Modalités de travail personnel et leurs effets sur la formation des étudiants

Théorie anthropologique du didactique

La Théorie Anthropologique du Didactique (TAD), initiée par Chevallard (1989), situe la didactique des mathématiques dans le vaste champ de l’anthropologie, c’est à dire de l’étude de l’homme en général. Cette approche suppose que le fonctionnement des systèmes didactiques est conditionné par celui des institutions de la société dans laquelle ces systèmes prennent place.
Termes primitifs : Objet, Individu, Institution, Rapport au Savoir
Le point de départ de l’approche anthropologique est que « tout est objet » : l’école, le professeur, le savoir, l’apprentissage, la fonction logarithme… L’auteur distingue néanmoins trois types d’objets particuliers: individu X, institution I (école, séance de cours, séance de travaux dirigés, famille, système éducatif, etc.) et les positions p qu’occupent les individus dans les institutions. Un objet O de savoir existe dès lors qu’un individu X ou une institution I reconnait O comme existant. On dira que X (ou I) connaît O. Plus précisément, O existe pour X s’il existe un rapport personnel de X à O (noté R(X,O)). Ce rapport personnel est l’ensemble des interactions que X peut entretenir avec O (le manipuler, l’utiliser, en parler, y rêver, etc.). De même, un objet O de savoir existe pour une institution I, s’il existe un rapport institutionnel de I à O en une position p (noté RI (p,O)). Ce rapport « énonce, en gros, ce qui peut se faire dans I avec O, comment O y est mis en jeu, ou encore, en termes imagés, ce qu’est le destin de O dans I » (ibid., p. 213). Le rapport institutionnel de I à O est considéré comme le rapport à O du sujet idéal de I.
Chevallard précise : « Tout savoir S est ainsi attaché à une institution I au moins, dans la quelle il est mis en jeu par rapport à un domaine de réalité D. Le point essentiel est alors qu’un savoir n’existe pas in vacuo, dans un vide social : tout savoir apparaît, à un moment donné, dans une société donnée, comme ancré dans une ou des institutions. » (ibid., p. 213)
Selon cette approche, les objets n’existent pas en eux-mêmes, mais sont des produits institutionnels qui émergent des systèmes de pratiques qui les caractérisent dans les institutions. Pour un objet O ayant une existence au sein de deux institutions I et I’ (I représentant pour nous l’enseignement secondaire, I’, l’université et O l’objet « fonction », ou l’objet « langage ensembliste»), les différences entre rapport RI(p,O) à l’objet O dans l’institution I et rapport RI’(p’,O) dans l’institution I’, vont amener un sujet X en transition de (I, p) vers (I’, p’ ) à modifier son rapport personnel R(X,O) de façon à ce qu’il devienne le plus conforme possible à RI(p,O).
Dire que X est un bon sujet de I en position p, c’est dire que X arrive à modifier ses rapports personnels R(X,O) aux objets O qui existent pour I en position p, de manière à ce qu’ils s’approchent le plus possible aux rapports institutionnels RI(p,O). Dans le cas contraire, X sera qualifié de mauvais sujet.
Selon cette perspective, il n’existe pas de « bon rapport » universel à un objet donné, reconnu comme tel pour toute institution. Bon sujet et mauvais sujet ne renvoient plus à la bonne et mauvaise connaissance d’un objet par un sujet, ils sont seulement des appréciations de la conformité du rapport personnel R(X,O) au rapport institutionnel RI(p,O) : « une personne Y appelée à juger la connaissance qu’a une personne X d’un objet O ne sait guère qu’apprécier la conformité du rapport personnel R(X,O) au rapport institutionnels RI(p,O), où p est la position que X est censée occuper au sein de I ». (Chevallard, 2003, p. 4)
Ces considérations ne sont généralement pas prises en compte par l’institution du Supérieur, qui, constatant les difficultés que rencontrent les nouveaux bacheliers (même les bons) au début de leurs cursus universitaire à se conformer aux exigences du travail mathématique dans le Supérieur, met souvent en cause un niveau faible des étudiants ou une inadéquation de la formation dispensée dans l’institution du Secondaire aux besoins du Supérieur. Aussi, les nouveaux étudiants de l’institution Supérieur, et particulièrement ceux des classes préparatoires, acceptent-ils mal la baisse spectaculaire des notes qu’on leur attribue dans les devoirs et examens3 et ne comprennent pas pourquoi les connaissances qu’ils ont apprises tout au long de l’enseignement secondaire, même s’ils y ont excellé, ne les aident pas (ou que peu) dans leurs études supérieures. En nous situant dans l’approche anthropologique, notre thèse tente donc d’identifier les caractéristiques des rapports institutionnels dans chacune des institutions ES et CPS1 (pour les objets notions fonctionnelles et langage ensembliste) et d’étudier dans quelle mesure ces caractéristiques peuvent expliquer les décalages d’évaluations observés.

