Modélisation du transport de particules dans un écoulement de Stokes

Motivation et applications

    Comprendre les phénomènes de transport de particules dans un fluide constituent depuis longtemps un enjeu de recherche à part entière dans le domaine de la physique et plus particulièrement dans celui de la mécanique. Au-delà de l’intérêt scientifique apporté par les questionnements sur ce sujet, l’importance de ces phénomènes de transport se justifie aussi par l’existence d’une large variété d’applications dans divers domaines telle que la chimie industrielle, la biochimie, le domaine médical ou encore le génie civil. La compréhension de ces phénomènes de transport et leur contrïle par l’intermédiaire de dispositifs microfluidiques a contribué au développement de progrès techniques importants. Par exemple dans le domaine de la chimie analytique et bioanalytique, ces progrès se sont traduits en termes d’amélioration de la vitesse d’analyse, de la méthode de séparation et aussi par l’automatisation des procédures industrielles [1]. D’une manière générale, il est intuitivement admis que ces phénomènes de transport diffèrent les uns des autres suivant l’échelle de taille des particules à transporter. De ce fait, les transports de particules à l’échelle nano et microscopique, ont fait séparémment l’objet de divers travaux de recherche, consacrés à la mise en évidence des principaux effets responsables du transport c’est à dire de l’apparition d’un mouvement dans une direction privilégiée. Bien évidemment, les applications potentielles associées à ces différents processus de transport en dépendent spécifiquement. Plus concrètement, nous pouvons illustrer cela avec les processus de séparation et de filtration qui consistent à contrïler le transport des particules pour séparer ou isoler une partie de la population. A l’échelle microscopique, i.e. pour une taille (caractérisée généralement par le diamètre) de particule variant entre 10−2µm et 102µm, le transport a été employé pour réaliser des applications environnementales et biologiques comme par exemple lors la séparation de cellules pour la thérapie contre le cancer (> 20µm) dans des dispositifs microfabriqués, utilisant une force mécanique ou une force dielectrophorétique [2]. D’autres applications qu’on pourra citer concernent l’élimination des résidus formés de colloïdes (≈ 1µm) et de supracolloïdes (≈ 100µm) dans les effluents des eaux usées ou encore la filtration des bactéries pathogènes comme la E. coli O157 :H7 de l’eau [3]. Notons que dans ces études, les auteurs mettent en avant que les traitements des particules (les cellules et les colloïdes) sont directement liés à leurs tailles spécifiques. Plus récemment, les tentatives d’appliquer des procédures de filtration à des nano-particules, (i.e. , de tailles plus petites que 100nm) ont sensiblement augmenté. En effet, dotées de diverses propriétés physico-chimiques très attractives ces particules forment une classe de nouveaux matériaux devenue incontournable dans diverses applications technologiques et industrielles. L’utilisation de nano-particules, se développe rapidement dans des domaines aussi variés que les secteurs des produits cosmétique, pharmaceutique et vestimentaire mais également dans les domaines de la micro-électronique et l’industrie des ordinateurs. En dépit de leurs avantages indéniables, ces nano-particules sont maintenant connues pour être potentiellement nocives sur la santé humaine [4, 5, 6]. En effet, de part leurs petites tailles, ces particules peuvent pénétrer le corps à travers la peau, les poumons ou le tractus intestinal et se déposer ainsi dans divers organes causant une réaction biologique défavorable susceptible de modifier les propriétés physico-chimiques de la matière vivante [7]. D’autre part, les nano-particules constituent aussi une source de pollution nouvelle pour l’environnement. Ce sont ces risques qui naturellement ont mis en avant le besoin de filtrer les nano-particules disséminées dans les fluides. Compte tenu de ce qui vient d’être dit, les traitements des nano-particules se passent généralement dans le cadre des milieux poreux et les mécanismes mis en jeu mettent en avant des processus physico-chimiques telles que la variation de la teneur en eau du milieu poreux ou l’évolution de la force ionique du fluide plus que l’inertie mécanique. Dans ce cadre, on peut trouver dans la littérature différents travaux qui traitent de l’étude des phénomènes de transport de nano/micro- particules dans un contexte expérimental contrïlé (dans des dispositifs microfluidiques). Les résultats cités rapportent que les phénomènes de transport dépendent de plusieurs paramètres physiques, en particulier les paramètres géométriques de la particule (la forme, la taille) mais aussi également du tube contenant le mélange fluide-particules (la forme, le rapport des dimensions du tube par rapport à la taille de la particule). Les transports observés dépendent aussi du type de l’écoulement du fluide (régime d’écoulement, vitesse). De même, ces transports peuvent dépendre de l’existence d’une force extérieure appliquée sur le système, dans ce cas le type de force et son intensité peuvent jouer un rïle primordial. De manière générale, le principe de séparation des particules repose sur le fait que des particules de tailles différentes possèdent différentes vitesses. Ce qui a pour conséquence que deux populations de tailles différentes vont atteindre deux points d’équilibre différents permettant de les récupérer séparément. Ce principe (dit “membrane-free filtration”) diffère de la méthode de filtration classique par membrane par le fait qu’il est effectif pour une gamme illimitée de tailles de particules et paraît ainsi plus adapté aux diverses applications existantes ([2],[8],[1, 3]). L’exploitation de ce principe a conduit à développer deux méthodes de filtration dites active ou passive. La première méthode utilisée était la filtration active. Elle correspond à l’utilisation d’une force extérieure (de nature mécanique ou électrophorétique). Le travail de Giddings et al. [9, 10] illustre la faisabilité de cette méthode en filtrant et en séparant des particules de différentes tailles en milieu infini par l’utilisation de force diéléctrophorétique. La deuxième méthode dite passive ne fait pas appel à une force extérieure. Cette méthode fait suite au travail de Pamme [11] sur la nécessité d’une filtration sans force extérieure pour les bioséparations. La filtration passive met en oeuvre le phénomène de migration inertielle des particules. Ce phénomène a été mis en oeuvre une première fois par Serge et Silberberg [12, 13], ils ont montré qu’une population de particules de sphères rigides macroscopiques peut s’équilibrer à 0, 6R dans un tube de rayon R. Par la suite, la méthode de filtration passive a été réalisée avec succès dans différentes formes géométriques en employant des formes asymétriques serpentines [14], des microcanaux spirales [15]. En particulier [16] ont utilisé un simple dispositif microfluidique avec un microcanal rectangulaire permettant une filtration passive des particules, basée sur le principe de la migration inertielle, autrement dit induite par la force de portance inertielle exercée sur la particule. Ces études montrent que le nombre des positions d’équilibre dépendent de la forme du tube et que les particules de même taille s’équilibrent à la même position. Par ailleurs, ces positions d’équilibre dépendent aussi du rapport entre la taille de la particule et la dimension caractéristique du contenant [14, 16, 17, 18]. Ceci est lié au fait que la résultante des contraintes du fluide sur la particule dépend de la taille de la particule [14, 16]. D’autres résultats sur la filtration passive ont été également discutés. [17] montre que la distance à laquelle s’équilibre une particule dépend du nombre de Reynolds (Re) de l’écoulement. En particulier, il montre qu’en augmentant la vitesse de l’écoulement, les positions d’équilibre s’approchent plus du bord du contenant [17]. De nombreux travaux s’intéressent au transport des particules dans un écoulement sous le régime de Stokes, i.e. quand les effets inertiels du fluide sont négligeables et le nombre de Reynolds est assez petit. Les particules sont dans un espace semi borné ou confinées par des bords rigides. Dans ces cas, la force de traînée peut jouer un rïle important dans le transport de la particule et peut dominer la force de portance (c’est le cas par exemple pour un problème axisymétrique avec des particules légères) et par conséquent le phénomène de migration inertielle n’est plus possible. Rappelons ici que l’estimation de la force de traînée sur une particule constitue en général un problème difficile et ne se résoud pas de manière analytique sauf dans les cas les plus simples comme celui d’une particule sphérique rigide en milieu infini (Stokes 1851). Afin de déterminer l’impact de ces obstacles sur la force de traînée et donc sur le mouvement des particules, des méthodes numériques ou semi-analytiques doivent être menées. C’est le cas par exemple, des travaux de Brenner[19], qui examinent le mouvement d’une particule sphérique solide perpendiculaire à une unique surface rigide (domaine semi-infini) ou des approximations asymptotiques sont proposées. Pour compléter ce paragraphe, notons que le cas du transport de particules dans des géométries étroites et périodiques, sous un régime de Stokes constitue la configuration étudiée dans ce travail de thèse. Une méthode de filtration dans une telle configuration présente de nombreuses applications possibles par exemple la réalisation de processus industriel de dépollution passif

