Soutenance mémoire
Méthodes numériques pour la propagation des ondes sismiques
L’amplification du mouvement sismique dans les couches sédimentaires de surface est un phénomène bien connu en sismologie. Il est possible d’appréhender ce phénomène par une approche simplifiée permettant d’étudier directement la résonance vibratoire d’une vallée afin d’estimer sa « fréquence fondamentale » Semblat (2011). Dans certains cas, il est en revanche nécessaire d’analyser en détail la propagation des ondes sismiques dans les couches sédimentaires de surface étant donnée. La complexité structurelle des modèles réalistes, il est impossible d’appliquer des méthodes exactes (analytiques). Des méthodes de calcul approximatives doivent être utilisées. La précision et l’efficacité d’une méthode sont souvent contradictoires. C’est l’équilibre raisonnable entre la précision et l’efficacité de calcul qui rendait les méthodes de modélisation numérique dominante parmi toutes les méthodes approximatives. Les différentes méthodes de modélisation numérique ont été développés dans le cours des dernières décennies, par exemple, la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis, la méthode des éléments spectraux, la méthode des éléments de frontière, la méthode des volumes finis, la méthode des éléments finis discontinus, …
Toutes ces méthodes présentent divers avantages et inconvénients. L’amplification des ondes sismiques dans les couches superficielles de sol est principalement due au contraste de vitesse entre ces couches et, éventuellement, à des effets topographiques autour de crêtes et de collines. L’influence de la géométrie des bassins sédimentaires sur le processus d’amplification peut aussi être grande. Néanmoins, des fortes hétérogénéités et des géométries complexes ne sont pas faciles à prendre en compte avec toutes les méthodes numériques. Dans les paragraphes suivants, nous passons en revue les méthodes les plus importantes, à savoir la méthode des éléments finis, la méthode des éléments spectraux, la méthode des différences finies et la méthode des éléments de frontière. Nous passons en revue les caractéristiques et les limitations de ces méthodes. La méthode des éléments finis, utilisée ici, est traitée en détail.
Méthode des différences finies (MDF)
L’approche des différences finies a été très largement utilisée en géophysique et le reste encore de nos jours. Cette méthode est largement adoptée en raison de sa précision satisfaisante, sa facilité de mise en œuvre, et son faible coût mémoire par point de grille. Les MDF reposent sur une formulation forte des équations aux dérivées partielles (EDP) via un calcul du champ d’onde sur un ensemble de points répartis généralement selon une grille cartésienne. Il existe de nombreux schémas numériques (appelés stencils dans la terminologie usitée en MDF) et nous pouvons nous référer à Moczo et al. (2004) pour une introduction générale sur ces méthodes.
Les MDF ont été appliquées dans de nombreux contextes et à de multiples échelles. On peut mentionner les développements pour les milieux acoustiques (Alford et al. (1974), Operto et al. (2007)), élastiques (Graves (1996), Bohlen et Saenger (2006a)), visco-élastiques (Day et Bradley (2001), Saenger et Bohlen (2004), Céline (2005)), anisotropes (Igel et al. (1995), Saenger et Bohlen (2004)) et poro-élastiques (Wenzlau et Müller (2009), Masson et Pride (2010)). Concernant les volets applicatifs 3D, les MDF ont été employées pour l’étude des effets de site dans des bassins sédimentaires (Olsen (2000), Wang et al. (2001)), pour l’inversion des formes d’ondes (Ben-Hadj-Ali et al. (2008), Plessix (2009), Sirgue et al. (2010)), pour l’imagerie par reverse time migration (RTM) (Etgen et O’Brien (2007)) et pour la modélisation de la rupture dynamique des séismes (Cruz-Atienza et Virieux (2004), Day et al. (2005)), pour ne citer que quelques applications majeures. Les limitations des MDF sont intrinsèquement liées aux grilles utilisées. Avec une grille régulière, le pas d’espace est contraint par la vitesse minimale du milieu et dans le cas de milieux fortement hétérogènes, on peut aboutir à des grilles numériques de tailles conséquentes. La discrétisation par rapport à la longueur d’onde plus courte conduit à un sur-raffinement des régions rigides, avec une croissance conséquente du temps de calcul du processeur et de la mémoire requise. Aussi, des schémas basés sur des grilles irrégulières (Pitarka (1999)) ou sur l’assemblage de grilles discontinues (Aoi et Fujiwara (1999), Hayashi et al. (2001), Moczo et al. (2002), Kang et Baag (2004)) ont été développés pour pallier en partie ce problème de discrétisation. Un second inconvénient majeur des MDF provient de leur limitation liée à la présence de topographie. Si les MDF sont adaptées au cas d’une surface libre plane (Gottschammer et Olsen (2001)), il n’en va pas de même en cas de topographie complexe. Pour réduire ces artéfacts, des pas en espace considérablement petits doivent être adoptés pouvant conduire à des coûts numériques prohibitifs dans des modèles complexes (Bohlen et Saenger (2006b)).
