison avec une barre parfaitement droite, est considéré imparfait [4] le flambement et le comportement post flambement des coques forment des parties inséparables d’un processus unique qui est le comportement de la stabilité des coques. Dans certains cas, le pré-flambement et la réponse post flambement des coques englobent de larges déformations et/ou rotations. Dans de telles occasions, une théorie linéaire des coques neserait pas suffisante pour prédire le comportement complet et le recours aux théories non linéaires doit être fait. Toutefois, dans plusieurs cas, l’analyse de la stabilité des coques au  moyen de théories linéaires fournit des informations utiles au sujet du comportement de la stabilité des coques. Particulièrement les expressions analytiques de forme fermée, démontrant les effets combinés entre les différents paramètres affectant le comportement de la stabilité, peuvent être utiles pour l’obtention d’une estimation de la capacité portante de la coque. Le but de ce qui appelée l’analyse linéaire de la stabilité des coques est la détermination des charges de bifurcation et les configurations flambées correspondantes. Dans l’analyse linéaire de la stabilité, l’existence d’un point de bifurcation et d’un état d’équilibre adjacent est supposée. La méthodologie générale de l’analyse linéaire de la stabilité de flambement des coques peut être résumée comme suit (a)- un état d’équilibre déformé infinitésimalement proche à la configuration initial  non déformée est considéré. L’état d’équilibre non déformé est supposé concéder avec l’état membranaire de la coque. L’état membranaire est de type flexion libre ; dans des analyses linéaires de flambement plus simplifiées, la rotation membranaire est négligée. (b)- les équations cinétiques, constitutives et d’équilibre pour un élément coque dans un état d’équilibre indéformé et dans un autre déformé (perturbé) sont formulées. L’état déformé adjacent est également un état d’équilibre, d’où les équations d’équilibre peuvent être écrites pour une telle configuration d’équilibre. Pour une analyse élastique de stabilité, un comportement élastique linéaire du matériau est supposé. (c)- une fois les équations gouvernantes formulées, une série d’équations différentielles partielles homogènes simultanées est obtenue ; dans ces relations la charge critique de flambement apparaît comme un paramètre libre inconnu. [5] Le problème de stabilité décrit par ces équations est mathématiquement un problème aux valeurs propres. Un problème aux valeurs propres est un problème qui possède seulement une solution triviale à moins que le paramètre libre acquiert certaines valeurs ; avec ces valeurs, le problème homogène peut avoir une ou des solutions non triviales. Les valeurs du paramètre résultant en une solution non triviale sont appelées les valeurs caractéristiques ; les solutions non nulles correspondantes sont appelées les fonctions propres ou fonctions caractéristiques (vecteurs propres). D’un point de vue physique, la solution triviale correspond à la configuration pré-flambement (membrane). Les valeurs propres sont les valeurs des charges critiques de flambement ; les fonctions propres sont les modes de flambement du problème. La méthodologie décrite ici peut être utilisée pour établir les théories linéaires de stabilité des coques avec différentes géométries.

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Table des matières

Introduction
I. Chapitre I : Flambement des structures
I.1 Introduction 
I.2 Phénomène de post-flambement 
I.2.1 Problème de flambement 
I.2.2 Réponse des structures raidies en post-flambement 
I.3 Flambement des poutres 
I.3.1Charge critique d’Euler Nc 
I.3.2 Contrainte critique d’Euler 
I.4 Flambement des coques
I.5 Flambement général des structures
II. Chapitre II : Modélisation flambement des plaques
II.1 Introduction 
II.2 Relations cinématiques 
II.3 résultante et moment 
II.3.1 Résultantes en membrane 
II.3.2 Résultantes en cisaillement 
II.3.2 Moment de flexion et de torsion
II.4 Evaluation de l'énergie potentielle 
II.5 L'élément cubique a 8 nœuds ... 
II.5.1 Approximation géométrique
II.5.2 L'élément plaque 
II.5.3 Champ des déplacements 
II.5.4 Fonctions d'interpolations de l'élément réel 
II.6 Problème de flambage
III. Chapitre III : Validation des résultats et étude paramétrique
III.1. Description logiciel ANSYS Workbensh 
III.2. Modélisation des plaques 
III.3. Validation des résultats 
III.4. Etude paramétrique 
Conclusion
Références Bibliographie

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