Du mouvement Brownien au transport directionnel

   Historiquement, l’exemple le plus célèbre de mouvement de particules, fut le mouvement aléatoire d’une ”grosse” particule immergée dans un fluide et qui n’est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les ”petites” molécules du fluide environnant. Ces molécules de fluide sont animées de mouvements incessants associés à l’énergie d’agitation thermique. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la ”grosse” particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown. La description physique la plus élémentaire du phénomène fait intervenir les deux hypothèses suivantes, d’une part entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante, d’autre part la grosse particule est accélérée lorsqu’elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi. Sous ces hypothèses, deux approches théoriques parallèles et complémentaires ont été développées. La première repose sur une description mathématique basée sur le caractère aléatoire du mouvement en introduisant la notion de marche aléatoire de chaque particule qui aboutit à plus grande échelle à la construction d’un modèle du mouvement Brownien tandis que la deuxième approche “plus mécaniste” est basée sur l’application de la loi de la mécanique dans un cadre aléatoire sous la forme des équations de Langevin. Dans son approche mécaniste, Langevin tient compte de l’impact du milieu fluide sur la particule sous la forme d’une force de viscosité et d’inertie en ne négligeant pas la masse de la particule. Ce qui diffère de l’approche purement stochastique qui met en avant la description de la particule comme un objet mathématique dit particule brownienne. On peut dire que dans les deux approches, la conclusion principale fut la description du transport comme un phénomène de diffusion. On rajoutera aussi que compte tenu du caractère très irrégulier des mouvements observés l’approche stochastique apparaît tout à fait naturelle et adaptée. Parmi les résultats importants sur le mouvement Brownien, nous retiendrons que le mouvement Brownien est caractérisé par des trajectoires continues mais non-dérivables partout ce qui d’une certaine façon traduit l’irrégularité du mouvement. Par ailleurs, pour un mouvement Brownien, le déplacement est statistiquement nul c’est à dire qu’il n’y a pas de mouvement d’ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s’annule (il n’y a donc pas de mouvement d’ensemble) et si l’on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle virevolte autour du même point. En ce qui nous concerne, ce dernier point indique qu’il ne peut pas y avoir un transport directionnel de particules dans le mouvement Brownien standard. En d’autres termes, par essence même, le mouvement Brownien ne peut pas à lui tout seul expliquer les observations que nous avons rapportées dans le paragraphe précédent. Néanmoins, comme nous allons le voir, il constitue un élément indispensable dans la construction d’une catégorie de modèle de transport directionnel. Comme on vient de le dire, la nature du mouvement Brownien repose sur l’hypothèse d’homogénéité du système chaotique c’est à dire qu’aucune direction privilégiée ne peut exister. Pour briser cette propriété, l’idée consiste à imposer un effet ”cliquet” (ou en anglais ”ratchet”). L’ingrédient minimal à la construction d’un système ”cliquet”, indispensable au déplacement d’ensemble de ces particules est l’existence simultanée d’agitations thermiques (donc du mouvement Brownien standard) et d’un potentiel microscopique spatialement périodique et asymétrique. Plus concrètement, un système “cliquet” se définit donc comme un dispositif microscopique capable de transporter des particules en absence de toute force macroscopique.