Praxéologies mathématiques – Praxéologies didactiques

Pour Bosch et Chevallard (1999, p. 83), « le savoir mathématique, en tant que forme particulière de connaissances, est le fruit de l’action humaine institutionnelle : c’est quelque chose qui se produit, qui s’utilise, s’enseigne ou, plus généralement se transpose dans des institutions ». Pour étudier les pratiques institutionnelles relatives à un objet de savoir, Chevallard propose de modéliser l’activité mathématique en termes d’organisations praxéologiques ou praxéologies. Une praxéologie est un quadruplet [ ] formé de :
– Une tâche T : c’est un construit institutionnel qui s’exprime par un verbe : diviser un entier par un autre, calculer la valeur d’une fonction en un point, étudier la convergence d’une suite… Souvent, pour analyser une praxéologie on regroupe des tâches d’un même type dans une même catégorie appelée type de tâches. – Une technique τ : c’est une manière de faire ou de réaliser une tâche de type T.
Pour un individu X, un type de tâche T est soit routinier (si X dispose d’une technique relative à T) soit problématique (dans le cas contraire). La notion de problématique/routinière n’est pas absolue, elle dépend et de l’individu qui est appelé à accomplir la tâche T et du « vieillissement »4 de la praxéologie dans le temps d’enseignement. La partie [ ] T, représente selon Chevallard, le bloc pratico-technique, usuellement appelé savoir-faire.
– Une technologie θ θθ θ : c’est un discours rationnel ayant pour objet de justifier la technique τ ττ τ, et/ou de la rendre intelligible. La forme de rationalité mise en jeu pour une technologie θ varie selon l’institution, et en une institution donnée, au fil de son histoire. Une technologie peut aussi avoir pour fonction la production d’une technique.
– Une théorie Θ  : c’est une technologie de la technologie θ θθ θ.
En effet, une technologie θ θθ θ doit elle-même être produite, justifiée et intelligible, ce rôle est assuré à son égard par la théorie Θ ΘΘ Θ . Généralement une théorie se distingue d’une technologie par le fait qu’elle a une généralité plus grande ; mais parfois les deux niveaux engendrent des résultats équivalents. On parlera alors dans ce cas du niveau (ou du bloc) technologicothéorique.
Dans le cas où les composants T, τ, θ et Θ d’une praxéologie sont de nature mathématique, on parle de praxéologie mathématique, ou d’organisation mathématique (OM). « Un complexe de techniques, de technologies et de théories organisées autour d’un type de tâches forme une praxéologie ponctuelle. L’amalgamation de plusieurs praxéologies ponctuelles créera une praxéologie locale, ou régionale ou globale, selon que l’élément amalgamant est, respectivement, la technologie, la théorie ou la position institutionnelle considérée » (ibid., p. 86). Si nous considérons, par exemple, l’enseignement des mathématiques au lycée5 (en Tunisie), nous pouvons parler d’organisations praxéologiques ponctuelles autour de la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues et d’une organisation locale, autour de la résolution de différents types de systèmes linéaires à n équations et p inconnues. A l’université, ces praxéologies peuvent se réunir autour d’une praxéologie régionale relative à la théorie « applications linéaires et espaces vectoriels », et autour d’une praxéologie globale si nous considérons l’algèbre linéaire comme un domaine dans lequel la résolution des systèmes linéaires occupe une position institutionnelle.
Une praxéologie mathématique étant construite, il importe alors de savoir :
– Comment étudier cette praxéologie ?
– Quel rôle doit jouer chacun des individus (élèves, professeur, etc.) d’une institution donnée pour accomplir les tâches constituant cette praxéologie ?
La réponse à ces questions se traduit pour Chevallard par la mise en place de ce qu’il appelle : praxéologie (ou organisation) didactique.
