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Modélisation d’une série chronologique
Modélisation d’une série chronologique
Introduction
Un modèle de série chronologique est une équation précisant la façon dont les composantes s’articulent les unes par rapport aux autres pour constituer la série chronologique. Il existe de très nombreux modèles, et parmi eux deux modèles classiques simples : le modèle additif et le modèle multiplicatif. Remarque : Dans les deux modèles présentés, la longueur des moyennes mobiles doit être impérativement égale à la période des variations saisonnières.
Modèle additif
Dans un modèle additif, on suppose que les 3 composantes : tendance (Ct ), variations saisonnières (St ) et variations résiduelles (εt ) sont indépendantes les unes des autres. On considère que la série (Xt) s’écrit comme la somme de ces trois composantes :Le modèle additif s’exprime donc en général de la façon suivante : Définition : les termes Sj du modèle additif exprimé sous la forme précédente sont appelés coefficients saisonniers du modèle additif. Remarque : Pour bien séparer la tendance de la composante saisonnière, et pour des raisons d’unicité dans la décomposition proposée, on impose que la somme des facteurs saisonniers doit être nulle c’est-à-dire des coefficients saisonniers en calculant la moyenne (ou la médiane) des rapports figurant dans chaque colonne. Par analogie avec les coefficients saisonniers Sj du modèle additif, dont la somme est égale à 0, on cherche des estimations définitives (1+Sj ) de somme égale à p. On calcule la moyenne : Règle de calcul des estimations des coefficients saisonniers du modèle multiplicatif On calcule les rapports des observations aux moyennes mobiles. On calcule la moyenne ou la médiane des rapports 1 + 𝑆𝑗 La série ainsi obtenue est appelée série corrigée des variations saisonnières (série CVS), Cette opération s’appelle « désaisonnalisation ».
La tendance décrite par Ct étant linéaire, on peut donc remplacer C t par une fonction linéaire ∶
la détermination des coefficients a et b : De la même manière que le modèle additif on peut trouver les coefficients a et b pour le modèle multiplicatif soit par la méthode des moindres carrées soit par la méthode de Mayer. Par la méthode des moindres carrées :
La prévision
Si on souhaite prévoir une valeur future de la série à l’instant T + h, où h ≥ 1, c’est-à -dire à
l’horizon h, on utilise les estimations de la tendance et de la saisonnalité et on pose :
X̂ T+h = Ĉ
T+h(1 + ST+h)
L’erreur de prévision correspondante est : εT+h = XT+h- X̂ T+h
Exemple d’application :
Le tableau suivant est une série donnant le chiffre d’affaire en milliers d’euros d’une
entreprise pour quatre années divisées en trimestre
Lissage Exponentiel
Introduction
Etant donnée une série d’observations 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁, on s’intéresse aux prévisions qu’on peut donner à la date N pour les dates futures. De façon générale, la prévision faite à une date t pour l’horizon h, c’est-à-dire pour la date t+h, sera notée ∶ x̂(t, h). La méthode de lissage exponentiel simple procède par filtrage de la série de données avec les particularités suivantes : le filtre utilisé fait intervenir tout le passé (il est donc décentré à gauche). les poids attribués aux observations décroissent de façon exponentielle en fonction de l’ancienneté de ces observations. Le lissage exponentiel simple ne s’applique qu’aux séries sans tendance ni saisonnalité. Tandis que les extensions de la méthode – méthodes de Holt et de Holt-Winters – permettent de tenir compte de la présence d’une tendance et/ou d’une saisonnalité. Le succès de ces méthodes est dû à : Leur simplicité. La qualité des prévisions obtenues.
Lissage exponentiel simple
Le lissage exponentiel simple (LES) s’applique à des séries chronologiques sans saisonnalité et à tendance localement constante. Description La prévision à l’horizon 1 est donnée ici par la moyenne des observations passées, avec des poids décroissant avec l’ancienneté de façon géométrique : Enfin, La prévision n’a pour horizon que t + 1. Toutes les prévisions à horizon plus lointain seraient exactement les mêmes Algorithme itératif : L’évaluation des prévisions comme une moyenne de toutes les observations passées peut-être très coûteuse en temps de calcul. Heureusement on a la relation suivante : Ce qui permet de calculer les prévisions à la date N de proche en proche. Pour initialiser l’algorithme, on adopte généralement le choix 𝑥̂(1,1) = 𝑥1 La formule ci-dessus donne une interprétation de la méthode: la prévision à la date N « corrige » la prévision antérieure avec l’observation présente. Le paramètre α régit l’importance du présent dans cette correction, par exemple : pour α =0 la prévision est la valeur la plus ancienne tandis que pour α =1, la prévision est donnée par l’observation présente. Choix du paramètre 𝛼 Le choix de α dépend du but recherché. Supposons par exemple que l’objectif soit la prévision à l’horizon 1. Alors il est naturel de minimiser un critère faisant intervenir les erreurs de prévision à l’horizon 1 jusqu’à la date NLa représentation graphique : Figure 13 : La prévision par lissage exponentiel simple de la série du tableau 3-1.
Méthode de Holt
Il s’agit d’une adaptation du lissage exponentiel simple aux séries présentant une tendance mais sans saisonnalité évidente. Elle opère au plan local le lissage simultané du « niveau » de la série 𝐿𝑡 et de la pente 𝑏𝑡 de la tendance, au moyen des équations récursives : s’interprète comme une estimation de la tendance à la date t, et 𝑏𝑡comme une estimation de la pente. On retrouve le lissage exponentiel simple pour 𝛽 =0, et 𝑏1=0. Dans ce cas on a tout simplement.
Initialisation
Le plus simple consiste à prendre L1 = x1 et 𝑏1= x2 – x1 ,mais d’autres techniques peuvent être envisagées, par exemple une régression linéaire sur les premières valeurs pour donner une estimation locale de la tendance initiale. Choix des paramètres On peut choisir 𝛼, 𝛽 de façon à minimiser, par exemple, un critère de moindres carrés des erreurs de prévisions
Méthode de Holt-Winters
Ce sont les méthodes à privilégier parmi les techniques de lissage exponentiel dans le cas de séries d’observations présentant à la fois un terme de tendance et une saisonnalité. Elles opèrent le lissage simultané de 3 termes correspondant respectivement à des estimations locales du niveau de la série désaisonnalisée 𝐿𝑡 , de la pente de la tendance 𝑏𝑡et de la saisonnalité 𝑆𝑡 . On peut citer au moins deux méthodes dont l’une est adaptée aux séries admettant une décomposition multiplicative et l’autre correspondant aux décompositions additives.
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Table des matières
Introduction Générale
Chapitre I : Généralités sur les séries chronologiques
1- Définition d’une série chronologique
2- Graphiques d’une série chronologique
3- Les composantes fondamentales d’une série chronologique
4- Les moyennes mobiles
4-1 Les moyennes mobiles de longueur impaire
4-2 Les moyennes mobiles de longueur paire
Chapitre II : Modélisation d’une série chronologique
1- Modèle additif
2- Modèle multiplicatif
3-choix du modèle
Chapitre III : Lissage Exponentiel
1- Lissage exponentiel simple
2- Méthode de Holt
3- Méthode de Holt-Winters
3-1 Holt-Winters : version multiplicative
3-2 Holt-Winters : version additive
Conclusion Générale
Bibliographie
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