Transport directionnel déterministe

   Dans la section précédente, nous avons montré l’utilisation de l’approche stochastique pour modéliser des effets cliquets. Historiquement, ce type d’approche a été adopté en faisant appel au mouvement Brownien qui comme on l’a vu, constitue un ingrédient principal à la construction d’un système ratchet en apportant le bruit qui représente l’agitation thermique, l’énergie associée au chaos moléculaire. D’autre part, les récents progrès en matière de systèmes dynamiques nonlinéaires et déterministes ouvrent des possibilites nouvelles sur la modélisation des états chaotiques. Différents travaux ont été effectué dans ce cadre pour construire des effets cliquets en utilisant une base déterministe. On peut citer par exemple les récents travaux de Marte et al. (2014) [49] qui modélise un effet ratchet inertiel avec un potentiel spatio-asymétrique et une force extérieure temporellement périodique. Des choix judicieux de la forme du potentiel et de la force extérieure ont permis aux auteurs d’aboutir à des solutions chaotiques pour les trajectoires des particules. Dans un travail antérieur, Saikia et Mahato (2010)[50] ont montré que l’utilisation d’un coefficient de viscosité spatialement inhomogène équivaut à prendre un potentiel asymétrique et ainsi permettre d’accéder aussi un effet cliquet. Dans ce même travail, Sakia et Mahato ont étudié l’impact de la prise en compte de l’agitation thermique d’un mouvement Brownien dans leur modèle. Ils ont montré qu’avec ou sans le mouvement Brownien, leur modèle permet d’accéder à un effet cliquet. Des approches mélangeant l’usage du mouvement Brownien et des lois physiques déterministes ont été mises en oeuvre. Dans ce cadre, une tentative de prise en compte des interactions hydrodynamiques entre les particules Browniennes et le fluide a été développée très récemment par Fornès (2015) [51]. Dans ce travail, Fornès affirme que la prise en compte de ces interactions hydrodynamiques améliore sensiblement l’effet cliquet que subissent les particules. De même, Malgareti et al. (2012) [52] ont étudié l’impact de la présence d’obstacles et l’effet d’un confinement représenté par un pore à section variable sur un modèle de flashing ratchet. Ces résultats suggèrent l’importance du rïle des phénomènes hydrodynamiques dans le cadre déterministe. Notre travail s’inscrit dans le cadre d’une approche déterministe du transport. Le modèle mis en oeuvre prend en compte la masse de la particule, la force de traînée due à la viscosité, l’effet de confinement à l’intérieur d’un pore axisymétrique de section variable. Comme il a été dit plus haut, nous cherchons à modéliser un effet cliquet de type flashing ratchet en imposant une variation périodique de pression à l’intérieur du pore. Quelques travaux antérieurs donnent des indications sur des études menées dans une configuration similaire. En particulier, les calculs effectués par Kettner et al. [53] pour étudier la dépendance de la direction du mouvement des particules de même taille par rapport à l’amplitude de la pression (cas d’un forçage sinusoïdal). Ils ont aussi étudié l’effet de la taille de la particule sur la direction de son mouvement. Ces résultats sont en accord avec les observations de l’expérience de Matthias et Muller [35]. Cette expérience met en relief aussi le rôle de la géométrie du pore sur la direction de transport : en effet, les variations de diamètre remplace le potentiel variable des ratchet décrits précédemment. De plus, ils ont observé un phénomène de renversement de courant en changeant l’amplitude du forçage. Dans les sections qui suivent, nous allons rappeler quelques résultats relatifs à la force hydrodynamique qui agit sur la particule. Comme on va le voir, les résultats connus montrent que cette force est primordiale dans la dynamique de la particule. Par conséquent, nous présenterons une technique générale d’estimation de cette force utilisant la méthode des intégrales de frontière.