Chevallard considère que les tâches didactiques sont, dans un certain nombre de contextes, coopératives, en ce sens qu’elles doivent être accomplies en collaboration par les différents acteurs d’une institution. Cependant, il est parfois possible qu’un individu X de l’institution soit appelé (momentanément) à réaliser une partie (sous-tâche) t d’une tâche T en autonomie relative par rapport aux autres individus. L’ensemble de ces tâches, sous-ensemble du rôle de 5 Elève de 15/16 à 18/19 ans X, lorsque T est accomplie selon une technique τ, est nommé alors le topos de X dans la tâche T.
« L’une des difficultés didactiques les plus ordinaires et les plus pressantes pour un professeur est celle qu’il rencontre pour donner une place aux élèves, c’est à dire pour créer, à leur intention, et à propos de chacun des thèmes étudiés, un topos approprié, qui donne à l’élève le sentiment d’avoir un vrai rôle à jouer ». (Chevallard 1998)
En mathématiques, la transition Secondaire/Supérieur et particulièrement ES/CPS16, est caractérisée, entre autres choses, par des bouleversements dans l’organisation générale du couple (cours/exercices) et dans les rapports entre « théorie » et « pratique ». Ceci entraîne naturellement des changements au niveau des exigences de travail des étudiants et des modifications dans les topos respectifs des enseignants et enseignés.
Dans l’enseignement secondaire, le cours est (de façon générale) dépouillé de toute problématisation théorique, les concepts et théorèmes sont présentés sous l’angle de la fonctionnalité et sont illustrées par de nombreuses applications. Les élèves, dont le travail est essentiellement axé sur la résolution d’exercices guidés et relativement stéréotypés, se soucient peu des démonstrations données dans le cours, car les techniques et démarches mises en jeu dans un grand nombre de ces démonstrations s’écartent de ce dont ils auront besoin dans les exercices et problèmes. En classe terminale7 particulièrement, il n’est pas rare de trouver des enseignants qui préfèrent remplacer des démonstrations de théorèmes par un travail sur les exercices qu’ils trouvent mieux à même de contribuer à préparer les élèves à l’examen de Baccalauréat. Le travail des démonstrations, qui donne l’occasion d’accéder à un certain niveau théorique et de formalisation mathématique, se trouve ainsi marginalisé par l’institution du Secondaire et reste, généralement, confiné dans le topos des enseignants.
En revanche, dans les classes préparatoires scientifiques, il est bien connu que l’étude du cours joue un rôle central dans le travail personnel des étudiants et qu’il devient indissociable de l’étude des exercices et problèmes. Ceci provient, d’une part des opportunités que donne le cours pour étudier les techniques de raisonnement et les démarches mises en jeu dans les démonstrations, d’autre part du fait que les techniques que requiert la résolution des exercices et problèmes donnés aux étudiants dans les séances de travaux dirigés (TD), ou dans les devoirs et examens, ressemblent, dans une certaine mesure, à celles utilisées dans les démonstrations du cours. Pour cette raison, les enseignants laissent souvent à la charge de leurs étudiants les démonstrations de certaines propriétés et théorèmes du cours, et dans les fiches de TD, on donne souvent des exercices qui proposent de démontrer des corollaires aux théorèmes du cours ou des extensions théoriques de parties étudiées dans le cours.

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Mots clés : transition Secondaire/Supérieur, notions ensemblistes fonctionnelles, praxéologie mathématique, résolution de problèmes, composantes théorique/pratique d’une technologie.