Méthode des éléments finis standards (MEF)
Dès lors qu’une topographie complexe doit être considérée, la méthode des différences finies (MDF) est difficilement applicable. Les méthodes par éléments finis (EF) sont alors d’intéressantes alternatives. Basés sur une formulation faible des EDP et une discrétisation non régulière, les EF permettent de prendre en compte fidèlement des géométries complexes par l’usage d’un maillage adapté. Appliqués très tôt en mécanique du solide (Zienkiewicz et Taylor (2005)), les EF ont vu leur introduction tardive dans la communauté géophysique (Marfurt (1984)). La méthode des éléments finis (FEM) en dynamique est basée sur une approximation discrète de l’équation du mouvement dans sa formulation faible (Hughes (1987), Zienkiewicz et Taylor (2000)). Cette méthode présente des avantages bien connus, comme la possibilité de modéliser des géométries complexes (par exemple, des formes arbitraires, des profils de topographie réaliste), de lois de comportement complexes (par exemple, les non- linéarités, inélasticité) et des fortes hétérogénéités ou des inclusions. Les premières applications de la MEF à la sismologie ont été réalisées dans les années 70 dans (Lysmer et Drake (1972)) (pour les ondes de surface) et (Smith (1975)) (pour les ondes de volume). Un examen récent de la MEF dans la modélisation des ondes sismiques peut être trouvé dans (Mahmoudian et Margrave (2003)). Dans la pratique, la MEF est largement adoptée pour simuler les vibrations induites par les sources dynamiques anthropiques situées au voisinage de la surface libre comme les voies ferroviaires (Ju (2002), Ju et Lin (2004), Ryue et al. (2008)) ou tunnels d’excavation (Yang et al. (2008), Rahman et Trevor (2011)). Toutefois, la MEF classique est basée sur des approximations d’ordre généralement assez bas qui sont connus pour introduire la dispersion numérique (Mullen et Belytschko (1982), Marfurt (1984)). D’autres effets parasites numériques peuvent survenir, par exemple, l’amortissement numérique, les erreurs de polarisation, l’anisotropie numérique introduite par la discrétisation spatiale, des erreurs des vitesses de phase et de groupe, la diffraction et la diffusion de modes parasites (Semblat et Pecker (2009)). Ces erreurs numériques sont non physiques, et doivent être réduites au minimum. A cet effet, une possibilité lors de l’utilisation des EF d’ordre bas est d’affiner la discrétisation du domaine de calcul. Toutefois, ce choix implique une croissance des coûts de calcul. Une autre possibilité est d’augmenter le degré des polynômes utilisés dans les fonctions de base. L’efficacité des EF d’ordre élevé dans les simulations du mouvement du sol est discutée dans (Semblat et Brioist (2000)). Les méthodes d’ordre élevé peuvent également combiner la précision de la méthode pseudo-spectrale globale avec la flexibilité de la méthode des éléments finis. Elles ont été introduites dans la dynamique des fluides numérique (Patera (1984)) et sont appelées méthode des éléments finis spectraux (MES). Les EF reposent sur une décomposition des champs d’onde sur des bases polynômiales définies au sein d’éléments aux géométries arbitraires. En contrepartie, le coût numérique des méthodes EF est généralement important en raison de la taille conséquente du système linéaire à résoudre. Dans le but de réduire ce coût, des approches ont conduit à la technique de condensation de masse (Chin-Joe-Kong et al. (1999)) ou encore aux éléments spectraux (ES).
Méthode des éléments spectraux (MES)
Les MES ont été initialement développés en mécanique des fluides (Patera (1984)) et introduits au début des années 90 en géophysique par Seriani et Priolo (1994). Les MES utilisent des bases polynômiales de Chebyshev (Priolo et al. (1994)) ou encore de Legendre (Komatitsch et Vilotte (1998)). La combinaison des polynômes de Legendre et des points de quadrature de Gauss-Lobatto-Legendre (GLL) permet d’obtenir une matrice de masse purement diagonale, aboutissant à une méthode totalement explicite.
En outre, l’un des intérêts majeurs des MES est la convergence spectrale (en terme de précision) procurée par les bases polynômiales considérées. En revanche, l’efficacité des MES est subordonnée à l’usage de maillages quadrangles (2D) ou hexaédriques (3D) où sont définis les points de GLL. De tels maillages présentent certaines contraintes en matière de flexibilité géométrique qui rendent difficile la création de maillages adaptatifs. L’extension des méthodes ES aux maillages triangulaires (2D) ou tétraédriques (3D) requiert la définition de points de quadrature optimaux dans les n-simplexes qui reste aujourd’hui un sujet de recherche actif (Pasquetti et Rapetti (2006), Mercerat et al. (2006)). Afin de relâcher la contrainte relative aux maillages hexaédriques conformes, la possibilité d’utiliser des maillages non conformes via la technique mortar est également étudiée (Casadei et al. (2002)). Cette technique permet de considérer des maillages non conformes entre plusieurs domaines et met en oeuvre une condition de raccord entre ces domaines afin d’assurer la continuité de la solution. Les EF que nous qualifierons de standard et les ES ont été largement appliqués dans des contextes multiples : modélisations des mouvements du sol induits par les séismes (Aagaard et al. (2001), Komatitsch et al. (2004), Ichimura et al. (2007), Chaljub et al. (2010)), inversion des caractéristiques des séismes (Akcelik et al. (2003)), tomographie globale (Capdeville et al. (2005)), inversion des formes d’ondes à l’échelle continentale (Fichtner et al. (2008), Tromp et al. (2008), Tape et al. (2010)), propagation en milieux poreux (Morency et Tromp (2008)), rupture dynamique des séismes (Vilotte et al. (2005)) ou la simulation du mouvement du sol induits par le déplacement de charges de surface (Paolucci et Spinelli (2006)). Les méthodes EF standards et ES appartiennent à la famille des méthodes EF que l’on peut qualifier de continues car elles supposent une continuité du champ d’onde en tout point du milieu. Par conséquent, ces méthodes ne sont plus valables lorsqu’une discontinuité apparait dans la solution, comme dans le cas d’une interface fluide-solide par exemple. Dans ce cas, les équations acoustiques et élastiques sont utilisées de part et d’autre de l’interface et une condition explicite à l’interface doit être appliquée (Komatitsch et al. (2000), Chaljub et al. (2003)).