Equations intégrale de Frontières

   Il existe une grande variété de méthodes numériques pour aborder les problèmes d’interactions fluide-solide. En particulier, on peut citer la méthode des éléments finis comme dans [77], la méthode des frontières immegées [78] et aussi l’équation intégrale de frontières. La méthode des équations intégrales de frontières est basée sur la théorie du potentiel hydrodynamique visqueux introduit par Ladyzhnskaya et elle explicite les résultats du théorème de Green. Elle a été appliquée pour résoudre différents problèmes en génie, en élastostatique et en thermodynamique, également en dynamiques des fluides et surtout dans le cadre d’utilisation des équations de Stokes et de Navier-Stokes. Un des avantages de l’utilisation de cette méthode est que la dimension du problème est réduite d’une dimension, les variables du problème en tout point du domaine sont exprimées en termes de certaines quantités évaluées uniquement sur la surface du domaine. Par voie de conséquence, les variables d’un écoulement tridimensionnel peuvent être examinées en analysant seulement la surface qui limite le domaine de l’écoulement. De plus, si le problème présente une propriété d’axisymmetrie, les variables sont exprimées en fonction des quantités sur le contour d’une coupe plane du domaine à travers l’axe de symétrie. L’équation intégrale de frontière formulant les équations linéaires de Stokes existe en diverses formes exprimant (a) la vitesse, (b) les contraintes, et ( c) la pression comme une intégrale de la vitesse et les contraintes sur la surface du domaine. Un autre avantage des intégrales de frontières est que les contraintes sur la particules sont obtenues directement contrairement à certaines formulations éléments finis où l’on obtient le champ de vitesse et de pression et donc les contraintes visqueuses sont obtenues en prenant le gradient des vitesses. Cette opération de dérivation discrète ajoute des erreurs numériques dans l’estimation des contraintes. Au cours des dernières années, la méthode a connu beaucoup d’évolutions. Par exemple, Kohr dans[79] présente une formulation intégrale de frontières pour calculer la perturbation d’un écoulement incident infini liée à la présence d’une sphère solide ou d’une goutte visqueuse. Jeffrey et George [71] ont appliqué cette formulation pour calculer la perturbation du champ de vitesse d’un écoulement de Poiseuille en présence d’une sphère. Plus récemment, et afin de calculer l’écoulement de Stokes d’un fluide supposé au repos, dans un tube de géométrie quelconque autour d’une particule rigide, Pozrikidis [80] a evalué tout d’abord la force et son moment exercés sur la particule. Cette étude numérique a été faite en utilisant la formulation intégrale de frontières. Plusieurs problèmes d’écoulements visqueux de Stokes présentent des propriétés de symétrie comme par exemple l’analyse d’un écoulement visqueux entre deux cylindres concentriques en rotation à différentes vitesses angulaires (problème de Couette-Taylor), ou deux plateaux en rotation autour d’un axe commun (utilisée par fois pour déterminer les propriétés rhéologiques de fluide) et enfin l’écoulement autour et à travers des corps de révolution. L’utilisation de l’équation intégrale de frontière permet de résoudre ce genre de problèmes dès que les quantités sur le bord du domaine sont déterminées. Puisque notre problème est axisymmétrique, on va introduire la formulation intégrale de frontières qui décrit le problème, i.e la formulation correspondante au problème de Stokes, et présenter un calcul réduit et bien adapté aux problèmes axisymmétriques.  Notons que des intégrales singulières apparaissent dans cette formulation. Un traitement spécifique est proposé pour les calculer. Finalement, des résultats numériques mettant en évidence les effets de taille et l’impact de la géométrie sont présentés et discutés (voir le chapitre 3).

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Table des matières

Introduction
1 Etat de l’art 
1.1 Motivation et applications
1.2 Du mouvement Brownien au transport directionnel 
1.2.1 Les principaux systèmes à cliquets standards
1.2.2 Les rôles des effets spatial et temporel
1.2.3 Exemple d’effet cliquet spatial
1.3 Transport directionnel déterministe 
1.4 Force hydrodynamique et interactions 
2 Transport d’une particule ponctuelle : ratchet flow 
2.1 Présentation du problème 
2.2 Cas limites
2.3 Méthode de continuation et bifurcations 
2.4 Cas symétrique
2.4.1 Symétrie de parité S du système
2.4.2 Branches périodiques
2.4.3 Émergence de dynamique non-bornée
2.4.4 Transport périodique
2.5 Cas asymétrique 
3 Modélisation des contraintes sur une particule dans un écoulement confiné 
3.1 Modéle numérique associé 
3.1.1 Equations et adimensionnement
3.1.2 Les champs γ(z) et Ueq(z)
3.2 Résolution numérique 
3.2.1 Formulation intégrale
3.2.2 Passage en coordonnées cylindriques
3.2.3 Implémentation numérique
3.2.4 Discrétisation
3.3 Calcul des intégrales 
3.3.1 Intégrales régulières
3.3.2 Traitement des intégrales singulières
3.3.3 Vérification du choix des paramètres de discrétisation
3.4 Validation et calcul des champs γ(z) et Ueq(z) 
3.4.1 Comparaison avec les expressions analytiques
3.4.2 Calcul de γ et Ueq pour une particule sphérique
3.4.3 Calcul de γ et Ueq pour une particule ellipsoïdale
4 Transport d’une particule : friction ratchet 
4.1 Pompage asymétrique 
4.2 Effet de la géométrie du pore 
4.2.1 Existence de solution de transpsort
4.2.2 Domaine d’existence de solutions de transport
4.3 Effet de la taille de la particule
4.3.1 Influence du paramètre ǫ
4.4 Particule ellipsoïdale 
Conclusion
A Pompage de petite amplitude
B Calcul de la force de traînée
B.1 Adimensionnement de l’équation de l’écoulement
B.2 Existence et Unicité de la solution
B.3 Passage en coordonnées cylindriques
B.4 Formulation intégrale du problème incident
B.5 Intégrales singulières
Bibliographie

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