Table des matières

Introduction et problématique
I. Introduction
II. Délimitation du sujet de la thèse et première formulation des questions de recherche
Chapitre I : Cadres théoriques et organisation de la thèse
I. Cadres théoriques
I. 1. Théorie anthropologique du didactique
I. 1. 1. Termes primitifs : Objet, Individu, Institution, Rapport au savoir
I. 1. 2. Praxéologies mathématiques-Praxéologies didactiques
I. 1. 3. Ostensifs et Non ostensifs
I. 2. La dimension cognitive de la transition Secondaire/Supérieur
I. 2. 1. La théorie APOS
I. 2. 2. Les trois mondes mathématiques de Tall
I. 2. 3. Niveaux de mise en fonctionnement des connaissances
I. 3. Résolution de problèmes et besoins d’apprentissage
II. Des travaux de recherche concernant la transition Secondaire/Supérieur
II. 1. Secondaire/Supérieur, une transition culturelle
II. 2. Secondaire/Supérieur, l’obstacle du formalisme
II. 3. Secondaire/Supérieur, Discontinuité des organisations praxéologiques
IV. Conclusion et organisation des travaux de thèse
V. Organigramme récapitulatif
Chapitre II : Rapports des institutions « Enseignement secondaire » et « Classes préparatoires scientifiques » aux notions ensemblistes fonctionnelles
I. Aperçu général sur les institutions « Enseignement secondaire » et « Classes préparatoires scientifiques »
I. 1. L’institution « Enseignement secondaire »
I. 2. L’institution « Classes préparatoires scientifiques »
II. Les notions fonctionnelles et les critères d’analyse retenus pour notre travail
III. Des précisions concernant les facteurs retenus pour nos analyses et grille d’analyse
IV. Rapport de l’institution ES aux notions ensemblistes fonctionnelles
IV. 1. Ce que disent les programmes officiels
IV. 2. Le Savoir construit dans les manuels officiels
IV. 2. 1. Notions d’applications et de fonctions
IV. 2. 2. Opérations sur les applications
IV. 2. 3. Notions de bijections et de bijections réciproque
IV. 2. 4. Propriétés de transfert liées aux applications et aux bijections
IV. 2. 5. Conclusion concernant l’organisation et la structuration du savoir construit dans les manuels
IV. 3. L’environnement praxéologique des notions ensemblistes fonctionnelles dans l’institution ES
V. Rapport de l’institution CPS1 aux notions ensemblistes fonctionnelles
V. 1. Les notions d’application et de bijection dans les programmes de mathématiques de l’institution CPS1
V. 2. L’environnement praxéologique des notions d’application et de bijection dans l’institution CPS1
V. 3. Conclusion concernant le rapport de l’institution CPS1 aux notions ensemblistes fonctionnelles
VI. Conclusion générale pour l’étude des rapports institutionnels
Chapitre III : Rapports personnels des étudiants de CPS1 aux notions ensemblistes fonctionnelles
I. Aperçu général sur la population concernée par les expérimentations
II. Rapports personnels aux notions ensemblistes fonctionnelles dans l’institution ES
II. 1. Organisation générale de l’expérimentation
II. 1. 1. Conception du test diagnostique
II. 1. 2. Contexte de l’expérimentation
II. 1. 3. Méthodologie d’analyse
II. 2. Le test diagnostique
II. 2. 1. Le premier exercice
II. 2. 1. 1. Analyse a priori
II. 2. 1. 2. Analyse des productions des étudiants
II. 2. 1. 3. Conclusion pour l’exercice 1
II. 2. 2. Le deuxième exercice
II. 2. 2. 1. Analyse a priori
II. 2. 2. 2. Analyse des productions des étudiants
II. 2. 2. 3. Conclusion pour l’exercice 2
II. 2. 3. Le troisième exercice
II. 2. 3. 1. Analyse a priori
II. 2. 3. 2. Analyse des productions des étudiants
II. 2. 3. 3. Conclusion pour l’exercice 3
II. 2. 4. Le quatrième exercice
II. 2. 4. 1. Analyse a priori …
II. 2. 4. 2. Analyse des productions des étudiants
II. 2. 4. 3. Conclusion pour l’exercice 4
II. 3. Conclusion générale concernant les rapports personnels aux notions ensemblistes fonctionnelles dans l’institution ES
III. Rapports personnels aux notions ensemblistes fonctionnelles dans l’institution CPS1
III. 1. Organisation générale de l’évaluation
III. 1. 1. Conception du test d’évaluation et contexte de passation
III. 1. 2. Contexte de l’expérimentation
III. 1. 3. Méthodologie d’analyse
III. 2. Le test d’évaluation
III. 2. 1. Le premier exercice