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Table des matières
1 Introduction générale
1.1 Objectif de la thèse
1.2 Méthodes numériques pour la propagation des ondes sismiques
1.2.1 Méthode des différences finies (MDF)
1.2.2 Méthode des éléments finis standards (MEF)
1.2.3 Méthode des éléments spectraux (MES)
1.2.4 Méthode des éléments de frontière
1.2.5 Méthode de couplage
1.2.6 Méthode des éléments finis
1.3 Modèle de comportement non linéaire des sols sous chargement cyclique
1.3.1 Principaux types de comportement cyclique
1.3.2 Comportement en condition drainée
1.3.3 Comportement en condition non drainée
1.3.4 Modèles de comportement des sols secs
1.3.5 Modèle de comportement de sol sélectionné (modèle MPII)
1.4 Le phénomène de liquéfaction
1.4.1 Définition de la liquéfaction
1.4.2 Quelques exemples historiques de liquéfaction
1.4.3 Modèles numériques pour simuler la liquéfaction
1.4.3.1 Modèle de Finn
1.4.3.2 Modèles basé sur les équations de Biot
1.4.3.3 Modèle UBC-SAND
1.4.3.4 Modèle « front de liquéfaction » sélectionné
1.5 Présentation du mémoire
2 Comportement des sols sous chargement cyclique
2.1 Introduction
2.2 Modèle MPII pour le sol sec
2.2.1 Modèle initial
2.2.2 Modèle de comportement MPII
2.3 Modèle « front de liquéfaction » pour le sol saturé
2.3.1 Modèle initial en deux dimensions (2D)
2.3.2 Extension du modèle en trois dimensions (3D)
2.3.3 Bilan des paramètres
2.4 Algorithme et détermination des paramètres
2.4.1 Algorithme du schéma
2.4.2 Identification des paramètres pour le modèle « front de liquéfaction »
2.4.3 Précision du modèle
2.5 Validation de la loi de comportement
2.5.1 Essais de torsion cyclique non-drainée
2.5.1.1 Chemin de contraintes analysé – Rappels sur l’état de contrainte en torsion
2.5.1.2 Description des essais
2.5.1.3 Description de la modélisation
2.5.1.4 Comparaison des simulations et des résultats expérimentaux
2.5.2 Essais triaxiaux cycliques non-drainés
2.5.2.1 Caractéristiques du sol étudié
2.5.2.2 Description de la modélisation
2.5.2.3 Analyse de la comparaison
2.6 Influence des composantes
2.6.1 Hypothèses de modélisation
2.6.2 Analyse des résultats
2.7 Conclusion
3 Approche 1D-3C pour la propagation des ondes sismiques
3.1 Introduction
3.2 Formulation numérique 1D-3C par la méthode des éléments finis
3.2.1 Hypothèses et équations locales
3.2.2 Les conditions aux limites
3.2.3 Formulation faible
3.2.4 Discrétisation spatiale du problème
3.2.4.1 Discrétisation spatiale
3.2.4.2 Formulation matricielle pour la condition de « frontière absorbante »
3.2.4.3 Formulation matricielle pour la condition « fond de puits » ou « borehole »
3.2.4.4 Résumé de la formulation matricielle des deux problèmes
3.2.5 Intégration en temps
3.2.5.1 Discrétisation temporelle
3.2.5.2 Schémas d’intégration de la famille de Newmark
3.2.5.3 Implémentation de la méthode HHT − α
3.2.5.4 Méthode de Newton-Raphson
3.2.6 Dispersion et amortissement numériques
3.3 Vérifications numériques
3.3.1 Description de la sollicitation de type signal de Ricker
3.3.2 Propriétés des sols du test
3.3.3 Autre méthode et programme
3.3.4 Comportement élastique
3.3.5 Comportement non linéaire pour le sol sec
3.3.6 Comportement non drainé et non linéaire pour le sol saturé
3.4 Conclusion
4 Conclusion générale