III. 2. 1. 1. Objectif général
III. 2. 1. 2. Analyse a priori des questions et analyse des productions des étudiants
III. 2. 1. 3. Conclusion pour l’exercice 1
III. 2. 2. Le deuxième exercice
III. 2. 2. 1. Exercice 2, partie B. Objectif général
III. 2. 2. 2. Analyse a priori des questions et analyse des productions des étudiants
III. 2. 2. 3. Conclusion pour l’exercice 2 (partie B)
III. 2. 2. 4. Exercice 2, partie C. Objectif général
III. 2. 2. 2. Analyse a priori des questions et analyse des productions des étudiants
III. 2. 2. 3. Conclusion pour l’exercice 2 (partie C)
III. 3. Conclusion générale pour le test d’évaluation et évolution du rapport au savoir
Chapitre IV : Modalités de travail personnel et leurs effets sur la formation des étudiants
I. Introduction
II. Conception générale et contexte de passation du questionnaire
III. Présentation et analyse des réponses
III. 1. Question 1
III. 2. Question 2
III. 3. Question 3
III. 4. Question 4
III. 5. Question 5
III. 6. Question 6
IV. Conclusion
Chapitre V : Ingénierie didactique
I. Introduction
générale de l’ingénierie
III. Contexte de travail de l’ingénierie
IV. Ingénierie didactique. Partie diagnostique
IV. 1. Déroulement des séances
IV. 2. Choix des exercices à proposer
V. Première séance diagnostique
V. 1. Analyse a priori de l’exercice
V. 2. L’expérimentation
V. 2. 1. Période de réflexion
V. 2. 2. Analyse des copies des étudiants
V. 2. 3. Période de discussion
V. 3. Conclusion pour la première séance diagnostique
VI. Deuxième séance diagnostique
VI. 1. Analyse a priori de l’exercice
VI. 2. L’expérimentation
VI. 2. 1. Période de réflexion
VI. 2. 2. Analyse des copies des étudiants
VI. 2. 3. Période de discussion
V. 3. Conclusion pour la première séance diagnostique
VII. Conclusion générale pour la partie diagnostique de l’ingénierie et introduction à la remédiation
VIII. Organisation générale des séances de remédiation
IX. Première séance de remédiation
IX. 1. Exercice proposé. Analyse a priori
IX. 1. 1. Contexte d’enseignement
IX. 1. 2. Analyse praxéologique
IX. 2. Déroulement de l’expérimentation
IX. 3. Analyse des productions des étudiants
IX. 3. 1. Analyse des productions du groupe 1
IX. 3. 2. Analyse des productions du groupe 2
IX. 3. 3. Analyse des productions du groupe 3
IX. 4. Période de discussion
IX. 5. Analyse des productions finales
IX. 6. Conclusion pour la première séance de remédiation
X. Deuxième séance de remédiation
X. 1. Exercice proposé. Analyse a priori
X. 1. 1. Contexte d’enseignement
X. 1. 2. Analyse praxéologique
X. 2. Déroulement de l’expérimentation
X. 3. Analyse des productions des étudiants
X. 3. 1. Analyse des productions du groupe 1
X. 3. 2. Analyse des productions du groupe 2
X. 3. 3. Analyse des productions du groupe 3
X. 4. Conclusion pour la deuxième séance de remédiation
XI. Troisième séance. Remédiation et évaluation
XI. 1. Exercice proposé. Analyse a priori
XI. 1. 1. Contexte d’enseignement et objectif
XI. 1. 2. Analyse praxéologique
XI. 2. Déroulement de l’expérimentation
XI. 3. Analyse des productions des étudiants
XI. 3. 1. Analyse des productions du groupe 1
XI. 3. 2. Analyse des productions du groupe 2
XI. 3. 3. Analyse des productions du groupe 3
XI. 4. Conclusion pour l’évaluation
XII. Conclusion générale de l’ingénierie
XII. 1. Préliminaire
XII. 2. Résultats obtenus dans les séances diagnostiques
XII. 3. Etude de l’évolution des aptitudes des étudiants dans les séances de remédiation
XII. 3. 1. Evolution des aptitudes des étudiants du groupe 1
XII. 3. 2. Evolution des aptitudes des étudiants du groupe 2
XII. 3. 3. Evolution des aptitudes des étudiants du groupe 3
XII. 4. Conclusion
Chapitre VI : Conclusion de la thèse et perspectives de recherche
I. Cadres théoriques de la recherche et revue de travaux sur la transition Secondaire/Supérieur
II. Rapports des institutions ES et CPS1 aux notions ensemblistes fonctionnelles
III. Rapports personnels des étudiants de CPS1 aux notions ensemblistes fonctionnelles
IV. Modalités de travail personnel des étudiants de CPS1 et leurs effets
V. Une ingénierie de remédiation
VI. Bilan et perspectives
Bibliographie
Annexe

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